2020-2021温州备战中考数学复习《圆的综合》专项综合练习

¶¶¶¶州备战中考数学复习《圆的综合》专项综合练习一、圆综合1．如图，Oeq\o\ac(△,)ABC的外接圆，点E为ABC内圆的圆心，连接的长线交BC于点F，交O于点D；连接，过点D作直线DM，使．求证：直线DM是O的切线；若DF=2且AF=4求BD和DE的．【答案】（）明见解析223【解析】【分析】根据垂径定理的推论即可得到ODBC，再根据=DBC即可判定BCDM进而得到ODDM，据此可得直线O的线；根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得BED，可得出DBDE，判eq\o\ac(△,)DAB，可得到DB【详解】（）图所示连接OD．

=DFDA，据此解答即可．点Eeq\o\ac(△,)ABC的心，BAD=CAD，

，ODBC．又BDM，，，BC，ODDM又OD为O半，直DM是O的切线．（）接BE．E为心，ABE=CBE．BAD=CAD，DBCCAD，BADDBC，BAE+ABE=CBE+DBC，BED=DBE，BDDE．又BDF（公共角），DBF△DAB，

DFDBDA

，即2DFDADF，=4DAAF=62DF•DA，=DE=2．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．在平面直角坐标中，边长为的正方形

OABC

的两顶点A

、

C

分别在y轴轴正半轴上，点

O

在原点现正方形

OABC

绕

O

点顺时针旋转，当A

点一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，AB边直线y于点M，BC边x轴点（图）（）边

OA

在旋转过程中所扫过的面积；（）转过程，当

MN

和

平行时，求正方形

OABC

旋转的度数；（）

的周长为，旋转正方形

OABC

的过程中，值否有变化？请证明你的结论【答案】（）（）周不会变化，证明见解【解析】试题分析：1）据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（）决本题利用全等，根据正方形一个内角的度数求AOM的度数；（）用全等eq\o\ac(△,把)MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：1）A点第一次落在直线y=x上停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，旋了45°．在转过程中所扫过的面为

453602

．（）MN，∠，BCA=45°．∠．．又BA=BC．又，OAM=OCN．AOM=CON=

1（）（）．2旋过程中，当和AC平行时，正方形OABC转的度数为45°-22.5°=22.5°．（）旋转正形的程中p值无变化．证明：延长交y轴于点，则，CON=90°-45°-AOM，CON．又，OAE=180°-90°=90°=OCNOAE．，．又，OM=OMOMEOMN．．MN=AM+CN，．在转正方形的程中，值变化．考点：旋转的性.3．如图，已eq\o\ac(△,)ABC中，，BC为径的交AB于，点E作AC于G，BC的长线于．求证：；求证：是的线；若FE=4，，O的半径及CG的．【答案】（）见解析；2详见解析；（）.【解析】（）明：连接，如图所示：BC是直径BEC=90°，CE；又AC=，AEBE（）明：连OE，如图所：BE=，，OEeq\o\ac(△,)ABC的中位线OE，OE．又，OEFE是O的线．（）：EF是O的切线，FCFB设=x则有2=16，FB=8BCFB=82=6，OB=3，即O的半径为；．AC，FCGFOE，

，即，得：=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．4．如图，在锐eq\o\ac(△,)中AC是最短边．以AC为径O，BC于，O作OE，交OD于E连接AD、、．VCDFV23，=．VCDFV23，=．求证：ACE=；若，BAE=15°，求度数；（），

CDF3COE

，求CF的．【答案】（）明见解析，2）；）

3【解析】【分析】（）证=，=ECD，而可知=ECD，=DCE（）长交BC于，易证AGC==60°，于OEBC，以AEO=AGC，以==60°；1S2（）证，于，所以VCAEVCAE

=，圆周角定理可知AECFDC，而可证eq\o\ac(△,)CDF△，用三角形相似的性质即可出答案．【详解】（）OCOE，OEC．BC=，=ECD即ACE；（）长交BC于．AGCeq\o\ac(△,)ABG的外角，AGC+BAG=60°．BCAEO=60°=OE，=AEO．（）O是AC中点，

