考研概率全程笔记

概率论基础知识第一章随机事件及其概率-随机事件§1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为酶醺；(1)试验可在相同条件下市:复进行(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的:(3)每次试验哪个结果出现是未知的:随机试验以后简称为试验，并常记为E。例如：E,：掷一骰子，观察出现的总数：E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A,B,C例如，在Ei中，A表示'‘掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Q。每次试验都不可能发生的事情称为|不可能事件|，记为①。例如，在Ei中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为［W。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为废四加例如，在&中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，"掷出6点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为恒踵廷|，例如，在Ei中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为|样本点常记为e.例如，在日中，用数字1,2,……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6}便是Ei中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在Ei中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Q。例如，在Ei中,Q={1,2,3,4,5,6)在E2中，C={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}在E3中，Q={0,1,2, }例1,一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。

此试验样本空间所有样本点的个数为N2P2“产90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）此试验样本空间所有样本点的个数为N2P2“产90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为练= =45（组合）例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为15)(10卜者练15!5!561第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列§2事件间的关系与运算1、包含：“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A,记为AUB或BZ）A。例如，在Ei中,令A表示“掷出2点”的事件,即人=｛2｝B表示''掷出偶数”的事件，即B=｛2,4,6｝则AuB2、相等：若AUB且BCA,则称事件A等于事件B,记为A=BA=B例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=BA=B3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为AUB，或A+B例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。推广：U4=4U4U……U4=人4，……4至少有一个发组有限个J1（Ja=4U4U=｛A,4 至少有一个发生）无穷可列个"-14、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为ACIB或AB。例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令人=｛接到偶数次呼唤｝,B=｛接到奇数次呼唤｝,则AnB=｛接到6的倍数次呼唤｝

推广:=444=｛44, 4同时发生｝任意有限个2-1=44 =｛4,出 同时发生｝i-l 无穷可列个5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。A-B例如，测量晶体管的B参数值，令A=｛测得B值不超过50｝,B=｛测得B值不超过100｝,则A-B=巾，B-A=｛测得B值为50<BW100｝A-B6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=4>,则称A与B是互不相容的。AB0例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若人=｛红灯亮）,B=｛绿灯亮｝,则A与B便是互不相容的。AB07、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为N显然工UN=C，ACZ=4>例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A=｛取得的3个产品中至少有一个次品｝,则月=｛取得的3个产品均为正品｝。§3事件的运算规律1、交换律AUB=BUA；ACB=BCA2、结合律(AUB)UC=AU(BUC)；(APB)nC=AD(BAC)3、分配律AD(BUC)=(ACB)U(AAC),AU(BAC)=(AUB)D(AUC)4、对偶律AUB=A[}B,AC\B=A\^B,此外，还有一些常用性质，如AUBDA,AUBDB(越求和越大)；AHBCA,ADBCB(越求积越小)。若AUB,则AUB=B,ACB=AA-B=A-AB=AB等等。

例3,从一批产品中每次取一件进行检验，令Aj=｛第i次取得合格品｝,i=l,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=｛三次中恰有两次取得合格品）D=｛三次中最多有一次取得合格品）解：a=AiAzA3b=4U4U&c=44&U444UQ=44U4&U兑2“3表示方法常常不唯一，如事件B又可表为B=4石耳U耳U4石耳U U4^43U44川U 或§=耳豆耳例4,一名射手连续向某一目标射击三次，令Aj=｛第i次射击击中目标｝,i=l,2,3,试用文字叙述下列事件：4U4，£，4U4U&44&4-&4U4,4U不解：&U4=（前两次射击中至少有一次击中目标J石=｛第二次射击未击中目标）4U4U区=（三次射击至少有一次击中目标JA1A2A3=（三次射击都击中目标）A3-A2=｛第三次击中目标但第二次未击中目标｝而石=（前两次均未击中目标册主:而再=可石）411豆=（前两次射击至少有一次未击中目标）例5,下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，I,II,III.闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。解，不难看出有如下一些关系：BCC.A.BDa.ABCuBD=A,BA=O,等-事件的概率§1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）o规定P（A）》O,P（Q）=k1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令人=｛掷出2点｝=｛2｝,B=｛掷出偶数总）=｛2,4,6｝o此试验样本空间为。=｛1,2,3,4,5,6｝,于是，应有1=P（Q）=6P（A）,即P（A）=-.而P(B)=3P(A)=38而P(B)=3P(A)=38所含的基本事件数6 基本事件总数定义1：在古典概型中，设其样本空间Q所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N。而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为Na，则事件A的概率便定义为：pg3/包含基本事件数⑷_亚-基本事件总数例1，将•枚质地均匀的硬币抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间。={(H,H,H)(H.H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H.T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}.可见N0=8令人={恰有一次出现正面},贝ijA={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}可见，令Na=3故尸⑷=丝=之练8例2,(取球问题)袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。(1)有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；(2)无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；(3)一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A=1恰好取得2个白球}的概率。解(1)有放回取球N°=8X8X8=83=512(袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)N.= 5x5x3= 5231=225A9 0I“ (先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取尸⑷="=竺=0,44N0=8x7x6=4(2)无放回取球 (3)NN0=8x7x6=4(2)无放回取球 (3)Na= 5x4x3=(3)一次取球 招=—=56Q(3J3!5!故P(A)=-A=3363}3, 故产(4)=&2^4=180 练JNa= =30“211八J^.0(3.22.054% ； 56属于取球问题的一个实例:设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为=0.1377（属于一次取球模型）例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（nWN）。解：令人=｛恰有n个盒子各有一球｝,先考虑基本事件的总数=0.1377（属于一次取球模型）例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（nWN）。解：令人=｛恰有n个盒子各有一球｝,先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列（卜故尸（⑷=以一N*属于分球问题的一个实例:全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令人=｛40个同学生日皆不相同｝,则有4n(365练=365?%=Io40! 故尸（＜）=」（可以认为有365个盒子，40个球）例4（取数问题）从0,1,…….9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四个数排成一个偶数：（2）四个数排成一个四位数：（3）四个数排成一个四位偶数；解：令人=｛四个数排成一个偶数｝,B=｛四个数排成一个四位数｝,C=｛四个数排成一个四位偶数｝练=4=10x9x8x7；纥=5x9x8x7,故产(5)5x9x8x72 =0.510x9x8x7与=4 =10x9x8x7-9x8x7,故P(B)10x9x8x7-9x8x710x9x8x7=0.95x9x8x7-4x8x7,故P(C)5x9x8x7-4x8x7,故P(C)=5x9x8x7-4x8x7八 0.45610x9x8x7例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？

