生命年金的精算现值课件

第三章生命年金的精算现值第一节生命年金概述生命年金（生存年金）的概念与种类：生命年金是指按预先约定的金额,以一定的时间为周期绵延不断地进行一系列的给付,且这些给付必须以原指定的领取人的生存为前提条件,一旦原指定的领取人死亡,或预先约定给付期届满时,给付即宣告结束

生命年金在人寿保险、退休金体系、残疾保险及抚恤保险中均起着重要作用。如在人寿保险中保险费通常是以生命年金的方式分期缴纳的,在退休金体系中退休金通常是以生存年金的方式分期给付的

11/22/20221第三章生命年金的精算现值第一节生命年金概述10/11/生命年金的种类离散型与连续型；期初支付与期末支付；即期与延期；终身与定期以及变额生命年金与生命年金。精算现值的计算方法保险金额为1个单位的n年生存保险,其给付保险金现值的期望，称为趸缴纯保费(这是与保险相联的缘故）。而在生命年金中,n年期生存保险的期望现值E(Z)(即建缴纯保费)称为精算现值，"精算"一词意味着除含利率外,还含有死亡率等其他因素

11/22/20222生命年金的种类10/11/20222

在生命年金中,保险金额为1个单位的n年生存保险的精算现值E(Z)用符号nEx表示,即精算现值的计算方法对于生命年金的精算现值,其计算方法有两种:其一是现时支付法,其二是总额支付法

现时支付法的计算步骤是:求出时刻t时生命年金的给付数额;确定时刻t时给付数额的精算现值;·对给付年金的精算现值按所有可能的给付时间进行相加或积分。11/22/20223在生命年金中,保险金额为1个单位的n年生存保险总额支付法的计算步骤是:求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间t内所有年金给付额的现值,这一现值仅与利率有关;将求出的现值乘以相应的死亡概率或概率密度;对第二步得到的结果按所有可能的死亡时间t进行相加或积分.

精算现值的两种计算方法是等价的。11/22/20224总额支付法的计算步骤是:10/11/20224§3.1连续型生命年金连续型生命年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生命年金。这类生命年金一般地分为定期生命年金、终身生命年金、延期定期生命年金和延期终身生命年金等以终身生命年金为例,考察定额终身生命年金的精算现值。假设(x)按连续方式支付年金额为1元的终身生命年金,其精算现值用符号表示(x)未来寿命T=T(x),则T=T(x)的密度函数是11/22/20225§3.1连续型生命年金连续型生命年金是指每时每刻连续不断11/22/2022610/11/20226为衡量支付连续型的终身生命年金的风险,我们可以考虑支付终身生命年金现值的方差。11/22/20227为衡量支付连续型的终身生命年金的风险,我们可以考虑支付终[例1]设死力是常值μ=0.04,利力δ=0.06,在此假设条件下,求:(1)终身生命年金的精算现值(2)终身生命年金现值的标准差;(3)终身生命年金现值超过其精算现值的概率(所收取的趸缴纯保费将小于支付实际给付年金额为1元的终身生命年金的概率)。解:

11/22/20228[例1]设死力是常值μ=0.04,利力δ=0.06,在11/22/2022910/11/20229类似地,对于(x)按连续方式领取的年金额为1元的n年定期生命年金,其精算现值用符号表示.

利用现时支付法,则11/22/202210类似地,对于(x)按连续方式领取的年金额为1元的11/22/20221110/11/20221111/22/20221210/11/20221211/22/20221310/11/20221311/22/20221410/11/2022143.1.3延期生命年金

