中学数学-初高中数学衔接教材 §3.2 三角形(含答案)

3.2

三角形3．2．1三形的“四心三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。图3.2-1

图

图3.2-3如图3.2-1，三角形

ABC

中，有三条边

CA

，三个角

,C

，三个顶点段。

A,

，在三角形中，角平分线、中线、高（如.2-2）是三角形中的三种重线三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角的重三角形重在角的部恰是条线三分。例证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2。已知:D、E、分别为ABC三边BC、的点，求证:ADBE、CF交一点，且都被该点分成：1证明连结，设、BE交点，D、分为、AE的点，则DEAB且

DE=

，∽，相似比：2GD,

。

图3.2-4设ADCF交点

'

，同理可得，

='D,CG'=2F则与G重AD、交一点，且都被该点分成2。三角形的三条角平分线相交于一点，三角的心三角的心三形内，它三形三的离等图3.2-5）例已

ABC

的三边长分别为

=,AC==

，I为-1-

图3.2-5

的内心，且I在

的边

、AC、

上的射影分别为

、EF

，求证：=AF=

bc-a2

。证明作ABC的切圆，则

D、、F

分别为内切圆在三边上的切点，AEAF

为圆的从同一点作的两条切线，AEAF

，同理，，CD=CEAFBFBDCD2AF即

=AF=

b+c-a2

。

图3.2-6例若角的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。已知:OABC的心和内心。求证:

为等边三角形。证明:如图，连并长交于DO三角形的内心，故平分，ACDC

（角平分线性质定理）O三角形的重心D为的点，即BDDC。

AC

，即

AB=

。

图3.2-7同理可得，AB=BC。

为等边三角形。三角形的三条高所在直线相交于一点点称为三角形的垂心角角形的垂心一定图3.2-8在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。-2-（如图）例证：三角形的三条高交于一点。已知:

中，

于,AC于E与BE交H点求证:

。证明:以CH直径作圆，DBEHDCHECD、

在以CH直径的圆上，DEH

。同理，E、在AB为径的圆上，可得

BAD

。BADBCF

，又与有共角，BFC90CH。过不共线的三点C有只有一个圆，该圆是的接圆，圆心为角形的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。练1求：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。）

的面积为，且三边长分别为

a、、c

，则

的内切圆的半径是。请说明理由。（2）R三边分别为

a、b、c（中为边长），的内切圆的半径是。并说明理由。-3-3.2.2

几种特殊三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰中三角形的内心I重心、心H必然在一条直线上。图

图

图

图例ABC，ABBC

求（1）ABC的面积及AC边的高BE；（2

的内切圆的半径

r

）

的外接圆的半径

R

。解（1如图，作

ADBC

于

D

。ACD

为

BC

的中点，ADABBD

S

22又

4BE,解得。3（2如图，I为心，则I到三边的距离均为r，IAIB,IC

，

ABC

IAB

IBC

IAC

，即

2

11122

，解得

r

22

。（3

是等腰三角形，外心

在

AD

上，连

BO

，则

Rt中，ODADOB

2

2

,-4-)2

解得

R

928

.在

RABC，为角，垂心为直角顶点A外心O为边的点，内I在三角形的内部内圆的半为

bca2

（其中

b,c

分别为三角形的三边,,的长什？该直角三角形的三边长满足勾股定理：

2+ABBC2

。例图中=为任意一点证ADBC证明：过作于。

2AB

PBPC

。在

R

中，

AD2

。在

R中

2AD2

。22ABBDDPBD)ABADBCDCBDDPDP。

。

图AP

2

AB

2

PC

。正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心。例知等边ABC和P到三边距离分别为

,,12

的高为h，若在一边上此时

=03

，可得结论：

+h+h=h12

。请接应用以上信息解决下列问：当）点P在内如图在ABC外(如图，两种情况时，上述-5-结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立,,12

与

之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明解（1当点P在ABC内，法如图，过作

B'

分别交

AMAC

于

','

，由题设知

AM'PD+

，而故即

AM'-PF，PDPEPF=AM+h+h=h。12

，

图法如图，连结、、PC

ABC

，11BCPDACPF22

，又即

AB=AC+h+h=h12

，AMPDPEPF。

，（2P在ABC如图位置时hh+h=12

不成立想h+-=h123

。注意：当点在

外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如

-+h=1

，

-h-13

（如图3.2-18想一想为什么？）等。在解决上述问题时一中用了化归的数学思想方,法二中灵活地运用了面积的方法。练2直角三长为3，，则=________。等腰有两个内角的和是，则的顶角的大小是。

图满足下条件的

，不是直角三角形的是（）

a-

2

AC.

:B:4:5

::c=:13:5-6-已知直三角形的周长为

，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积。证明：腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。-7-习3.2A组已知：

中，AB=，

o,AD

为边的高，则下列结论中，正确的是（）

AD

32

AD

C.

ADBD

AD

22

BD三角形边长分别是、8、10那么它最短边上的高为（）A6B4.5．2.4D．8如果等三角形底边上的高等于腰长的一半么个等腰三角形的顶角等_________。已知:

b,c

是

ABC

的三条边，

b

，那么

的取值范围是_。若三角的三边长分别为、、8且是数，则a的值________。B组如图，边

ABC

的周长为12CD是边上中线E是延线上一，且BD=BE，则

的周长为（A

3

B

C．

3

D．

图图

图

图如图3.2-20在

ABC

中，

CABC

，是AC上的高，求

DBC

的度数。-8-如图tABC

90

MAC的点AM=AN证MN=AB如图，

中，分

，。求

:C

的值。如图，正方形中，为DC的点，为BC上点，且EFA求证：。

EC=

14

BC

，图-9-C组已知

kk,2

2

,

4

，则以

b

为边的三角形是（）A等边三角形

B等腰三角形

．直角三角形

D形状无法确定如图3.2-24

纸片沿折叠A落四边形内部时

A

与

之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（．．．．

A

图3.2-24如图，知等腰角平分线，且+CD求证：

。图3.2-25如图，等腰

中

90

，是斜边AB上一点，

AECD

于ECD

交CD的长线于，

于H，交AE于。证：=CG。图-10答：练．证略

（1

2S）。a2练1．5或

或

o

4设两直角边长为

a,

，斜边长为2则

a

解得ab

11ab2

。5.利用面积证。习3.2A组

．D3.

5.8B组

．A

o

3连BM，