高一数学函数单调性教案

高一数学函数单一性教学设计高一数学函数单一性教学设计7/7高一数学函数单一性教学设计函数的单一性讲课目的1．使学生理解函数单一性的见解，并能判断一些简单函数在给定区间上的单一性．2．经过函数单一性见解的讲课，培育学生分析问题、认识问题的能力．经过例题培育学生利用定义进行推理的逻辑思想能力．3．经过本节课的讲课，浸透数形联合的数学思想，对学生进行辩证唯心主义的教育．讲课要点与难点讲课要点：函数单一性的见解．讲课难点：函数单一性的判断．讲课过程设计一、引入新课师：请同学们察看下边两组在相应区间上的函数，此后指出这两组函数之间在性质上的主要差别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值

y随

x的增大而增大；第二组函数，函数值

y随

x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线挪动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．固然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式其实不同样，但每一组函数却拥有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比率函数以及幂函数时，就以前依据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象获得的．在函数的会合中，有好多函数拥有种性，因此我有必需函数种性作更一步的一般性的和研究，就是我今日一的内容．（点明本的内容，既是曾有所的，又是新的知，惹起学生的注意．）二、见解的分析（板：函数的性）：同学翻开本第51，××同学把增函数、减函数、区的定朗一遍．（学生朗．）：好，坐．通才增函数和减函数的定，同学思虑一个：种定方法和我才所的函数y随自量x的增大而增大或减小能否一致？假如一致，定中是怎描绘的？生：我是一致的．定中的“当

，都有

”描绘了

y随

x的增大而增大；“当

，都有

”描绘了

y随

x的增大而减少．：得特别正确．定顶用了两个的不等关系“

”和“

或”，它刻划了函数的增或减的性．就是数学的魅力！（通教的感情染学生，激学生学数学的趣．）：在同学和我一同来看才的两中的第一个函数

和

的象，意会种魅力．（指明．）：中

于区

[a

，b]上的随意

，，当

，都有

，因此

在区[a，b]

上是增的，区

[a，b]是函数

的增区；而中

于区

[a，b]上的随意

，，当

，都有

，因此

在区[a，b]上是减的，区[a，b]是函数的减区．（教指明分析定，使学生把函数性的定与直象合起来，使新旧知融一体，加深见解的理解．浸透数形合分析的数学思想方法．）：因此我能够，增函数就其本而言是在相区上大的自量⋯⋯（不把完，指一名学生接着完，学生的思始随着老．）生：大的函数的函数．：那么减函数呢？生：减函数就其本而言是在相区上大的自量小的函数的函数．（学生可能回答得不圆满，教指他圆满．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，经过阅读和分析你认为在定义中我们应当抓住哪些要点词语，才能更透辟地认识定义？（学生考虑．）学生在高中阶段以致在此后的学习中常常会碰到一些见解（或定义），能否抓住定义中的要点词语，是能否正确地、深入地理解和掌握见解的重要条件，更是学好数学及其余各学科的重要一环．因此教师应当教会学生如何深入理解一个见解，以培育学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生考虑过程中，再一次有感情地朗诵定义，并注意在要点词语处适合加重语气．在学生感觉无从下手时，赏赐适合的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的要点词语．师：很好，我们在学习任何一个见解的时候，都要擅长抓住定义中的要点词语，在学习几个周边的见解时还要注意差别它们之间的不同样．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，走开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思虑一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递加或递减的？为何？生：不可以够．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点，因为它的函数值是独一确立的常数（注意这四个字“独一确定”），因此没有增减的变化．那么，我们能不可以够走开区间平常谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不可以够．比方二次函数，在y轴左边它是减函数，在y轴右边它是增函数．因而我们不可以够说是增函数或是减函数．（在学生回答以下问题时，教师板演函数的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单一性是函数在某一个区间上的性质，但这不排挤有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，此后我们在谈论函数的增减性时必然指明相应的区间．师：还有没有其余的要点词语？生：还有定义中的“属于这个区间的随意两个”和“都有”也是要点词语．师：你答的很对．能解说一下为何吗？（学生不用然能答全，教师应赏赐必需的提示．）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量，必然取自给定的区间，不可以够从其余区间上取．师：假如是闭区间的话，能否取自区间端点？生：能够．师：那么“随意”和“都有”又如何理解？生：“随意”就是指不可以够取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只需，就必然都小于，或都大于．师：能不可以够结构一个反例来说明“随意”呢？（让学生思虑片晌．）生：能够结构一个反例．察看函数