考虑(x)的延期n年的终身生命年金，这种年金在(x)活过x+n岁的情况下，从x+n岁开始，直到(x)死亡时为止一直以年率1进行支付11/22/2022153.1.3延期生命年金考虑(x)的延期n年的终身生命年比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身生命年金”+“n年期定期生命年金”例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1）终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金11/22/202216比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定11/22/20221710/11/2022173.1.4n年确定期生命年金

n年确定期生命年金是一种保证在前n年一定有支付的终身生命年金。该年金支付的现值随机变量为：11/22/2022183.1.4n年确定期生命年金n年确定期生命年金是一种保例3-5某人x岁，购买了一份10年确定期生命年金，以连续方式给付，每年给付金额为1，已知死亡在（0，30）内均匀分布且ω=x+30，。求该年金精算现值。11/22/202219例3-5某人x岁，购买了一份10年确定期生命年金，以连续方3.1.5变额年金考虑支付率随时间发生变化的年金。假设连续型生命年金在t时的支付率为g(t)，年金的支付期限为时间区间[a，b]，那么，由支付模式，知这种年金的精算现值为:（1）如果g(t)≡1，a=0，b=n时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的n年期定期生命年金；（2）如果g(t)≡1，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的终身生命年金；（3）如果g(t)≡1，a=n，b=∞时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的n年延期生命年金；（4）如果g(t)=[t+1]，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成了年度递增的连续支付型终身生命年金。11/22/2022203.1.5变额年金考虑支付率随时间发生变化的年金。假设连（5）如果g(t)≡t，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成了连续递增的连续支付型终身生命年金。这种年金的现值随机变量11/22/202221（5）如果g(t)≡t，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。11/22/202222（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年将上述的有关连续型生命年金的讨论小结如下：

11/22/202223将上述的有关连续型生命年金的讨论小结如下：10/11/2011/22/20222410/11/202224§3.2离散型生命年金离散型生命年金是指年金的领取人每次领取年金的时间间隔是离散的,如按每年、每半年、每季度、每月来进行的。离散型生命年金还分为“期初付”和“期末付”两种情形。其中,期初付生命年金在个人寿险中得以广泛应用,大多数个人寿险的保险费就是按期初付生命年金的方式分期缴纳保险费的。3.2.1按年付的定额生命年金

按年付生命年金是以年为时间间隔,每年支付一次,每次支付的金额均相等的生命年金

11/22/202225§3.2离散型生命年金离散型生命年金是指年金的领取人每次以期初付的定额的终身生命年金为例,考虑其生命年金的精算现值:设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为1个单位的终身生命年金(即期初付终身生命年金)的精算现值

11/22/202226以期初付的定额的终身生命年金为例,考虑其生命年金的精算现上式表明:年龄为x岁的lx个生存者,若每人缴纳元建立一笔基金(基金总额为元),并按预定年利率i计息积存,则可使该群体中生存到x+k岁的lx+k个人,每人获得1元的金额(k=0,1,2,..)若利用总额支付法,则期初付年金额为1个单位的终身生命年金支付的现值:11/22/202227上式表明:年龄为x岁的lx个生存者,若每人缴纳交换求和的顺序,则上式可转化为这表明现时支付法与总额支付法计算精算现值的结果是相同的。若在引入换算函数,则可以得11/22/202228交换求和的顺序,则上式可转化为10/11/202228现在,我们来考察期初付年金额为1个单位的终身生命年金现值的方差根据方差的性质，则11/22/202229现在,我们来考察期初付年金额为1个单位的终身生命年金下面,我们考察精算现值与趸缴纯保费之间的关系式

11/22/202230下面,我们考察精算现值与趸缴纯保费之间的关系式10/1上式表明:年龄为x岁的生存者,在预定年利率为i的条件下,只要缴纳金额1元,便可享受期初付的年金额为d元的终身生命年金;而一旦死亡,还可在死亡的年度末获得1元的死亡保险金.若从一般的投资角度来解释,即(x)现在投资资金1元,在年利率i的条件下,可在(x)生存时,其每年的年初均可获得回报d元,而(x)一旦死亡,则在其死亡的年度末偿还其投资的本金1元11/22/202231上式表明:年龄为x岁的生存者,在预定年利率为i的[例1]一份金额为1元的期初付终生生命年金从90岁开始给付,其生存模型为