解：令人=｛有人手里有13张黑桃｝,B=｛有人手里有4张A牌）52)(39M26Ml3)131313132）（39）的03、同13加于是2）（39）的03、同13加于是P(A)=匕=N0故p（B）=必=不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质:1°P(A)202°P(Q)=1X J.3°若A|,A2, , A”两两互不相容，则尸(」4)=2尸(4)2-1 2-12、概率的统计定义频率：在n次重爱试验中，设事件A出现了以次，则称：力（/）=工为事件A的频率。频率具有一n定的稳定性。示例见下例表试验者抛硬币次数n正面（A）出现次数以正面（A）出现的频率工（卬=工n德•摩尔根204810610.5180浦丰404021480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率MA）越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p

不难证明频率有以下基本性质：1。工(⑷20 2。〃Q)=13°若A”a2,……，两两互不相容，则/(04)=之工(4)£-13、概率的公理化定义(数学定义)定义3：设某试验的样本空间为C,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理：1°P(A)20(非负性) 2°P(Q)=1(规范性)9 _3°若A],Ax……，An……两两互不相容，则尸(JA,)=W产(4)(可列可加性，简称可加性)则称P(A)为A的概率4、几何定义定义4：假设Q是Rn(n=l,2,3)中任何一个可度量的区域，从Q中随机地选择一点，即Q中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是。，假设事件A是Q中任何一个可度量的子集，则P(A)==u(A)/u(Q)§2概率的性质性质1：若AUB,则P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差证：因为：AUb所以：B=AU(B-A)且AA(B-A)=<t>,由概率可加性得P(B)=P[AU(B-A)]=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A)性质2：若AUB,则P(A)WP(B)——概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得OWP(B-A)=P(B)-P(A),即P(A)<P(B)性质3：P(A)W1证明：由于AUC,由性质2及概率的规范性可得P(A)性质4：对任意事件A,P(%)=1-P(A)证明：在性质1中令B=Q便有P(刁)=P(Q-A)=P(Q)-P(A)=1-P(A)性质5：P(<t>)=0证：在性质4中，令A=Q,便有P(。)=P(Q)=1-P(Q)=1-1=0

性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)证：由于AUB=AU(B-AB)性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)证：由于AUB=AU(B-AB)且AC(B-AB)=。(见图)由概率的可加性及性质1便得P(AUB)=P[AU(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)推广：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例6设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。解：令C=｛取出产品中至少有一个是次品｝,则守=｛取出产品中皆为正品｝,于是由性质4得P(C)=1-P(C)=1-7 171--=—=0.712424例7,甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35,而同时下雨的概率为0.15,问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。解：令人=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按题意所要求的是P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6例8.设A,B,C为三个事件，」知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一个发生的概率。解：由于ABCuAB故0<P(ABC)<P(AB)=0从而P(ABC)=0于是所求的概率为P(A\JB\JC)=F(工)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC')—+—+——Q—0——+0444 8三条件概率§i条件概率的概念及计算

在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P(A/B)。条件概率P(A/B)与无条件概率P(A)通常是不相等的。例1：某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：人数男女总和非熟练工人401050其他职工210240450总和250250500现从该厂中任选一职工，令人=｛选出的职工为非熟练工人｝,B=｛选出的职工为女职工｝显然，=—；而500 500 500尸(〃)=〃_=/空=电型，隔/)=12=蜂=迪25025%尸⑻VA/505%o玉)定义1设A、B为两事件，如果定义1设A、B为两事件，如果P(B)>0,为在事件B发生的条件下，事件A尸⑻的条件概率。同样，如果P(A)>0,则称产(%)=为在事件A发生条件下,事件B的条件概率条件概率的计算通常有两种办法：(1)由条件概率的畲义计算(通常适用于古典概型)，⑵山条件概率的定义计算。例2：一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次品管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？解：令A=｛第一次取的是好的晶体管｝,B=｛第二次取的是好的晶体管｝按条件概率的含义立即可得：P(%)=|按条件概率的定义需先计算：尸⑷=9=之,尸(3)=生2」；于是尸(%)=斗驾=?3=2105 10x93 产⑷3/9例3：某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时，向它还能再工作1000小时的概率为多大？解：令A=｛集成电路能正常工作到2000小时｝,B=｛集成电路能正常工作到3000小时｝

已知:：P(A)=0.94,P(B)=0.87且3U4,既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87按题意所要求的概率为：产(%)=£殷=丝2=0.926尸⑷0.94§2关于条件概率的三个重要公式.乘法公式定理1：如果产仍)>0,则有网48)=尸@)尸(%),如果产⑷>0,则有尸58)=尸")尸窗)例4：已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品，今从这批产品中任取一件，求取得的为一级的概率.解：令A=｛任取一件产品为一级品｝,B=｛任取一件产品为合格品｝,显然AaB,即有AB=A故P(AB)=P(A).提，所要求的概率便为尸⑷=P(AB)=尸(8)产出)=96%X75%=72%例5:为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85,试求：(1)当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统b失灵情况下，系统a有效的概率.解：令A=｛系统a有效｝B=｛系统b有效｝已知P⑷=0.92,P⑶=0.93,尸%)=085对问题(1),所要求的概率为U5)= =1.85-P｛AB｝,其中P｛AB｝~P[B-BA) (见图)=产⑻-P(BA)=尸⑶-尸(N)尸%)=0.93-0.08xQ.85=0,862于是P(^U5)=1.85-0.862=0,988对问题⑵'所要求的概率为：尸(%)=需=岩需=嘴岁="萨=°期推广：如果尸(小&…4-i)〉o,则有产(44…4)二尸⑷4%仅J产［%4.•4J

证:由于4n44n…n&V4］，故尸(4)2-44)2…2尸(4出…和》。所以上面等式右边的诸条件概率均存在，且由乘法公式可得4M…4)=尸(4/4必%出…4J=取夕4加例6：10个考签中有4个难签，三个人参加抽签(无放回)甲先，乙次，丙最后，试问(1)甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少？(2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少？解：令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，对问题(1),所求的概率为:N血)=y)P(%X%j*X白£$=0。33对问题(2),甲抽得难签的概率为：P(A)=—=0.410P®=P（ABUAB）-P（AB）+P（AB）=产（月）尸%）+尸（月）尸%）乙抽得难签的概率为4364=—X—+—X—=04

