《第一章三角形及其性质》知识点讲解典型例题辅导讲义

?第一章三角形及其性质?知识点解说典型例题指导讲义?第一章三角形及其性质?知识点解说典型例题指导讲义?第一章三角形及其性质?知识点解说典型例题指导讲义三角形及其性质〔提升〕知识解说【学习目标】理解三角形及与三角形相关的见解,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．理解三角形内角和定理的证明方法；掌握并会把三角形按边和角分类掌握并会应用三角形三边之间的关系．理解三角形的高、中线、角均分线的见解，学会它们的画法．对三角形的坚固性有所认识，知道这个性质有宽泛的应用．【重点梳理】重点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾挨次相接所构成的图形叫做三角形．重点解说：1〕三角形的根本元素：①三角形的边：即构成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所构成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的极点：即相邻两边的公共端点.2〕三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上〞、“三条线段〞、“首尾挨次相接〞.〔3〕三角形的表示：三角形用符号“△〞表示，极点为A、B、C的三角形记作“△ABC〞，读作“三角形ABC〞，注意独自的△没存心义；△ABC的三边能够用大写字母AB、BC、AC来表示，也能够用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．重点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．重点解说：应用三角形内角和定理能够解决以下三类问题：①在三角形中随意两个角的度数能够求出第三个角的度数；②三角形三个内角的关系，能够求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．重点三、三角形的分类按角分类：直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形重点解说：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.按边分类：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形重点解说：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，其余一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.重点四、三角形的三边关系定理：三角形随意两边之和大于第三边.推论：三角形随意两边之差小于第三边.重点解说：〔1〕理论依据：两点之间线段最短.〔2〕三边关系的应用：判断三条线段能否构成三角形，假定两条较短的线段长之和大于最长线段的长，那么这三条线段能够构成三角形；反之，那么不可以够构成三角形．当三角形两边长，可求第三边长的取值范围．〔3〕证明线段之间的不等关系．重点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角均分线是三角形中三条重要的线段，它们供给了重要的线段或角的关系，为我们此后深入研究三角形的一些特点起着很大的帮助作用，所以，我们需要从不同样的角度弄清这三条线段，列表以下：线段三角形的高三角形的中线三角形的角均分线名称三角形一个内角的均分线从三角形的一个极点向它的三角形中，连结一个顶文字与它的对边订交，这个角对边所在的直线作垂线，顶点和它对边中点的线语言的极点与交点之间的线点和垂足之间的线段．段．段．图形语言作图过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连结作∠BAC的均分线AD，交语言AD．BC于点D．标示图形1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中线．1．AD是△ABC的角均分线．2．AD是△ABC中BC边上的2．AD是△ABC中BC边符号2．AD均分∠BAC，交BC高．上的中线．语言于点D．3．AD⊥BC于点D．3．BD＝DC＝1BC3．∠1＝∠2＝1∠BAC．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝224．点D是BC边的中点．90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)因为AD是△ABC的高，所以因为AD是△ABC的中线，因为AD均分∠BAC，所以推理AD⊥BC．所以BD＝DC＝1BC．∠1＝∠2＝1∠BAC．语言22(或∠ADB＝∠ADC＝90°)用途1．线段垂直．1．线段相等．角度相等．举例2．角度相等．2．面积相等．注意1．与边的垂线不同样．—与角的均分线不同样．事项2．不用然在三角形内．三角形的三条高(或它们的一个三角形有三条中一个三角形有三条角均分重要延伸线)交于一点．线，它们交于三角形内线，它们交于三角形内一特点一点．点．重点六、三角形的坚固性三角形的三条边确立后，三角形的形状和大小就确立不变了，这个性质叫做三角形的坚固性。重点解说：1〕三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．2〕三角形的坚固性在生产和生活中很合用．比方，房子的人字梁拥有三角形的构造，它就坚固而坚固；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就能够使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采纳三角形构造，也是这个道理．3〕四边形没有坚固性，也就是说，四边形的四条边长确立后，不可以够确立它的形状，它的各个角的大小能够改变．四边形的不坚固性也有宽泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要战胜四边形的不坚固性，如在门框未安好以前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】种类一、三角形的内角和1．在△ABC中，假定∠A＝1∠B＝1∠C，试判断该三角形的形状．23【思路点拨】由∠A＝1∠B＝1∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和23∠C的度数，进而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，那么∠B＝2x，∠C＝3x．因为∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为奇妙．贯串交融：【变式1】〔2021春?泰兴市期末〕如图，BD是∠ABC的均分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内角的度数．【答案】解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．∵BD是∠ABC的角均分线，∴∠DBC=∠EBD=15°，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=15°；∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．【高清讲堂：与三角形相关的角练习〔3〕】【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，那么∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种状况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种状况讨论：〔1〕当△ABC为锐角三角形时，以以下列图，在△ABD中，BD是AC边上的高( )，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°( )，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．当△ABC为钝角三角形时，以以下列图．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°( )，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必然具备依据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的圆满性和其余各样可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应当注意的一个重要环节．种类二、三角形的分类3.一个三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是〔〕三角形；一个三角形三条边的长度分别是7cm，8cm，7cm，这个三角形是〔〕三角形.【答案】钝角；等腰贯串交融：【变式】一个等腰三角形的边长为5cm和4cm，围成这个等腰三角形最少需要〔〕cm长的绳索，最多需要〔〕cm长绳索〔接头忽视不计〕.【思路点拨】关于所给边长要分类讨论：当4cm为腰长时，需要绳索的长度最短；当5cm为腰长时，需要绳索的长度最长.【答案】13；14种类三、三角形的三边关系〔2021春?太康县期末〕在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．【答案与解析】解：依据三角形的三边关系得：9﹣2＜BC＜9+2，即7＜BC＜11，∵BC为偶数，AC=8或10，∴△ABC的周长为：9+2+8=19或9+2+10=21．【总结升华】本题主要察看了三角形的三边关系，重点是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．贯串交融：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，那么共能构成个不同样的三角形.当x为时，所构成的三角形周长最大.【答案】三；8(由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x为整数，故x可取6，7，8；当x=8时，构成的三角形周长最大为11).如图，O是△ABC内一点，连结OB和OC．你能说明OB+OC＜AB+AC的原由吗?假定AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延伸BO交AC于点E，依据三角形的三边关系能够获得，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．贯串交融：【变式】假定五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,那么以此中三条线段为边可构成______个三角形.【答案】3.种类四、三角形中的重要线段在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两局部，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两局部不等的原由是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝1x．2(1)假定AB+AD＝12，即x1x12，所以x＝8，2即AB＝AC＝8，那么CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，假定AB+AD＝15，即x1x15，所以x＝10．2即AB＝AC＝10，那么CD＝5．故BC＝12-5＝7．明显此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两局部，哪局部是12cm，哪局部是15cm，问题中没有交代，所以，必然进行分类讨论．【高清讲堂：与三角形相关的线段例5、】贯串交融：【变式】有一块三角形优秀品种试验田，现引进四个品种进行比较试验，需将这块土地分红面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图〔1〕，在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连结AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连结DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连结AD，再取AD的中点E，连结BE、CE．方案4：如图(4)，在AB取点D，使DC＝2BD，连结AD，再取AD的三均分点E、F，连结CE、CF．种类五、三角形的坚固性如图是一种流行的衣帽架，它是用木条〔四长四短〕构成的几个连续的菱形〔四条边都相等〕，每一个极点处都有一个挂钩〔连在轴上〕，不只雅观，并且使用，你知道它能缩短的原由和固定方法吗？【答案与解析】解：这类衣帽架能缩短是利用四边形的不坚固性，能够依据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的极点固定就行了。【总结升华】要使物体拥有坚固性，应做成三角形，否那么做成四边形、五边形等等.贯串交融：【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，最少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，最少要钉几根木条?使七边形木架不变形，最少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又最少要钉多少根木条?【答案】要使五边形木架不变形，最少要钉2根木条；使七边形木架不变形，最少要钉4根木条；使n边形木架不变形，最少要钉(n-3)根木条．全等三角形的见解和性质〔提升〕责编：杜少波【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的见解；能正确鉴识全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实诘问题.【重点梳理】重点一、全等形形状、大小同样的图形放在一同能够圆满重合.能够圆满重合的两个图形叫做全等形.重点解说：一个图形经过平移、翻折、旋转后，地点变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.重点二、全等三角形能够圆满重合的两个三角形叫全等三角形.重点三、对应极点，对应边，对应角1.对应极点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一同，重合的极点叫对应极点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角重点解说：在写两个三角形全等时，平常把对应极点的字母写在对应地点上，这样简单找出对应边、对应角