x90919293lx1007239011/22/202232[例1]一份金额为1元的期初付终生生命年金从9011/22/20223310/11/2022333.2.1期初付生命年金11/22/2022343.2.1期初付生命年金10/11/2022342.期初付定期生命年金每年支付1的n年期期初付定期生命年金的现值随机变量为11/22/2022352.期初付定期生命年金每年支付1的n年期期初付定期生命年11/22/20223610/11/2022363.期初付延期终身生命年金期初付n年延期终身生命年金为：在年金受领人(x)活着的情况下，从x+n岁开始，每年初支付1的年金。11/22/2022373.期初付延期终身生命年金期初付n年延期终身生命年金为：4.期初付确定期生命年金n年期期初付确定期生命年金是一种保证至少有n年支付的生命年金。其现值随机变量为11/22/2022384.期初付确定期生命年金n年期期初付确定期生命年金是一种3.2.2期末付生命年金1.期末付终身生命年金这种年金在年金受领人(x)活着的情况下，每年末支付1该年金的现值随机变量为其精算现值为表明年龄为x岁的生存者,在预定年利率为i的条件下,只要缴纳金额1元,便可享受期末付的年金额为i元的终身生命年金;而一旦死亡,还可在死亡的年度末获得1+i元的死亡保险金11/22/2022393.2.2期末付生命年金1.期末付终身生命年金这种年3.2.2期末付生命年金11/22/2022403.2.2期末付生命年金10/11/20224011/22/20224110/11/2022412.期末付定期生命年金每年末支付1的n年期末付定期生命年金的现值随机变量为其精算现值为11/22/2022422.期末付定期生命年金每年末支付1的n年期末付定期生命年事实上，因为对于n年期末付定期生命年金，其现值随机变量为11/22/202243事实上，因为对于n年期末付定期生命年金，其现值随机变量为111/22/20224410/11/202244[例2]一份于60岁签发的年给付额为1元并且延期10年给付的生命年金,已知死亡率服从demoivre分布且ω=100、i=0,试计算该年金给付总额超过该年金精算现值的概率。11/22/202245[例2]一份于60岁签发的年给付额为1元并且延期解:由于死亡率服从demoivre分布且ω=100,得到lx=ω-x=100-x11/22/202246解:由于死亡率服从demoivre分布且ω=1011/22/20224710/11/2022473.2.3变额生命年金一般地，假设年金的支付期间为[c，d]，在k时年金的支付金额为h(k)，k=c，c+1，…，d，相应年金的现值随机变量为Y，则（1）如果h(k)≡1，c=0，d=n时，上述一般年金就变成了离散型等额支付的n年期定期生命年金；（2）如果h(k)≡1，c=0，d=∞时，上述一般年金就变成了离散型等额支付的终身生命年金；（3）如果h(k)≡1，c=n，d=∞时，上述一般年金就变成了离散型等额支付的n年延期生命年金；（4）如果h(k)≡k，c=0，d=∞时，上述一般年金就变成了离散型期末付年度递增终身生命年金。11/22/2022483.2.3变额生命年金一般地，假设年金的支付期间为[c，11/22/20224910/11/20224911/22/20225010/11/20225011/22/20225110/11/202251t支付px+t020.80130.75240.5假设v=0.9，求该生命年金现值随机变量的均值和方差。11/22/202252t支付px+t020.80130.75240.5假设v=0.11/22/20225310/11/2022533.3每年m次支付的生命年金每年分m次支付的生命年金

在实际上，大多数个人生命年金通常是按月或按季或按每半年等方式来支付的。因此,讨论每年分m次支付的定额生命年金有重要的现实意义下面,我们以每年分m次支付,每次支付额为1/m元的期初付终身生命年金为例,求其精算现值，且根据现时支付法,则11/22/2022543.3每年m次支付的生命年金每年分m次支付的生命年将按上述方式给付年金的现值记作

