电力系统分析：CHAPTER 6 潮流分析

CHAPTER6POWERFLOWANALYSIS潮流分析OUTLINE6.1概述

6.2节点导纳矩阵

6.3非线性代数方程算法

6.4潮流计算

6.5高斯-赛德尔迭代法潮流计算

6.6线路潮流与损耗

6.7可调分接头变压器

6.8潮流程序

6.9数据准备

6.10牛顿-拉夫逊迭代法潮流计算

6.11快速解耦法潮流计算

6.1INTRODUCTION

上述章节讲述了电力系统重要组成部分的模型，本章主要讨论在正常运行情况下互联电力系统的稳态分析问题。假设系统处在平衡条件下，并以单相网络为代表，网络中包含上百个节点和支路，并且阻抗都以标幺值表示。网络方程可以有多种形式，但是节点电压方程法对于大多数电力系统分析问题都较为合适，并且已经被广泛地应用于电力系统分析中。以节点导纳矩阵形成的网络方程是一个针对节点电流的线性、复数代数联立方程。当节点电流已知时，用一组线性代数方程就可以解得电压，但在电力系统中给定的是功率而不是电流，导致出现了功率潮流方程(powerflowequation)，这是一个非线性方程，需要迭代求解。潮流分析，通常指负荷潮流，是电力系统分析和设计的主要组成部分，对系统规划、安全运行、经济调度和电力公司的功率交换非常重要。此外，潮流分析还是其它电力系统分析的基础，比如暂态稳定，突发事件处理等。本章讲述了节点电压方程中节点导纳矩阵的形成，MATLAB中形成节点导纳矩阵的两个函数ybus1和lfbus，两种广泛应用的解非线性代数方程的迭代方法：高斯-塞德尔法(Gauss-Seidel)和牛顿-拉夫逊法(Newton-Raphson)，这些技术应用于求解功率潮流问题。三个程序lfgauss、lfnewton、decouple分别用高斯法、牛顿法和解耦的牛顿法，求解功率潮流方程。6.2BUSADMITTANCEMATRIX节点导纳矩阵为获得节点电压方程，我们来考虑简单电力系统如图6.1所示，这里阻抗用标幺值表示，为简化线路，忽略电阻。由于要求解节点电压，需要应用基尔霍夫电流定律，所以将阻抗转化为导纳图6.1简单系统阻抗图在图6.2中以导纳和电流源的形式重新画出电路，节点0（一般接地）是参考节点，对节点1至节点4应用KCL，得将方程整理得图6.2图6.1的导纳图引入以下导纳节点方程简化为在上述网络中，由于节点1与节点4没有联系，，同样，扩展到n节点系统，矩阵形式的节点电压方程为(6.1)或者是输入节点电流向量（例如外部电流源），电流方向定义为流向节点为正，流出节点为负。是相对于参考节点的节点电压向量（例如节点电压），是节点导纳矩阵，对角元素是与该节点有联系的导纳之和，称为自导纳（self-admittance），或驱动点导纳(drivingpointadmittance)，例如

非对角元素是两节点间导纳的负值，称为互导纳（mutualadmittance），或转移导纳（transferadmittance），例如电流已知时对式（6.2）求解，直接得到节点电压节点导纳矩阵的逆叫节点阻抗矩阵，以一个节点为参考节点得到的导纳矩阵是非奇异矩阵（非奇异矩阵有逆矩阵），否则，节点导纳矩阵是奇异的（奇异矩阵没有逆矩阵）。(6.2)(6.3)(6.4)(6.5)观察节点导纳矩阵可以看出其是沿主对角线对称的，我们只需要存储上三角部分。在典型的电力系统网络中，一个节点仅与周围的几个节点相联系，从而使得许多的非对角元素值为0，这种矩阵叫做稀疏矩阵，可用有效值方法计算其逆矩阵。通过近似三角分解，稀疏矩阵的逆可表示成其系数乘积的形式，有利于提高计算速度，储存能力和降低舍入误差。但是，是短路分析所必需的，可直接由建立算法得到，无需进行求逆计算，这将在第9章进行讨论。根据式（6.3）和式（6.4），图6.2的节点导纳矩阵为函数Y=ybus1（zdata）用来形成节点导纳矩阵，zdata是线路数据输入变量，包括四项，前两项是节点编号，后两项是线路电阻和电抗，均以标幺值表示，函数返回节点导纳矩阵。对于电力系统程序来说，节点导纳矩阵算法是非常简单和基础的，因此这里详细讲解，要求读者了解并掌握这种算法。编程时先将线路阻抗转换为导纳，然后将矩阵Y初始化为零，执行第一次循环时，查找线路数据，输入非对角元素，最后，在嵌套循环中寻找与节点有关的元素，对角元素随之形成。下面是建立节点导纳矩阵的具体程序

function[Y]=ybus1(zdata)nl=zdata(:,1);nr=zdata(:,2);R=zdata(:,3);X=zdata(:,4);nbr=length(zdata(:,1));nbus=max(max(nl),max(nr));Z=R+j*X;%支路阻抗y=ones(nbr,1)./Z;%支路导纳Y=zeros(nbus,nbus);%将Y初始化为0Fork=1:nbr;%费对角元素的数值

ifnl(k)>0&nr(k)>0Y(nl(k),nr(k))=Y(nl(k),nr(k))-y(k);