1V．2V2SVCDFCDF3VVAC是直径，FDC．=FCDCEA，

33=，CFCA=

．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．5．如图，eq\o\ac(△,)中C是BP边一,=Oeq\o\ac(△,)的接圆AD是O的直径且BP于点E.求证：是O的切线；过点C作CFAD，垂足为点，延长CF交AB于，若AG，的．【答案】（）明见解析223【解析】试题分析：1）据圆周角定理得以利用PBA得出PAC=90°进得出答案；（）先得eq\o\ac(△,)BAC，而得出AC，求出AC即可.试题解析：1）接如,是O的径ACDCADD=90°，=PBA，D=，CAD，即=90°，AD，PA是O的切线；（）CFAD，CAF=90°+=90°，，，而=BACACG△ABCAC：=：ACAG=12，AC=2

．6．如图，在O中直弦于，连接，，F是延线上的一点，且＝B.(1)求：是O的线；(2)若AE4，＝

，求的．【答案】（）解析【解析】分析：1）用圆周角定理以及等腰三角形的性质得OCF=90°，而得出答案；（）据正切性质求出EC的，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：证：连接OC.AB是的径，＝90°OCB＋＝OB，＝OCB.又FCA＝，＝，FCA＋＝90°，＝90°，FC，是O切．(2)解：ABCD，AEC＝，EC=，设＝＝，则＝－＝－在eq\o\ac(△,)OEC中，＝＋CE

43，3即

＝－2＋3)

，解得＝OE＝－＝4＝CE，＝＝，AOC是边三角形，FOC＝，＝30°.在eq\o\ac(△,)FOC中＝，＝8，＝，OF2OC＝，FC

23

.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．7．已知：是0直,C是0外点连接BC交0于点D，连ADAC．(1)如1,求证BAD=CAD如图2,过C作AB于交0于点E,长CF交0于过作于点H，AB于K,求证AK=2OF；如图3,在的条件下EH交AD于L,求段AL的.图1

图2

图【答案】见析见析3)

【解析】试题分析：1）直径所对的圆周角等于90°，得到=90°，证eq\o\ac(△,)ABD即可得到结论；（）接BE．由同弧所对的圆周角相等，得GABBEG．再eq\o\ac(△,)KFE≌BFE，到=KF

．由OF=OB-BF，BK，即可得到结论．（）接并延长交AG于M，接BG．GAB．先证CM垂平分AG，得到=GM，AGCGCM．证GAF=GCM=．过证eq\o\ac(△,)CMG，得到BGGM．再证明BGC==．设BF=KF=a，可得GF=2aAF=4a．由=1，到OFa+1，=2（+1），AF=3a+2得到3aa，解出a的，得到AF，，，的．由tanHAK

2

，=6，可以求出的长．再由BAD

tantan，利用公式tan=tanGAFBAD

，得到=45°，=

AH，可得到结论．试题解析：解：1）为O的直径ADC．BD，=，=AD，，BADCAD．（）接BE．BG，GAB=BEG．CF，KFE=90°．EHAHEKFE=90°，EKF，∠=KEF=．=，KFEBFE，KFE，=KFOF=OB-BF，AKABBK，=2．

．（）接并延长交AG于M，接BG．GAB．AC=，点在的直平分线上OA=OG，点O在AG的垂直平分线上，CM垂直平分AGAM=GM，AGC．AF，AGC+，GAF==

．AB为O的直径=90°，AGB．AB==CG，AGB，BG=GM

．在eq\o\ac(△,)中

tan

GBAG2

．AMC=，BGCMBGC=

．设BF=a，

BGF

BF1，GF，tan22

，AF=4a=1OF=a+1，=2=2（+1），AF+=+2（+1）a，3aa，a=2，=6，AF=4a，===10，a，=CGGF=6．=

2

，设=m，则=2，=m

m)

=6，得：m=

55，m=

．在eq\o\ac(△,)BFC中BCF

BF13

．+ABD，∠FBCBCF=90°，=BAD，tantanBCF

GAFBAD，=1

=

112311123

，=45°，HL=AH，=

AH=．8．如图，O的直径至点，得BC=

AB，点是O上半部分的一个动点（点P不与A、重合），连结OP，．C的大度数为；当O的径为3时eq\o\ac(△,)的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值若没有，请说明理由；如图2，延长POO于，结DB当时求证：是的线．【答案】）有大为9，由解；）明.【解析】试题分析：）PC⊙O时∠OCP的度最，据的性质即可求得；（2）OPC的边OC是值得到当OC边高为最大值时OPC的面大，当PO时得最大值，即此边高最大，于是得到结论；（3）据全等三角形的性质得根据等腰三角形的性质得A=∠C，到CO=OB+OB=AB，≌△CPO根据全等三角形的性质得，圆周角定理得∠，即得结论．试题解析：）PC⊙O时∠OCP最大如1所示：

