单位载荷法-莫尔积分课件

一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分方式一：先加再加方式二：同时加同理：方式一：先加再加方式二：同时加同理：二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同ABD求C点铅垂位移C思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?ABDC组合变形时的莫尔积分：用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。六、莫尔积分的例题1、计算梁发生弯曲变形的位移：求:C点铅垂方向的位移和B点转角莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例1:已知所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷引起的内力方程:5)同一段的同一种内力相乘积分解:求1)求约束反力:为此取AB为研究对象2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反求的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩解：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：R1RPAB1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:3)由莫尔积分求:例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原载荷引起的内力方程:PAB例3：图示简单桁架，各杆长度均为，且EA相同，试求B、D两节点的相对位移。2)施加单位载荷:3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD123453)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆号3)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆4)由莫尔积分求:杆号PPABCD4)由莫尔积分求:杆号PPABCD4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A点的铅垂位移与B点的转角解：1)列原载荷引起的内力方程:2)列单位载荷引起的内力方程:4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：PABCABC1若横截面是边长为b的正方形，时，上例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:P1例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中2)列原载荷引起的内力方程:3)列单位载荷引起的内力方程:解:1)求约束反力例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.2)列原载荷引起的内力方程:3)列单位载荷引起的内力方程:解3)列单位载荷引起的内力方程:4)同一段的同一种内力相乘积分3)列单位载荷引起的内力方程:4)同一段的同一种内力相乘积解:1)由于对称，只计算一半例:平面刚架如图所示,已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:解:1)由于对称，只计算一半例:平面刚架如图所示,已知：2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:分析：研究角度θ对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段φ的合弯矩计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA：2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:3)由莫尔积分求yARqABdp=qds=qRdφRqAB1分析：研究角度θ对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段φ的合弯矩计一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§13-8计算莫尔积分的图乘法一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§1CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI是否阶梯变化；即:三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCDA3PaPa2、求施加单位力偶BCDA3、画单位载荷引起的内力图BCDA1114、图乘方法（1）5、图乘方法（2）M图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，是单位载荷引起内力图的面积是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCD二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴发生扭转变形的位移：3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：4、计算结构组合变形的位移：二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：111例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷13、画单位载荷引起的内力图4、图乘：（图1）（图2）aaABC例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位5、求施加单位载荷：6、画单位载荷引起的内力图（图3）7、图乘：（图1）1aaABC5、求施加单位载荷：6、画单位载荷引起的内力图（图3）7、图例4：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，求：1.A端的铅垂位移；2.A端绕BC轴线（X轴）的转角。X3、画单位载荷引起的内力图2、求A端的铅垂位移施加单位载荷解求：1、画原载荷引起的内力图4、图乘：例4：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，求：12、求A点绕BC轴转角施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：1解求：1、画原载荷引起的内力图2、求A点绕BC轴转角3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：1例3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:例3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂例4：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只有弯曲变形，即只考虑弯矩例4：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同解:1)求约束反力画载荷引起的内力图例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：用图乘法求D点的垂直位移.2）求施加单位载荷3）画单位载荷引起的内力图4）图乘方法（1）ACDB2/3PaPa/3M图ACDB1/3a2/3aM0图4/9a1/2a2/9a1/3a+1/3*1/3a=4/9a解:1)求约束反力画载荷引起的内力图例:变截面梁如图所示,作业13-14（图乘）13-15（图乘）13-17（积分）13-25（积分）13-30（积分）作业13-14（图乘）本章结束本章结束一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分方式一：先加再加方式二：同时加同理：方式一：先加再加方式二：同时加同理：二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同ABD求C点铅垂位移C思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?ABDC组合变形时的莫尔积分：用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。六、莫尔积分的例题1、计算梁发生弯曲变形的位移：求:C点铅垂方向的位移和B点转角莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例1:已知所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷引起的内力方程:5)同一段的同一种内力相乘积分解:求1)求约束反力:为此取AB为研究对象2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反求的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩解：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：R1RPAB1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:3)由莫尔积分求:例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原载荷引起的内力方程:PAB例3：图示简单桁架，各杆长度均为，且EA相同，试求B、D两节点的相对位移。2)施加单位载荷:3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD123453)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆号3)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆4)由莫尔积分求:杆号PPABCD4)由莫尔积分求:杆号PPABCD4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A点的铅垂位移与B点的转角解：1)列原载荷引起的内力方程:2)列单位载荷引起的内力方程:4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：PABCABC1若横截面是边长为b的正方形，时，上例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:P1例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中2)列原载荷引起的内力方程:3)列单位载荷引起的内力方程:解:1)求约束反力例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.2)列原载荷引起的内力方程:3)列单位载荷引起的内力方程:解3)列单位载荷引起的内力方程:4)同一段的同一种内力相乘积分3)列单位载荷引起的内力方程:4)同一段的同一种内力相乘积解:1)由于对称，只计算一半例:平面刚架如图所示,已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:解:1)由于对称，只计算一半例:平面刚架如图所示,已知：2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:分析：研究角度θ对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段φ的合弯矩计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA：2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:3)由莫尔积分求yARqABdp=qds=qRdφRqAB1分析：研究角度θ对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段φ的合弯矩计一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§13-8计算莫尔积分的图乘法一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§1CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI是否阶梯变化；即:三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCDA3PaPa2、求施加单位力偶BCDA3、画单位载荷引起的内力图BCDA1114、图乘方法（1）5、图乘方法（2）M图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，是单位载荷引起内力图的面积是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCD二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴发生扭转变形的位移：3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：4、计算结构组合变形的位移：二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：111例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷13、画单位载荷引起的内力图4、图乘：（图1）（图2）aaABC例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位5、求施加单位载荷：6