Y(nr(k),nl(k))=Y(nl(k),nr(k));endendforn=1:nbus%对角元素数值

fork=1:nbr

ifnl(k)==n|nr(k)==nY(n,n)=Y(n,n)+y(k);

else,endendend例6.1(chp6ex1)图6.1所示的电动势和，使用函数Y=ybus1(zdata)求节点导纳矩阵，再求其逆，得到节点阻抗矩阵，求解节点电压。应用电压转换，等效电流源为输入以下命令

%FROMTORXzdata=[0101.00200.81200.41300.22300.23400.8];Y=ybus1(zdata)%节点导纳矩阵Ibus=[-j*1.1;-j*1.25;0;0];%节点电流向量Zbus=inv(Y)%节点阻抗矩阵Vbus=Zbus*Ibus结果是Y=0-8.5000i0+2.5000i0+5.0000i0+0.0000i0+2.5000i0-8.7500i0+5.0000i0+0.0000i0+5.0000i0+5.0000i0-11.2500i0+1.2500i000+1.2500i0-1.2500iZbus=

0+0.5000i0+0.4000i0+0.4500i0+0.4500i0+0.4000i0+0.4800i0+0.4400i0+0.4400i0+0.4500i0+0.4400i0+0.5450i0+0.5450i0+0.4500i0+0.4400i0+0.5450i0+1.3450iVbus=1.05001.04001.04501.0450通过求逆，解方程

的效率很低，实际上没有必要去求

的逆。可替代的方法是，由最优序列的三角因数分解可直接得到方程的解。在MATLAB中，线性方程AX=B的解，可以通过矩阵除法得到，这是基于三角因子分解和高斯消除法的算法，这种方法无论在执行时间还是数值的精度上都比较好。在例题6.1中，可由Vbus=Y\Ibus代替Zbus=inv(Y)和Vbus=Zbus*Ibus，直接得到方程的解。6.3SOLUTIONOFNONLINEARALGEBRAICEQUATIONS非线性代数方程算法最常用的迭代求解非线性代数方程的方法有：高斯－塞德尔迭代法、牛顿－拉夫逊迭代法、类牛顿迭代法。下面讨论用高斯－塞德尔迭代法和牛顿－拉夫逊迭代法解一维非线性方程，然后拓展到解n维非线性方程。6.3.1GAUSS-SEIDELMETHOD