OP21==，∴OC42∴最大度数为故答案为（2）最大值，理由：∵△OPC的OC定值∴当的高为最大值时eq\o\ac(△,，)的面大，而点在⊙上圆动，当PO⊥OC时，最大值，即此时OC边高最大，也就是高为半径长∴最值

eq\o\ac(△,S)

=

11OC22（3）结AP，图2，OAODeq\o\ac(△,在)OAP与△中，，∠C，

AOPBODOPOB

，△OAP≌△OBD∴AP=DB

AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，APCPeq\o\ac(△,在)APBeq\o\ac(△,和)中，

ACABCO

，≌△CPO∴∠CPO=，∵AB为∴，∴PC切O于P，CP是O的切线．9．四边形内于，为AD上一点，连接AC，CB，B=．（）图1，证；（）图2，若B+，ACD=2，BAD的度数；（）图3，（）条件下，延长CEO于点，AE的长．

，，求【答案】（）解析；2）；）【解析】试题分析：利圆的内接四边形定理得CEDCDE.(2)作CHDE于,设ECH=α，由1），表CAE，，=BAC+（）连接，ACAM，先证CAG=，NG=m，可得ANm利用直角

，勾股定理可以算出的并求出长试题解析：（）：证明四形内接B+D，B=AEC，+=180°，+CED，D=，CE=CD．（）：作CHDE于H．设ECHα，（）CE=CD，ECD，B=AECBCAE=120°，CAE+=120°，=180°﹣﹣ACE=60°，CAE﹣﹣α）﹣，ACD+HCDα，ACD=2，α，BAD=BAC+CAE=30°++30°﹣=60°．（）：连接，GNACAM，，CDE=，，=AGE，AE=AG，EM=MG=

EG=1，EAGECD=2α，CAD+DAG﹣+2αBACBAC=

，设

3m，得m，=

AG

2=14m，ACG=60°，CN=5mAM=8

3m，=

AG

2

2=2m，m

，CE=CD==10m2=3，AE=

AM

=

1

+4=710．图，已知是O的弦，是O外一点eq\o\ac(△,)为三角形，为BC的中点，为O上一点，并且．求证：是O的切线；若E，分别是边，上两个动点，EDF=120°的径为，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说理由．【答案】（）明见试题解析；2）BE+CF的是定值，为等eq\o\ac(△,)ABC边的一半．【解析】试题分析：1）结OB、，图1，于为BC的点，由垂径定理的推理得，BOD=COD，可得到BOD=M=60°，，所以ABO=90°，于是得到AB是O的线；（）DMAB于，AC，结，如图2，eq\o\ac(△,)为正三角形，为BC的中点，得到平分，BAC=60°，用角平分线性质得，得MDN=120°，由EDF=120°，得NDF于是eq\o\ac(△,)DMEDNF，得到，得到BE+CF=BM+CN，BM=

1，CN=OC，得到BE+CF=，可判断BE+CF的是2定值，为等eq\o\ac(△,)ABC边的一半．试题解析：1）结OB、，图1，为的中点，ODBC，，ODB=90°，BMC=

BOC，BOD=M=60°，OBD=30°，ABC为三角形，ABC=60°，ABO=60°+30°=90°，ABOB，AB是的线；（）的值是为定值．作DM于，AC于，结，图2，为正三角形，D为BC的点，AD平分BAC，BAC=60°，，，，NDF，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DNF中DNF．，，DMEDNFME=NF，BE+CF=BM﹣在eq\o\ac(△,)DMB中，BM=

11，同理可得，BE+CF=OC=BCBE+CF22的值是定值，为等eq\o\ac(△,)边的一半．考点：．线判定2等边三角形的性质3．值问题4．探究型5．综合题；6．压轴题．11．知，

ABC

内接于

eO

，点P是弧的中点，连接、；（）图1，

，求证：

；（）图2，PA平分，求证：

AB

；（）（）的条件下，若

sin

，

，求AP的值．【答案】见;见析(3)2.【解析】【分析】(1)由P是的中点，可得出通证明AEC出进而证明ABPC.