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.如以以下列图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，此中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应极点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.找对应边、对应角的方法1〕全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；2〕全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；3〕有公共边的，公共边是对应边；4〕有公共角的，公共角是对应角；5〕有对顶角的，对顶角必然是对应角；〔6〕两个全等三角形中一对最长的边〔或最大的角〕是对应边〔或角〕的角〕是对应边〔或角〕，等等.

，一对最短的边〔或最小重点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；重点解说：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是此后研究其余全等图形的重要工具.【典型例题】种类一、全等形和全等三角形的见解1、请察看以以下列图中的6组图案，此中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由此中一个图形旋转必然角度获得另一个图形的，〔4〕是将此中一个图形翻折后获得另一个图形的，〔6〕是将此中一个图形旋转180°再平移获得的，〔2〕〔3〕形状同样，但大小不等.【总结升华】能否是全等形，既要看形状能否同样，还要看大小能否相等.贯串交融：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真吻合同三角形与镜面合同三角形，假定△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1围绕时，假定运动方向同样，那么称它们是真吻合同三角形(如图1)，假定运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真吻合同三角形都能够在平面内经过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必然将此中一个翻转180°，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住重点语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必然将此中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就能够重合，应选B；其余三个选项都需要经过平移或旋转使它们重合.种类二、全等三角形的对应边，对应角2、〔2021春?新疆期末〕如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是〔〕A．∠ACBB.∠BAFC.∠CAFD.∠AFE【答案】B【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC-∠CAF＝∠EAF-∠CAF，即∠BAF=∠EAC.【总结升华】全等三角形的对应极点的字母放在对应地点上简单确立出对应边或对应角.种类三、全等三角形性质3、〔2021秋?盐城期中〕如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，1〕求DE的长．2〕假定A、B、C在一条直线上，那么DB与AC垂直吗？为何？【思路点拨】〔1〕依据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，此后依据DE=BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；〔2〕DB⊥AC．依据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，依据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可获得DB⊥AC．【答案与解析】解：〔1〕∵△ABD≌△EBC，BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，DE=BD﹣BE=3cm；2〕DB⊥AC．原由以下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．【总结升华】本题主要察看了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也察看了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的重点．贯串交融：【变式】〔2021春?吉州区期末〕以下命题中：〔1〕形状同样的两个三角形是全等形；〔2〕在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；〔3〕全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，此中真命题的个数有〔〕A.3个个个个【答案】C；提示：〔1〕形状同样、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故〔1〕错误；〔2〕在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故〔2〕错误；〔3〕全等三角形对应边上的高、中线及对应角均分线分别相等，故〔3〕正确．综上可得只有〔3〕正确．应选C．【高清讲堂：全等三角形的见解和性质例14】4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180