109109 ■尸（C）=P（ABCUABCUABC\JABC）=P{ABC）+尸@5C）+P（ABC）+P（ABC）丙抽得难签的概率为I尸俗0=明尸%H%/十―其中"）=/ 小犯”尸⑷尸（%蛇》鬲x个尸仅犯"尸疑%H%J=白令^=i于是p（c）=—+-+—+-=—=0.4301010610.全概率公式完备事件里|：如果一组事件在每次试验中必发生且仅发生一个,

即UHi= =武=J）.则称此事件组为该试验的一个完备事件组2-1例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：①{1},{2},{3},{4},{5},{6}；②[1,2,3},{4,5},{6};③A,N(A为试验中任意一事件)定理2：设Hi，//?，…耳.为一完备事件组，且尸（耳J>O（i=12…则对于任意事件A有产口）=力（区）产2-1产口）=力（区）产2-1证：由于U=Q且对于任意i*j9Hin;/1=1于是A=AC=A（|jHi）=ChNi）且对于任意W 于是由概率的可加性及2-1 2-1rrX 黑乘法公式便得：尸⑷"u典卜》%.例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下:由全概率公式便得所求的概率为根据以往资料可知，中国胜美国的概率为例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下:由全概率公式便得所求的概率为根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4,中国胜日本的概率为0.9,而日本胜美国的概率为0.5,求中国得冠军的概率。解：々H={日本胜美国）,豆={美国胜日本）,A={中国得冠军}尸⑷=尸⑻尸（％）+尸（研为卜05x0.9+0,5x0,4=0,65尸⑷=尸⑻尸（％）+尸（研为卜05x0.9+0,5x0,4=0,65例8,盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中,第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率解：令H»={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=O,1,2,3,A={第二次比赛取出的3个球均为新球}口m…法

叶P）于是P(H0)=融，P(H1)=m…法

叶P）胃胃(3)(si而p%。尸p(%1)hp(%?)Hp磔由全概率公式便可得所求的概率.即演出即LIPU.即演出即LIPU3贝叶斯公式定理3：设Hi,H2 H”为一完备事件组，且P(Hj>O(i=1,2,…证:由乘法公式和全概率公式即可得到产("%)=笔蛾证:由乘法公式和全概率公式即可得到产("%)=笔蛾例9：某种诊断腕症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95,不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95,并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？y (先验概率)解：令H=｛做实验的人为癌症患者｝,可=｛做实验的人不为癌症患者),A=｛实验结果反应为阳性｝,｛实验结果反应为阴性｝,由贝叶斯公式可求得所要求的概率:例10：两信息分别编码为X和丫传送出去，接收站接收时，X被误收作为丫的概率0.02,而丫被误作为X的概率为0.01.信息X与丫传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X,问原发信息也是X的概率为多少？解：设H=｛原发信息为x｝而 目=｛原发信息为冷

又设A=｛收到信息为X｝A=（收到信息为Q2由题意可知 产（女）=可，尸口卜）=1-产（工口）=1-0.02=0.98P{HA)尸（刈凡）尸（月）

P（AH）P（H）+尸例五）尸（耳）由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为20.98x±32 f0.98X-+0.01X-尸口卜）=1-产（工口）=1-0.02=0.98P{HA)尸（刈凡）尸（月）

P（AH）P（H）+尸例五）尸（耳）由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为20.98x±32 f0.98X-+0.01X-3 3196197例11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中%的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占%,已知甲，乙两厂的次品率为2%,丙厂的次品率为4%,现从箱中任取一产品（1）求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；（2）求所取得产品是次品的概率；（3） 已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？解：令以1，耳2,月3分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A=｛所取得的产品为次品｝显然「阳）吆,尸⑻）=*）=%,产阂=修）=4%对问题（1）,由乘法公式可得所要求的概率：尸（H］工）=尸（女1）产（%）=%x2%1%对问题（2）,由全概率公式可得所要求的概率x2%+%x2%+%x4%=2.5%对问题（3）,由贝叶斯公式可得所要求的概率费7。%四独立性§1事件的独立性如果事件B的发生不影响事件A的概率，即?（%）=尸（⑷,（尸伊）＞0）则称事件A对事件B独立。

如果事件A的发生不影响事件B的概率，即尸（夕彳）=尸（8）,（尸（⑷>0）则称事件B对事件A独立。不难证明，当尸（⑷>0,尸（3）>0时，上述两个式子是等价的。事实上，如果尸照）=尸缶），则有尸（43）=产@）产（%）=尸（4）尸（8）反之，如果产（4B）=尸（⑷尸（B）,则有产（%）=与当产（%）=尸⑷oF（AB）=产（欧⑷同样可证产（%）=P⑻OP（AB）=?仍炉仍）尸（%卜尸（⑷O尸（%卜尸（⑷OP（AB）=尸（d）P（B）OP（%）=产仍）可见事件独立性是相互的。设4,8为两个事件，如果P（AB）=尸（⑷P（B），则称事件A与事件8相互独立。例1,袋中有3个白球2个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令A=｛第一次取出的是白球｝B=｛第二次取出的是白球｝问A,B是否独立？解⑴有放回取球情况，则有尸（⑷=%，尸（8）=%，产（/3）=3%=%5可见，尸（HB）=尸（⑷尸（3）,可见A,B独立。（2）无放回取球情况，则有尸（4）=%,p（b）=（2）无放回取球情况，则有尸（4）=%,p（b）=3x2+3x235x410可见，尸（SB）x尸（为乃伊），故A,B不独立。（实际上就是抓阉模型）例2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统I,U（见图）每个元件的可靠性（即元件正常工作的概率）为r（O<r<l）.假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.解：令A=｛元件a正常工作｝,B=｛元件b正常工作｝，且A,B独立。Cl=｛系统I正常工作）, C2=｛系统II正常工作｝系统।于是系统I的可靠性为尸（g）=P（AB）=尸（⑷尸仍）=系统।系统II