高斯－塞德尔迭代法可认为是连续迭代的方法，既可用来解线性方程组也可解非线性方程组。为了说明这种方法，设有非线性方程组将上述方程整理得如果是变量x的初始估计值，于是迭代格式变为当连续迭代结果的差的绝对值小于某一特定值时，就得到方程的解。(6.6)(6.7)(6.8)(6.9)例6.2（chp6ex2）用高斯－塞德尔迭代法求下例方程的根为求x，上述等式可写成使用MATLAB的plot指令画，的范围是0到4.5，如图6.3所示，和x的交点即为的两个根，这两个根是1和4，实际上在处是二重根。应用高斯－塞德尔迭代法，并设初始值为由式（6.8），第一次迭代值第二次迭代值接下来的迭代结果分别是2.8966，3.3376，3.7398，3.9568，3.9988，4.000。一直重复迭代过程直到变化量满足期望的精度。可以看到，高斯－塞德尔迭代法需要很多次迭代才能获得需要的精度，并且不能保证收敛。例题中，由于初始估计值在“盒中”区域，解字形收敛到其中一个根。实际上，如果初始估计值在这个区域之外，比说，迭代过程将是发散的。检验收敛性，特别是对于n维的情况，是比较困难的，没有通用的方法可以使用。初始估计值为，下面的指令指明了计算过程。dx=1;%变量置一个高值x=2;%初始估计值iter=0;%迭代计数disp('Itergdxx')%解的题头whileabs(dx)>=0.001&iter<100%测试收敛iter=iter+1;%迭代次数g=-1/9*x^3+6/9*x^2+4/9;dx=g-x;%修正量x=x+dx;%连续迭代fprintf('%g',iter),disp([g,dx,x])end运行结果如下Itergdxx12.22220.22222.222222.51730.29512.517332.89660.37932.896643.33760.44103.337653.73980.40223.739863.95680.21703.956873.99880.04203.998884.00000.00124.00004.00000.00004.0000一些情况下，可以使用加速因子来提高收敛速度，如果，就是加速因子，高斯－塞德尔算法就变成式(6.10)例6.3（chp6ex3）利用高斯－塞德尔迭代法，求解例6.2方程的根，加速因子。解：设初始值，利用式（6.10），第一次迭代值为第二次迭代值为接下来的迭代值为3.0801，3.1831，3.7238，4.0084，3.9978，4.0005，加速迭代结果如图6.4所示。注意，由于步长过大会导致超调，所以不可以用过大的加速因子，否则会导致迭代次数变多，甚至引起发散。在MATLAB例题6.2的指令中，最后部分写入，以反应加速因子的影响。(6.10)图6.4使用加速因子的高斯－塞德尔迭代法图示说明现在考虑个n等式n个变量的情况求每个等式的一个变量，将上述等式改写为(6.11)(6.12)设一组独立变量，代入等式（6.12）将会得到一组新的近似变量，在高斯－塞德尔迭代法中每次迭代所得的值都用在下一次的迭代过程中。每次迭代结束，所有变量的计算值都要和前一次迭代值比较，如果所有变化量都小于或等于指定的精度，那么结果就是收敛的，否则，必须再次迭代。用一个合适的加速因子，可以加快收敛速度。其迭代方程式变为6.3.2NEWTON-RAPHSONMETHOD牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种广泛适用的解非线性代数方程的方法。这种方法是，对未知数做初始估计，应用泰勒级数展开，连续逼近计算结果的过程。下面以一元非线性代数方程为例，来说明牛顿-拉夫逊法的基本思想。首先选取初始估计值作为方程的解，△是偏离真实值的一个微小变化量，有设具有任意阶导数，把上述等式左边在的邻域处进行泰勒级数展开(6.13)(6.14)考虑到非常小，所以的高次幂可以忽略掉，从而可得其中把加到初始估计值上，可以得到第一次的修正估计值可见，只要，即可根据上式求出第一次的修正估计值，若恰巧有，则方程的真实解即为=。若，则用上述方法由再确定第二次的修正估计值。如此反复迭代下去，直到求得真实解为止。设为第k次的估值，为第k+1次的修正估值，则有式（6.16）可以写成(6.15)(6.16)(6.17)(618)其中式（6.18）表明，非线性方程可以通过对曲线上处的切线处近似处理，得到一个基于变量微小变化量的线性方程，切线和x轴的交叉点就是，这个可以在例6.4图中看出。例6.4(chp6ex4)用牛顿-拉夫逊法求例6.2中方程的根。设初始估计值为。用MATLAB的plot指令画，的范围是0到6，如图6.5所示，和x轴的交点即为的两个根，两个根是1和4，实际上在处是二重根。应用牛顿-拉夫逊迭代法，并设初始估计值为。图6.5还给出了牛顿-拉夫逊算法的图形描述，初始估计值，并把该处的切线和x轴的交点作为下一次的迭代修正值，迭代过程直到前后两个切线和x轴的交点足够接近为止。图6.5例6.4牛顿-拉夫逊迭代求解的图示说明解：因此第一次迭代的结果为同样可得到第2，3，4，5次迭代结果如下可以看到牛顿-拉夫逊法比高斯－塞德尔迭代法收敛速度要快。但需要指出的是，用牛顿-拉夫逊法求解非线性代数方程时，巧妙地设定一个合适的初始值是十分重要的，若初始值设定的合适，不但可以保证迭代收敛（即向真实值逼近），而且可使迭代次数减少。相反，若初始值设定的不合适，则不但要增加迭代次数，而且还可能使迭代发散（即远离真实值）或者循环（即在真实值附近往复变化）。为解决此问题，可在迭代前先粗略画出函数的曲线，在该曲线与x轴的交点附近设定合适的初始估计值会有裨益。下面的指令表明了牛顿法在MATLAB中解的过程。dx=1;%变量置一个高值x=input('Entertheinitialestimate->');%初始估计值iter=0;%迭代计数disp('iterDcJdxx')%解的题头whileabs(dx)>=0.001&iter<100%测试收敛iter=iter+1;%迭代次数Dc=4-(x^3-6*x^2+9*x);%差J=3*x^2-12*x+9;%导数dx=Dc/J;%修正量x=x+dx;%连续迭代fprintf('%g',iter),disp([Dc,J,dx,x])end结果如下：Entertheinitialestimate->6iterDcJdxx1-50.000045.0000-1.11114.88892-13.443122.0370-0.61004.27893-2.998112.5797-0.23834.04054-0.37489.4914-0.03954.00115-0.00959.0126-0.00114.00006-0.00009.0000-0.00004.0000现在考虑n元非线性代数方程组的情况。在未知量x的初始估计值附近，将式（6.11）泰勒级数展开并略去二阶及以上的高阶项，得到如下线性化的方程组写成矩阵形式如下将上述方程简写为或者元情况下，牛顿法迭代公式为其中(6.19)(6.20)(6.21)(6.22)叫做雅可比矩阵,矩阵的元素是在估计值点的偏导数。假设在迭代过程中可逆，牛顿法作为一种求解非线性方程组的方法，把问题简化为求解一个线性方程组的问题，解线性方程组的目的是提高估计计算的精度。用求逆矩阵的方法来求解式（6.19），效率比较低，没有必要求解的逆矩阵。实际上，一种直接的解法是三角因子法，并通过优化节点排序简化雅可比矩阵。在MATLAB中，线性方程组可以通过矩阵相除（例如）的方法求解，矩阵相除的方法是基于三角分解和高斯消元法的方法。例6.5(cha6ex5)用牛顿-拉夫逊法找出下面两个曲线的交点的坐标值。如图所示，圆和曲线的交点即为方程的根，两个根在和附近图6.6例6.5的图示说明求上述方程组的偏导数，可得雅可比矩阵为用下面的MATLAB指令求解iter=0;%迭代计数x=input('Enterinitialestimates,col.vector[x1;x2]->');Dx=[1;1];C=[4;1];disp('IterDCJacobianmatrixDxx');%结果题头whilemax(abs(Dx))>=.0001&iter<10%测试收敛iter=iter+1;%迭代数f=[x(1)^2+x(2)^2;exp(x(1))+x(2)];%函数DC=C-f;%差J=[2*x(1)2*x(2)%雅可比矩阵