11/22/202255将按上述方式给付年金的现值记作10/11/20225511/22/20225610/11/20225611/22/20225710/11/202257上式在高利率与低死亡率的特殊情况下常被采用,而在一般情况下,通常采用精算现值的传统近似计算公式：下面,我们介绍一下式(*)的来历11/22/202258上式在高利率与低死亡率的特殊情况下常被采用,而在一般情况下11/22/20225910/11/202259[例3]试根据附录I(C)的生命表和预定年利率i=6%,并在死亡均匀分布的假设条件下,计算到60岁时起退休者每月领取1000元的期初付终身生命年金的精算现值。解，由于年利率i=6%,则年贴现率d=i/(1+i)=0.0566从而,月利率和月贴现率分别可以得到11/22/202260[例3]试根据附录I(C)的生命表和预定年利率i11/22/20226110/11/202261对于每年分m次支付，每次支付金额相等的年金额为1元的期末付终身生命年金，其精算现值用符号表示为11/22/202262对于每年分m次支付，每次支付金额相等的年金额为1元的期末付终对于每年分m次支付、每次等额支付金额为1元的延期h年的期初付终身生命年金,其精算现值用符号表示为,则11/22/202263对于每年分m次支付、每次等额支付金额为1元的延期h年对于每年分m次支付,每次等额支付的年金额为1元的期初付n年定期生命年金,其精算现值用符号表示为,

根据现时支付法，则有11/22/202264对于每年分m次支付,每次等额支付的年金额为1元的[例4]试根据附录I(C)生命表与预定年利率i=6%,并在死亡均匀分布的假设条件下,计算生存者在45岁时每月领取800元的期初付25年定期生命年金的精算现值.解:依题意,知

11/22/202265[例4]试根据附录I(C)生命表与预定年利率i=6%11/22/20226610/11/202266

根据现时支付法,则

11/22/202267根据现时支付法,则10/11/2022673.3.2每年分m次支付的变额定期生命年金考虑每年分m次支付,年金额按年变动的期初付的n年定期生命年金的估值问题。设生存者自x岁开始,终止于x+n岁,领取的年金顺序列为bx,bx+1,…,by+n-1.每年分m次等额期初支付,则在y岁与y+1岁之间的m次支付在y岁的精算现值是而该项生命年金在x岁时的精算现值记作(apv)x,则11/22/2022683.3.2每年分m次支付的变额定期生命年金考虑每年分又设生存者在每一个年龄中死亡是均匀分布的,则

11/22/202269又设生存者在每一个年龄中死亡是均匀分布的,则10/11

若该项变额年金改为期末支付,并假设生存者在每个年龄中死亡是均匀分布的,记

11/22/202270若该项变额年金改为期末支付,并假设生存者在每个年龄中死§3.4完全期末年金与比例期初年金在连续生存年金场合,连续直至死亡,不存在调整最后支付问题。对于离散型生存年金,尤其是按年支付的生存年金,会提出根据死亡日期按比例调整的问题。譬如期末按年提供支付额为5000元的生存年金,当年金的领取者在支付日前1个月死亡时,可从上次领取日算起,对其活着的11个月按比例加付最后一次不满5000元的零头数额.又譬如,按生存年金方式支付保费1000元来购买人寿保险,当被保险人在周年缴费日1个月后死亡时,可退还该年度剩下11个月的已缴保费。那么,前者属于完全期末年金类型,后者属于比例期初年金类型。11/22/202271§3.4完全期末年金与比例期初年金在连续生存年金场合,完全期末年金每年1单位按1/m年期末支付,再加上根据从上个1/m年期末到死亡日这段时间调整的零数支付,这种完全生存年金的精算现值记为

因1/m年期末1/m等价于按年支付额它可以作为死亡发生在时刻t情况下的调整支付额

11/22/202272完全期末年金10/11/202272根据这一调整支付定义,完全期末生存年金恰好等价于年支付额为的连续型生存年金换句话说,在任何一个1/m年中,如果(x)始终活着,那么连续生存年金提供的支付在该1/m年末的值为如果(x)在该l/m年内死亡,那么连续生存年金所提供的支付在死亡时的值等价于它与完全期末生存年金的调整支付相当.11/22/202273根据这一调整支付定义,完全期末生存年金恰好等价于年支付额因此我们有包含利息因素的上式导致更为简单的结论11/22/202274因此我们有10/11/