系统11的可靠性为尸(Q)= UB)=产⑷+尸(B)-式AB)=尸㈤+P(B)~尸(⑷尸(衣)=2r-显然「(Cz)=2r-户>2户-M=储=产(CJ(00<1),系统H可靠性大于系统I的可靠性。定义：设A,B,C为三个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C为相互独立的。定义2：设A,,削，……A”为n个事件，如果对任意正整数片(左4万)及上述事件中的任意小事件有p(44-4)=尸(4»(4)…尸(4)则称这n个事件A，&……，人是相互独立的。下面几个陋是常用的：(1乂,8独立、4硼立、28独立、为硼立四个命题有一个成立其它三个必成立。证：设A,B成立，即PQiB)=尸(⑶户(B),于是有尸(力耳)=P(A-AB)=尸(⑷-P(AB)=尸(⑷-尸(力)尸(3)=尸(4)[1-P(5)]=尸(4)尸(方)— 48独立n4融立=3谢立n33独立故A.B独立。利用这个结果便可证明其它结论，即f由二工犷(2)如果4n2…，4相互独立，则产口产⑷(2)如果4n2…，4相互独立，则产口产⑷(3)如果可力？…，4相互独立，则产U41力小)证：p[J4n f»_\-pU4=i-pQa_ iii5'3'4例3：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为求密码能被译出的概率5'3'4解：令入=｛第i个人能译出密码｝,1=1,2,3；A=｛密码能被译出),所要求的概率为产⑷=P（4必"3）=1-尸传,优＞区）=1"x%卜0.6j34例4：设每支步枪击中飞机的概率为P=0.004,（1）现有250支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;（2）若要以99%概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？解：令Ai=｛第i支步枪击中飞机｝ j=1,2,……,n；A=｛飞机被击中｝对问题（1）,n=25O,所要求的概率为尸⑷=尸（4口4U…％））=1-产句网4）'''产年50）=1-（1-尸）*°=1-0.9962"%063对问题（2）,n为所需的步数，按题意尸（4）=1-（1-尸）*=0.99,即（1-产）*=0.01,即0.996,=0.01 于是得力=＞001*1150In0.996§2独立重复试验独立重复试验|在相同条件下，将某试验重复进行n次，且每次试验中任何•事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n次独立重复试验。努里实函二＞ 如果实验只有两个可能结杲4,A且尸（⑷=尸（0（尸＜1）称此试验为I贝努里试走n重贝努里试阖将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。例如，（1）将一骰子掷10次观察出现6点的次数——10重贝努里试验（2）在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个，观察取得次品的次数——5重贝努里试验（3）向目标独立地射击n次，每次击中目标的概率为P,观察击中目标的次数一n重贝努里试验等等一个重要的结果：在n重贝努里实验中，假定每次实验事件A出现的概率为p（0＜”1）,则在这n重贝努里实验中事件A恰好出现k（kWn）次的概率为名&）=（：）尸％左=0,12…/其中q=l-p事实上，令4=（第1次试验A出现），而A= 次试验14不出现｝,i= ,«因此，在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次的事件便可表为

1二 2 12 1N*7上式为在n次试验中恰有k次A出现，而U44…4$4_3…4,在另外n-k次A不出现的所有可能事件之和，这这些事件共有：）个，且他们是两两互不相容的。于是由概率的可加性及事件的独立性便可得到在n重贝努里试验中事件A恰好出现k次的概率为A伏）=尸（44…44+/“2…4U44…A-14A+1…4U…U44…41d …4）kn-k.kx-k. .k畜一反=pq+pq+•••+/>qK _ J啕中t_n3k〜*-h例5：设电灯泡的耐用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用了1000小时之后：（1）恰有一个灯泡损坏的概率；（2） 至多有一个灯泡损坏的概率。解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验。令A=｛灯泡是坏的）,则p=P（A）=0.8若令B产（有i个灯泡损坏｝,i=0,对于问题（2）,所求的概率为123；对于问题（1）,所求的概率为产（4）=A（1）=（若令B产（有i个灯泡损坏｝,i=0,对于问题（2）,所求的概率为=（0,2）3+（?）0.8110.22=0.008+0,096=0.104例6：某工厂生产某种产品，其次品率为0.01,该厂以每10个产品为一包出售，并保证若包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件A,p=P（A）=0.01）数的实验可视为10重贝努里实验。令用=（包内有，个次品｝,7=0,1,2,…,10则产⑻=的（。01）'（099）3/=0,1,2,…,10令c=｛卖出一包被退回｝,则P©=1-P（C）=1-P（B0U5j=l-尸（稣）-尸（用）=1-（0.9严）-0）（0.0『（0.99）9〜0004如果厂方以20个产品为包出售，并保证包内多于2个次品便可退货，情况又将如何呢？完全类似可算得尸（C）=1-（0.99）2°-（秋001＞（099）19_e）（0.01）2（0.99”^0001第二章随机变量及其分布函数-随机变量及其分布函数§1随机变量的概念随机变量：设试验的样本空间为。，§1随机变量的概念随机变量：设试验的样本空间为。，在。上定义一个X=X(e),ee。,对试验的每个结果e,X=X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那X=X

(e)的取值也是随机的，我们便称此定义在样本空间Q上的单值实函数*=X(e)为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示了。(见图)通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。例1向靶子(见图)射击一次，观察其得分，规定击中区域[得2分 •TTIII击中区域HI得0分 样本空间。={I,II,111)«定义随机变量X表示射击一次的得分即 2e=1,于是， X=X[e)=<1,e=II,0,e-III,4={击中区域l}={e:N(e)=2}㈣=2) 门3B=(甲靶片(击中区域I或击中区域UJ=(e:X&)=2或砥e)=1]-"孰二="例2观察某电话交换台，在时间T内接到的呼唤次数。样本空间。={0,1,2,……}»可定义随机变量X就表示在时间T内接到的呼唤次数。于是，A={接到呼唤次数不超过10次}={XW10}B={接到呼唤次数介于5至1。次之间}={5WXW10},,例3从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命(单位：小时)样本空间Q=[0,+~]o可定义随机变量X表示所测得灯泡的寿命于是，A={测得灯泡寿命大于500(小时)}={X>500}B={测得灯泡寿命不超过5000(小时)}={XW5000}。不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。试验的样本空间。={H,T},H一正面，T一反面。可定义随机变量X表示上抛1次硬币正面出现的次数，即理，AX理，AX=X@=1,e=H,={出现正面}={X=1}.用随机变量表示事件常见形式有{1}{X]<X<x7}={X <x.}等等(这里X为随机变量，X,X1,Xz等为实数)§2分布函数