，在区间

[-2

，2]上，假如取两个特定的值，

，明显

，而

，

，有

，若由此判定是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：

在[-2

，2]上，当

，

时，有

；当

，时，有，这时就不可以够说，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！经过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不可以够由特定的两个点的状况来判断，而必然严格依据定义在给定区间内任取两个自变量，，依据它们的函数值和的大小来判断函数的增减性．（教师经过一系列的设问，使学生处于踊跃的思想状态，从抽象到详细，并经过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在见解讲课中，反例常常帮助学生更深刻地理解见解，锻炼学生的发散思想能力．）师：反过来，假如我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就能够经过自变量的大小去判断函数值的大小，也能够由函数值的大小去判断自变量的大小．即一般建立则特别建立，反之，特别建立，一般不用然建立．这正是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解说数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握见解，分清见解的内涵和外延，培育学生学习的能力．）三、见解的应用例1图4所示的是定义在闭区间[-5的单一区间，并回答：在每一个单一区间上，

，5]上的函数f（x）的图象，依据图象说出f（x）是增函数仍是减函数？

f（x）（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单一减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单一增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单一减区间，那么，能否能够为（-5，-2）也是f（x）的单一减区间呢？师：问得好．这说明你想的很认真，思虑问题很谨慎．简单证明：若f（x）在[a，b]上单一（增或减），则f（x）在（a，b）上单一（增或减）．反之否则，你能举出反例吗？一般来说．若

f（x）在[a，b]上单一（增或减），且

[

，

]

[a，b]，则

f（x）在[

，]（增或减）．反之否则．2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上察看函数的单一性固然形象，但在理论上不够严格，特别是有些函数不易画出图象，因此必然学会依据分析式和定义从数目上分析鉴别，这才是我们研究函数单调性的基本门路．（指出用定义证明的必需性．）师：如何用定义证明呢？请同学们思虑后在笔录本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．

学生可能会对如何比较和

的大小关系感觉无从下手，教师应赏赐启迪．）师：关于a＞b，那么它们的差

和a-b

我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，假如就大于零；假如a=b，那么它们的差a—b就等于零；假如a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也建立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设

，是（-∞，+∞）上随意两个自变量，当

时，，因此

f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设

，是（-∞，+∞）内随意两个自变量，并设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并注明“①→设”），此后看，这一步是证明的要点，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可归纳为“作差，变形”（同上，划线并注明”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为何＜0，没合用到开始的假定“要认为其不言而喻，在这里必然要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为

”，不x1＜x2，因此，进而＜0，即．”这一步可归纳为“定符号”

（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题必然要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应地点注明“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记着．需要指出的是第二步，假如函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也能够小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，能够形成思想的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思想定势对理解知识自己是有利的，同时对学生养成必然的思想习惯，形成必然的解题思路也是有帮助的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我感觉它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同样的建议，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比方取

x1∈（-∞，0），取

x2∈（0，+∞），

明显建立，而

，，明显有

，而不是

，因此它不是定义域内的减函数．生：也不可以够这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单一区间内都是减函数．因此在函数的几个单一增（减）区间之间不要用符号“∪”连结．其余，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题赏赐点拔．可依据学生的问题，给出下边的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，，．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，惹起全体学生的重视．）四、讲堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应当特别注意的？（请一个思路清楚，擅长表达的学生口述，教师可从中赏赐提示．）生：这节课我们学习了函数单一性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“随意”、“都有”这几个要点词语；在写单一区间时不要轻易用并集的符号连结；最后在用定义证明函数的单一性时，应当注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即．讲堂讲课方案说明函数的单一性是函数的一个重要性质，是研究函数时常常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其余知识的综合应用上都有宽泛的应用．对学生来说，函数的单一性早已有所知，但是没有给出过定义，但是从直观上接触过这一性质．学生对此有必然的感性认识，对见解的理解有必然利处，但另一方面学生也会感觉是已经学过的知识，感觉无聊．因此，在设计讲课方案时，增强了对见解的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有好多值得去商酌、去考虑的东西，此中甚至包括着辩证法的原理．其