BPC

,

ACE

可得由PA是CPM的角平分线，得APC,等代换得根等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.过点作ADBC,有三线合一可知AD平点O在上连结OB，BOD＝BAC，根圆周角定理可BPC=BAC由可sin

OB

,设OB=，根据勾股定理可算出、、、的长，再次利用勾股定理即可求得AP的.【详解】解：（）点是弧AB的中点，如图1AP＝，eq\o\ac(△,)APCeq\o\ac(△,)BPC中

ACBCPC

，BPC（），ACP＝BCP，eq\o\ac(△,)ACE和BCE中AC

，

CECESAS）＝，+180°，＝，ABPC；（）平CPMMPA＝APC，APCBPCACB＝MPABPC＝，＝MPA＝，APCABC，ABC＝ACB，AB＝AC；（）A点ADBC交于D，结交AB于E，图，由（）出＝AC，平分BC，点O在AD上连结，则BOD，BPC＝，

sin

=

BD

，设OBx，则＝x，OD＝

OB2

＝x，在ABD中AD＝x+7＝x＝x，AB＝

2＝40xAC＝8AB＝x＝，解得：＝，OB＝，＝，OD1.4AD＝6.4，点是

AB

的中点，OP垂平分，AE

＝，＝90°，在

AEO

中，＝

AO2AE2，PE＝﹣＝﹣＝，在

中，AP＝PE

225

．【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较.12．图，在eq\o\ac(△,Rt)中90

，平BAC，交于点，O在上O经AD两，交于，AB于F．求证：BC是O的线；若O的径是，是弧AD的点，求阴影分的面积（结果保留和根号）¶¶△¶¶△【答案】（）明见解析（）

【解析】【分析】连接OD只要证明OD即可解决问题；连接OE，OE交AD于．只要证eq\o\ac(△,)是边三角形即可解决问题．【详解】（）接．=OD，OAD=ODAOAD，ODA=，ODODBC，ODBCBC是O的线．（）接OE，OE交AD于K．

DE

，OEAD．OAK=EAK，AK，AKO==90°，，AOAEOE，603是等边三角形，=60°S=S﹣

2

3

．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．图AB是圆O的径O为圆心AD、BD是半圆的弦，PBD．延长PD交圆的切线BE于点E判断直线是O的切线，并说明理由；如果，PD=3，PA的；将线段PD以线AD为称轴作对称线段，点正在圆上，如图2，求证：四边形为菱形．【答案】（）明见解析；2）；）证明见解.【解析】【分析】连接，由AB是圆的直径可得ADB=90°进而求ADO+PDA=90°，可得出直线PD为O的切线；根据BE是O的线，，即可求得P=30°，由PD的线，得，根据三角函数的定义求得OD，勾股定理得OP，即可得出根据题意可证得ABF，AB是的径，得，设，则可表示出DAF=，，圆内接四边形的性质得出的值，可得eq\o\ac(△,出)是等边三角形．进而证出四边形DFBE为形．【详解】（）线PD为O的切线，理由如下：如图，接，AB是圆的径，，，又DO=BOPBD，PBD，，PDA=90°，，点D在上直PD为O的切线；（）BEO的切线，，，P=30°，PDO的线，在eq\o\ac(△,Rt)PDO中，，3，

tan300

，解得OD=1，

PO

2，﹣﹣；（）图2，依题意得：，，PBDABFPBD=ABF，AB是圆的径，，设，则DAF=，DBF=2x°，四形内接，，即90°+x+2x=180°，解得x=30°PBD=，BE、是的线，DE=BE，，是边三角形，BD=DE=BE，又﹣ADF=90°﹣，BDF是边三角形，BD=DF=BF，DE=BE=DF=BF，四形DFBE为形【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档····题，难度较大．14．图，过外一点作O的切线PA切O于，连接PO并长，与O交于C、两，是半圆CD的中点，连AM交于点N，连接AC、．求证：=MN.MA；若P=30°，，CM的长．【答案】（）解析；2）CM=22【解析】【分析】

.（）CMDM知得；

CAM

，根CMA=NMC据∽即（）接、DM由直角三角形中知

OA

POPCCO2

，据此求得OA=OC=2，证三角形是腰直角三角形得CM的．【详解】（）eO

中，

点是半圆

CD

的中点，

CMDM，CAM

，又NMC

，AMC

，

CMAMMNCM

，即CM

MN·MA（）接

、，Q是

eO

的切线，PAO

，又30

，

POPC

，»»设eO的半径为r，QPC

，r解得：r，