定义设X为随机变量，对任意实数X,则称函数F(x)=P{XWx}为随机变量X的分布函数。例1机房内有两台设备，令X表示某时间内发生故障的设备数，并知P{X=0)=0.5,P{X=l}=0.3,P{X=2}=0.2,求X的分布函数F(x)。解：由于X的可能取值为0,1,2故应分情况讨论：当x<0时，F(x)=P{X<x}=0当0Wx<1时，F(x)=P{XWx}=P{X=0}=0.5当lWx<2时,F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=l}=0.5+0.3=0.8当x22时，F(x)=P{XWx}=P{X=O}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=10,总之，F(x)=«°'0.8,11x<2x22例2向一半径为2米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶。令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数F(x).11x<2x22解：当x<0时，F(x)=P{X<x}=0当0《xW2时，F(x)=P{XWx}=P{击中半径为x的同心圆}=入nx特别，当x=2时，l=F{2}=An4,解得A=l/4n,代入上式便得网x)崂当x>2时，F(x)网x)崂性质1«F(x)是单调不臧的，即对任意x,<x2,有F(x。WF(x2)；2,>OWF(x)W1且F(-8)=0,F(+8)=1；F(x)为右连续的，即对任意x,有F(x+O)=F(x)。可以证明(略)以上三条性质是分布函数所具有的三条基本共同特性。

利用分布函数可求随机变量落在某些区间上的概率，如P[X<a]=尸⑷产{X>a}=p与力=1-RX4司=17（a）P[a<Xib}=P[X<b}-P[X<a）=尸⑥-尸（a）等等。例3在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为'0,x<0,F（x）=«—, 04x42,1, x>2,于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域（见图）的概率产{0.4<^r<1.2]=F（1.2）-F（0.4）= =0.32随机变量分类：离散型健续型随机变量1嘱伊戈"非离散型混合型奇异型等二离散型随机变量及其分布律§1离散型随机变量及其分布律的概念定义：如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。性质：1。Ple0,一切l；2.设X的所有可能取值为X”x2,……xn,……，则称下列一组概率P{X=Xi}=Pi,i=l,2,……，性质：1。Ple0,一切l；2.例1设袋中装着分别标有T,2,2,2,3,3数字的六个球，现从袋中任取一球，令X表示取得球上所标的数字，求X的分布律。

解：X的可能取值为T,2,3,且容易求得1 3 1 2 1P（X=-1}=士，尸（X=2）=2=上,产{X=3}=金=上故X的分布律为p1/6 1/2 1/3例：相同条件下，独立的向目标射击4次，设每次击中目标的概率为0.8, 求击中目标次数X的分布律解：X的可能取值为0,I,2,3,4利用二项概率公式便可求得P{X=0}=(0,2)4=0,0016X01234p0.00160.02560.15360.40960.4096X的分布律为P{X=1}= (0.8)1(0.2)3=0X的分布律为P{X=2)=：)(0.8F(0.3『=0]536'4：P{X=3}=§(0.840,3)i=0.4096产{X=4}=（0.8），=04096例2社会上定期发行某种奖券，每券-元，中奖率为p,某人每次买1张奖券，如果没有中奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数X的分布律。如果中奖率为1%,问他至少应买多少张奖券才能以不少于99%的概率中奖。解（1）令Ai={第i次购买的奖券中奖},i=l,2,……且尸（4）=尸，尸（4）=1 4,…是相互独立的。于是产{尤=1}=产（4）=pp{x=2}=产（耳百）=尸伍＞㈤）"（1-p）pP〈x=3}=F（X豆区）=尸（4＞何卜（4）=（I-p）2PP1x=»=尸怎石…诟4）=尸体卜（石）…尸（屋;,⑷=（I-pTxpX的分布律为X123 i pp(l-p)p(l-p)2p (1-p),-,p （2）设n为所需购买的奖券数，按题意P{X《n}299%即尸{登向=与网"}=字（》”,七分= >99%即(l-p/-1<0.01 即(0.99尸40.01,解得…2包”1=456.96取〃2457In0.99例4某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件（1）求取出的3件产品中所含次品数X的分布律（2）求取出产品中至少有一件次品的概率：（3）求出X的分布函数F（X）,并作其图形。解（1）X的可能取值为0,1,2,3,且有=0.7865P(X=1)=00I=0.7865P(X=1)=00I八J=0.2022P{X=2)=1,八、/=0.0112f40)

=0.0001中至少含有一件次品的概率为于是=0.0001中至少含有一件次品的概率为于是X的分布律为0123U0.78650.202 20.011 20.000 1P{X21}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或P{X^1}=1-P{X<1=1-P{X=0}=1-0.7865=0.2135(3)由分布函数定义不难求得X的分布函数为f(x)10.99990.988707B65 0—d23‘0, x<00.7865, 04x<1尸(x)=<0,9887, 1<%<20.9999, 2<x<21, x>3离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：(1)阶梯形；(2)仅在其可能取值处有跳跃；(3)其跃度为此随机变量在该处取值的概率。一般，若x的分布律为P{x=x,}=pi,i=i,2,……，则x落在区间I内的概率便为P(Xel)=^piJr.eZ从而，X的分布函数与分布律的关系便为尸(彳)=§2几个重要分布, , X0I1」两点分制如果随机变量X的分布律为pqp其中0<p<1,q=1-p则称X服从参数为P的(0—1)两点分布,简称为两点分布,记为X〜B(1,p)实际背景:在贝努里实验中，设事件A的概率为p(0<p<l)如果所定义的随机变量X表示A发生的次数，即xJ1,媛生，例5.一批产品的废品率显然例5.一批产品的废品率显然X的外而律)为5%,从中任取一个进行检查，若令X表示抽得废品的数H，即X01P95%5%则X〜则X〜B(l,5%)即X的分布律为(0,抽得正品

