初二数学勾股定理讲义(经典)

初二数学勾股定理讲义(经典)初二数学勾股定理讲义(经典)初二数学勾股定理讲义(经典)第一章勾股定理之答禄夫天创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日【知识点归纳】考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么必定有a2b2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。3）勾股定理的考据例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。（2）假如直角三角形的两直角边长分别为n21，2n（n>1），那创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、n213）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则以下关系中正确的选项是）A.a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及别的两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，假如以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例3：探究勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a,b,c有关系，a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。（2）稀有的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)..（n为正整数）（3）直角三角形的判断方法：①假如三角形的三边长a,b,c有关系，a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。④假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用（1）以下各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若线段a，b，c构成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下边的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．此中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）若三角形的三边之比为2:1:122，则这个三角形必定是（）A.等腰三角形B.直角三角形3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,获取的三角形是( )A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（5）若△ABC的三边长a,b,c满足a2b2c220012a16b20c，试判断△ABC的形状。创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。例3：求最大、最小角的问题1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例题：例1：面积问题1）以下图是一株漂亮的勾股树，此中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94（图1）（图2）（图3）（3）如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）A.S+S>S3B.S+S=S3C.S+S<S1D.121223以上都不是（2）以以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日例2：求长度问题1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳索垂到地面还多1米，当他把绳索的下端拉开5米后，发现下端恰巧接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；?别的一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，假如两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例3：最短行程问题2（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从正面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。（结果保存根式）（图1）2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从极点A要爬到极点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。（图2）例4：航海问题1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东南方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西南方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日（2）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物质从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛四周9海里的地域内有暗礁，若连续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明原由。（图1）（图2）3）如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D挪动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？假如在距台风中心30km的圆形地域内都将有遇到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可离开危险？例5：网格问题1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．3（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是( )创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日（图1）（图2）（图3）例6：图形问题（1）如图1，求该四边形的面积（2）（2010四川宜宾）如图2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为．（图1）（图2）（3）某公司的大门以以下图,此中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,此中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否经过公司的大门?并说明你的原由.（4）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。【培优提升】1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（A）4cm（B）5cm（C）6cm（D）10cm创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日BADC2．以以下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的均分线，CD＝5㎝，求AB的长．3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的极点叫格点，以格点为极点分别按以下要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可）；②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．4．以下四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，65．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．7.如图，每个小正方形的边长为1，ABC的三边a,b,c的大小关系式：创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日（A）acb（B）abc（C）cab（D）cba8．（本题满分10分）[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽依据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其余星球，作为地球人与其余星球“人”进行第一次“发言”的语言。[定理