左=0,1,2,…,附其中0<p<1,2.匚项分布|如果随机变量X的分布律为左=0,1,2,…,附其中0<p<1,P,则称X服从参数为(n,p)的二项分布，记为X〜B(n.p)实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在n重贝努里实验中，如果每次实验事件A出现上=012,…，力的概率为p(O<p<l),则在n次独立市复实验中A恰好出现上=012,…，力于是，在此n重贝努里实验中，如果定义随机变量X表示事件A出现的次数,力%Jk=0,1,2,•••,«,即X〜B(n,p)例6某工厂每天用水量保持正常的概率为%,求最近6天内用水量正常天数X的分布律，并求用水量正常天数不少于5天的概率。解：由二项分布实际背景可知X~B(6, %)，混产(工=0)=田=00002尸(X=D 8=0.0044尸(X=2)=(；)田田=0.0330nx-3)-「雕[=01318Ptx=4)=怅=0.2966 Ps凡-俳j田；03560P(x=6)=(21=0,1780即X的分布律为wnnrnr^nr^r^T^T^-F||0.0002|[0.0044|国330||0.131 0.2966||0.3560||0.17初用水量正常天数不少于5天的概率为60.3560+0,1780=0,5340P[X>5)=£产0.3560+0,1780=0,5340例7一批产品的废品率为0.03,进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0」的概率。解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数.X-B(20,0.03)(注意：不能用X表示频率,若X表示频率，则它就不服从二项分布)所求的概率为尸(%=oD=产{X=2}=2 03)地97y8=00988泊松定理：如果npn=z-1>0(»= ,则有lim:球(1-外)“"=/-e-，*=0,1,2,…k k\LI证：由于号>*=R即/=于是n产=怕阴用n)

近似公式:设n充分大，p足够小（一般n210,pW0.1）时，有例8:利用近似公式计算前例中的概率.vP(—=0.01)=P[X=2)近似公式:设n充分大，p足够小（一般n210,pW0.1）时，有例8:利用近似公式计算前例中的概率.vP(—=0.01)=P[X=2)解： ..*—e-06^-0.098792!'20'2(0.03)2(0.97*1=20,p=0.03,,1=即=0.6)例9:有20台同类设备由一人负责维修，各台设备发生故障的概率为0.01,且各台设备工作是独立的,试求设备发生故障而不能及时维修的概率.若由3人共同维修80台设备情况又如何？解：（\）1人维修20台设备.而不能及时维修的概率为令X表示某时刻发生故障的设备数.X~B（20,0.01）于是，发生故障P[X>2)=Y(0.01尸(0.99)

Wk21 即=20x0.01=0.2)JU2用（2）3人维修80台设备不能及时维修的概率为查表假设X表示某时刻发生故障瘢客射耳2B（80,0.01）于是，发生故障而P[X>4)= 80(0.01)"(0.99)8°*为280(0.8/k\80x0.01=0.8)查表==0.00913.恒检允布如果随机变量X的分布律为尸{尤=后=二（eT,k=0,l,2，…其中入＞0,则称X服从参数为人的泊松分布，记为X〜n（入）或者X~P（A）实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。（1）在时间&Z+&）内流过质点数的概率仅与&有关，与t无关；（2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；（3》在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数；单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。例10：设X〜双耳且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}解：由于万〜取不，即X的分布律为产{尤=口=二_€“&=0,1,2…于是有J1 12 12尸{X=D=二-6々=八P々F{X=2)=M-e-a=二一0.由条件P{X=1}=P{X=2}可得方程1! 2! 2加"=二8-*即2,1=,也即 2）=0解得入=2,0（弃去）2，a杳表所以X-X2）,于是产（X=4）=亍々=0.0902例11：设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数入=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90%的概率使用户得到及时服务。解（1）X〜我3）,其分布律为尸[X=k}='e-3为=0,],2,…于是，在一分钟内接到超过7次k\呼唤的概率为 p（x>7}=P[X>8}= =00119（2）设所需设备的线路为K条，按题意应有P{XWK}-90%即P{XWK}=l-P{X>K}=l-P{X》K+l}20.9即P{X-K+l}W0.1查表得P{X26}=0.0839而P{X25}=0.1847,故应取K+1=6,即K=5所以，至少要设置5条线路才能符合要求。三连续型随机变量及其概率密度§1连续型随机变量及其概率密度的概念所谓|连续型随机变是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的,连续型随机变量X有以下特点: 04P=x}=p{x-Ax<X 蜘{X=x}=0⑴他任意实数X，p{-F6]事实上,=F（x）-F（x-&）7尸（x）7（x）3⑵ 封=p9幺X<b]=p[a<=<小）下面建立连续型随机变量X在实数x处的概率密度（概念的引入）首先，考虑X落在区间（x,x+&]内的概率p{x<X4x+加）=尸（才+&）-F（x）其次，求出X落在区间（x,x+&]内的平均概率密度P四<X«虫 ？（外+&）一.（X）△x &最后，令反70便得到X在x处的概率密度

11m以x<X4x+&)=11m尸(x+&<斤㈤w(x)“to 瓜 Ar令y(x)=P(x)20,从而便有斤(x)=j.定义设F(x)为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数/(X)使得对任意实数X,有尸⑺则称X为连续型随机变量，〃x)为X的避邈。性质T/(x)20,一切x； 2*'/(xHx=1事实上由于尸(x)=//.W1=斤(+8)=0了.%J-9 ,.一个重要结果p[a<x<5}=£/(工效事实上，p[a<x<2>)=p{a<x<i)=F(b)-F(a)=f/(x.x-f/(x)dxJ-9 J-«>=A」(x)dx+//(工物-口(x^x=f/(工法.几何解释(1)」(x)20,表明密度曲线1y=/(x)在x轴上方；A/(x)dx20表明密度曲线1y=/(x)与x轴所夹图形的面枳为1；p[a<x<b)=(」(x班表明X落在区间(a,b)内的概率等于以区间(a,b)为底，以密度曲线y=/(x)为顶的曲边梯形面积。为求系数k及分布函数F(x),系：,㈤=jjQW，/(x)=为求系数k及分布函数F(x),例1：已知连续型随机变量X的概率密度 仲+1,04x42并计算概率P{1.5<X<2.5} =，0,其它

解:⑴因为j：/(xbx=i故1.X .2k—+ x L2 102k+2解得k=-1/2.于是X的概率密度为了6)解:⑴因为j：/(xbx=i故1.X .2k—+ x L2 102k+2解得k=-1/2.于是X的概率密度为了6)-L+1,04x«20,其它(2)当x<0时，尸㈤=0当04x42时，F（x）=f当x>2时，F（x）=j=j（-x<0总之，尸(x)=,04x42x>2（3）Xl5<x<2,5）=F（2.5）-F（1.5）=1-0.0625100例2.一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为了6)'某仪器内装有三个这,x<100样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为100150 100X=1-122=115031y服从二项分布令丫表示工作150小时内损坏的电子管数，则Y-B3,y服从二项分布—=0.44于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率p{y=1}=§2—=0.441.曲匀分布| 如果随机变量X的概率密度为= ""'，"则称*在区间g1>]上服从0,其它(0 ,x<a—,a<x<bb-a1 ,x>b实际背景：如果实验中所定义的随机变量X仅在一个有限区间[a,b]上取值，且在其内取值具有“等可能”性，贝UX〜U[a,b]。例2.某公共汽车从上午7:00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7:00,7:15,7:30,…时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则X〜U[0,30],即其概率密度为y(x)=(而0,其它于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为p{10<X<15或25< <30)=p{10< 115}+p{25< <30)一+2」303032.|指数分相如果随机变量X的概率密度为/(x)=卜电"其中工>0,贝麻X服从参数为X的 10,x<0指数分布，记为X〜E(A),其分布函数为F(x)=｛；-e实际背景：在实践中，如果随机变量X表示某一随机事件发生所需笠位的时间，则一般X〜E(A)。例如，某电子元件直到损坏所需的时间(即寿命)；随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。例3.设随机变量X服从参数为入=0.015的指数分布，(1)求p｛星>100｝：(2)若要使p[X>X)<0.1，问x应当在哪个范围内?(00]c-0.01Arx>00'%于是，(1)p｛X>100｝-0r(x)dx=r0.015e~°m"dx=(-e"°叫于是，(1)0.223=e-】,

0.223⑵要使p[X>x)<0.1,即r-r0.0150-°°1攵由=(-2-°叫：9=0-°°g<0.1取对数，便得-0.015x<ln0.1 于是便解得 X>~h01=153.50.0153.正态分布(高斯分布)1 (*-4△如果随机变量X的概率密度为/(x)=-^ek,-8<x<+8其中“，/(7>0)为常数,则称X服从参数(“J)的正态分布，记为X〜N(.4；J.服从正态分布，如：测量产生的误差；弹着点的位置：噪声电压：产品的尺寸等等均可认为近似地服从△实际背景：在实践中，如果随机变量X表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地正态分布。服从正态分布，如：测量产生的误差；弹着点的位置：噪声电压：产品的尺寸等等均可认为近似地服从△正态密度曲线：参数“力对密度曲线的影响⑴当d不变”改变时，密度曲线=/(%)=右平移。(“实际上就是落在曲边梯形内部的平均概率)⑵当N不变改变时，7?变大，曲线变平坦；,?变小，曲线变尖窄1X3△分布函数：尸(x)=-j=-fe2。'dtJ2尸7卜 (积分是存在的，但是不能用初等函数表示)△标准正态分布：称*=0,J=1的正态分布N(O,1)为标准正态分布，其概率密度为△标准正态分布：<X<+<=0；分布函数为<X<+<=0；分布函数为(其值有表可查)例5.设X-N(O,1)求p{-l<x<2}及p{|x|<1)解：p{-l<x<2}=6⑵-*(-1)=0(2)-[1-0(1)]=4>(2)+4>(1)-1=0.97725+0.8413-1=0.81855p{kl<i}=_?{-1<x<i}=①(i)-力(-1)=s(i)-[i-力⑻=20(1)-1=2X0.8413-1=0.6826例6.设X〜N(0,l),要使p{[x|> =0.05,问X应为何值？解：由于p{|x|2月=<,*=]_p{-,1<x<$}=1-[*(』)-*(-,划=1-[20(』-1]=2-20(9=0.05即0(9=0.975反查表，便得，1=1.966.一般正态分布与标准分布的关系：若X〜N(,“J)，其分布函数为F(X),则有尸(x)=O'匚[t-li证：F(X)= fQ & 口——=faQ2du42需歹2 、/2开卜7,正态变量落在区间内的概率:如果X〜”("J) 则pQ<x<5}=⑦(丁事实上，由F（x）=事实上，由F（x）=O） 立即可得尸{a<x<讣5⑻7（a）=①（一卜干子）例7.设X〜葡（2.3,4） 试求P[2<X<4}解:-4>(0,85)解:-4>(0,85)-4>(-0.15)=4>(0,85)-[1-4)(0.15)]0.8023+0.5596-1=0.3619例8从某地乘车前往火车站搭火车，有两条路可走（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间X]〜M50J00），（2）走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间占〜知（60,16）。问若有70分钟可用，应走哪条路线？解：走市区及时赶上火车的概率为产{04X1&70)=消)-① =①(2)-4>(-5)=①(2)=0.97725P(0^^70)=4-1-4—1走郊区及时赶上火车的概率为 I2JI4JI4卜故应走郊区路线。=①(2.5)-0(-12.5”①(2.5,=0.9938如果还有65分钟可用情况又如何呢？P(01^<65)=4—1-4—1同样计算，走市区及时赶上火车的概率为 I1J(10)[10J~0(1.5)=0.9332P{0^2<65)=4-1-4—1而走郊区及时赶上火车的概率便为I2JI4J14J”①(1.25)=0.8944此时便应改走市区路线。四随机变置函数的分布§1离散型随机变量的情况所谓随机变量x的函数y=g(x)是指丫也是一个随机变量，且每当x取值为x时，丫的取值便为，=g(x)例如，车床车轴，若令X表示车出轴的直径，丫表示车出轴的横断面积,问题:已知x的分布,求y=g(x)的分布。TOC\o"1-5"\h\z例1设离散型随机变QX的分布律为 , 一: —T , fA -1 U 1 Z JiLP 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10求(1)Y=X-1,(2)y=-2X?的分布律解(1)由随机变量函数的概念便可由X的可能值求出Y的可能值，见下表:Y=X-1 -2 -1 0 1 3/2

X-1025/2P2/101/101/103/103/10于是便得丫的分布律Y=X-1-2-1013/2（2）丫=-2X2的可能值由下表给出F2/101/101/103/103/10丫NX?-20-2-8-25/2x-10125/2P2/101/101/103/103/10由于丫的值有相同的，即-2,因此应将其合并，相应的概率应按概率的可加性进行相加，即310P{Y=-2]=P(X=7,或X=1)=RX=T}+RX=1}=2310最后，得丫的分布律为丫NX?-25/2-8-2°P3/103/103/101/10§2连续型随机变量的情况”分布函数法”——先求Y=g（x）的分布函数，然后再求导便可得到Y的概率密度例2设随机变量X的概率密度为£（x）,试求X的线性函数y=自星+弓［&&佝X。）为常数1的概率密度/y（7）解：丫的分布函数为60=Ry= +/4y}=p体X4丁-&）（分布函数的定义）4加="-同冲"节} :无降, 于是（注意复合函数求导）=fyf （ ,）X［左当卜）=取入"%}=尸产2子,7-RX4,\>=1^—OS '以上k、＞蚌口占＜0两种情况所得结果可以合并为如下形式

特别，当x〜nQ,d）时，则运用上述结果便可得线性变换y=上/+玲佝ho）的概率密度为1 c-(y-Ai-^)2_272Kl2Zfy)=1 c-(y-Ai-^)2_272Kl2即y〜n(成i+&,占2J)此结果证明：正态分布的随机变量经线性变换后，仍是服从正态分布的随机变量即y」X+(7代入上面结果便得Y的分布为Y〜N(/而i即y」X+(7代入上面结果便得Y的分布为Y〜N(/而i+k2,ky刁=N,4,—+(-匕U''=M。」)即丫〜n（o,1） 称y=为标准化变换17例3证X~N（O,1）,求y=X?的概率密度九8）（非线性）解：丫的分布函数 FM-P（Y<y）-p{x2<y}当y>0时,Fy(y)=P(X2<y]=P^y[y<X<y[y}=Fx[jy)-Fx(-^y)于是fM='FyW=A(")泰+f£⑸泰=S=[Zr(6)+Zr(-⑸]2a2加K/2^ V2^1-<= 2”匹当”0时,&8)=4可4H=0力㈤=0'1=总之/rCy)=<^2ryS'0, ”0例5设电流I为随机变量，它在9（安培）〜11（安培）之间均匀分布，若此电流通过2欧姆电阻，求在此电阻上消耗功率取=2户的概率密度解：W的分布函数为fM-p{w”}=P（2I2<7）Io<y-<11当y当y>。时,当”o时，显然/山）=0 因为I〜u[9[i],即其概率密度工[。,其它逗号代表二者同时发生逗号代表二者同时发生第三章二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其联合分布设c为某实验的样本空间,X和丫是定义在Q上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y）为二维随机变量比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。§3.1.1联合分布函数定义1:设（X,Y）为二维随机变量，对任意实数X,y,称二元函数F（X,y）=P{XWkYWy}为（X,Y）的分布函数或称为X与丫的联合分布函数。几何上，F（x,y）表示（X,Y）落在平面直角坐标系中以（x,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图）二维随机变量（X,Y）的分布函数F（x,y）具有以下四条基本性质1°F（x,y）对每个自变量是单调不减的，即若x1〈x2,则有F（x1,y）WF（x2,y）;若y1〈y2,则有F（x,y1）WF(x,y2).2°0这F(x,y)这1且F(x,-8)=f(-8,y)=F(-8,-8)=o,f(+8,+8)=13°F(x,y)对每个自变量是右连续的，即F(x+O,y)=F(x,y),F(x,y+O)=F(x,y)40对任意x1Sx2,ylSy2有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)>0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(xl,y2)-F(x2,yl)+F(xl,yl)

=尸｛-8<X«叼，一8<丫4当｝一尸｛一8<X«Xp-co<Y<^=尸｛-8<X«叼，一8<丫4当｝一尸｛一8<X«Xp-co<Y<^2)-尸｛-9《X«X),一8<K<%｝+R-8<X4々,-8<y<%｝=用1<工4町,乃<丫4h｝20滥了两次例1设（X,Y）的分布函数为解：由性质4。可得F(x,V)=I-+—arc/gxll—+—arctgy试・概率式o< <f<1]产｛0<X41,0<y41｝=尸(1,1)-F(0,l)-F(l,o)+F(0,0)k+\arctg\11 (1 1 .W1—十—arctgiI-I—+—arctgiII—2/ 112 II211(11 A2/ 112t1 J+—arctgiI* )1 八—arctgv)需916一一一+—= 88416§3.1.2联合分布律定义红如果二维随机变量（X,Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X,Y）为I二维离散型随设（X,Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i,j=1,2 则称下列一组概率P（X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2 为（X,Y）的分布律，或称为X与丫的联合分布律，用表格表示:y1v2yj……x1pHpl2plj x2p21p22p2j *।iiI।i।111 Xipilpi2pij t।111। 1।। 性质1.pijNO,一切i,J,显然，（X,Y）落在区域D内的概率应为尸{（X,y）e〃}=3 XfJD由此便得（X,Y）的分布函数与分布律之间关系为"（''》）=.例2两封信随机地向编号为I,n,hlw的四个邮筒内投，令x表示及'Xi号邮筒内的信件数；丫表示投入n号邮筒内的信件数.试求（X,丫）的分布律，并分别求投入I,n号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入I,II号邮筒的概率。解"广产{”0,y=o}W=[p31Tx=2,k-o）-P13-14lo lo俳Pi2=Rx=o,y=i}=%qp32=p（x=2,r=i}=0P13=RX=O,Y=2}=3=3p3i=P（X=2,y=2}=0

总之，（X,Y）的分布律为01204/164/161/1614/162/16021/16004 9 2p（x=r）=£5＞广九+%+加=卷+2+。二投入I,II号邮筒内邮件数相等的概率为 X1 1616至少有一封信投入I,II号邮筒的概率为P{X21或Y21}=1-P{XG且丫<1}=1-P{X=O,丫=0}=l-Pll=l-4/16=3/4§3.1.3联合概率密度定义3：设f（X，y）为二维随机变量（X,丫）的分布函数，如果存在非负函数f（x，y）使得对任意实数X，y有，"（xj）=「『/"»）八的贝崎（X,Y）为I二维连续型随机变量I，/（X,y）为（X,Y）-«0 ・9的概率密度或称为X与丫的I联合概率密阖。性质：1。 /（X,y）20一切X,y2。Ct"'//。:】jy(x,y}dxdy一个重要结果：P（（X,Y）eD）jy(x,y}dxdy几何解释：（见图）（1）/（x,y）20表明密度曲面z=f（x,y）应在xOy坐标面的上方；⑵广广/（“协力=1表明密度曲面z=/（x,y）与xOy坐标面所围成图形的体积为1P((X,Y)eD)P((X,Y)eD)表明（X,Y）落在平面区域D内的概率等以D为底，以密度曲面z=/（x,y）为顶的曲顶柱体的体积概率密度与分布函数关系为:网x,力=「『/(〃,v)dudv /(x,y)=8言,(在/'(x,力的连续点处)—00一9 ・ "例3.设（X,Y）的概率密度为例3.设（X,Y）的概率密度为/(")x2+Axy,

00<x<l,0<7^2其它