exp(x(1))1];Dx=J\DC;%修正量x=x+Dx;%连续求解fprintf('%g',iter),disp([DC,J,Dx,x])%结果end程序运行时，要求用户输入初始估计值，可以输入一个初始估计值。运行结果为Enterinitialestimates,col.vector[x1;x2]->[0.5;-1]IterDCJacobianmatrixDxx12.75001.0000-2.00000.80341.30340.35131.64871.0000-0.9733-1.97332-1.59282.6068-3.9466-0.25611.0473-0.70853.68181.00000.2344-1.73893-0.12052.0946-3.4778-0.04221.0051-0.11112.84991.00000.0092-1.72964-0.00192.0102-3.4593-0.00091.0042-0.00252.73211.00000.0000-1.72965-0.00002.0083-3.4593-0.00001.0042-0.00002.72961.0000-0.0000-1.7296可以看出，经过5次迭代，结果收敛到，，精确到小数点后四位小数。如果初始估计值选，接近于另外一个交点，结果收敛到和。例6.6(chp6ex6)初始估计值为，用牛顿-拉夫逊法求解下例方程组解：求出上述方程组的偏导数，可得雅可比矩阵为用下面的MATLAB指令求解Dx=[10;10;10];%变量置高值x=[1;1;1];%初始估计值C=[11;3;6];iter=0;%迭代计数whilemax(abs(Dx))>=.0001&iter<10;%测试迭代iter=iter+1%迭代数F=[x(1)^2-x(2)^2+x(3)^2%函数

x(1)*x(2)+x(2)^2-3*x(3)x(1)-x(1)*x(3)+x(2)*x(3)];DC=C-F%差J=[2*x(1)-2*x(2)2*x(3)%J雅可比矩阵

x(2)x(1)+2*x(2)-31-x(3)x(3)-x(1)+x(2)]Dx=J\DC%修正量x=x+Dx%连续求解end运行结果如下：iter=1时，经过六次迭代，结果收敛到牛顿-拉夫逊法的突出优点就是当所选的初始估计值在精确值附近时收敛速度快，但是每次迭代都要重新计算雅可比矩阵，计算时间长，并且当初始值选择不当的时候，算法有可能不收敛或者收敛到一个无法运行的解点上。6.4POWERFLOWSOLUTION潮流计算潮流研究，一般叫做负荷潮流，是电力系统分析的一个重要部分，对于电力规划，经济调度，和当前系统控制以及未来发展规划都很有必要，包括求解节点电压幅值及相位和每条线路上的有功和无功功率流。在解决潮流问题时，假设系统处于三相平衡状态，就可以使用单相模型。每个节点要求四个参数，电压幅值|V|，相角，有功功率P以及无功功率Q，系统节点分为三个类型：平衡节点：又称为松弛节点或摇摆节点，用来作为系统的参考节点，该节点的节点电压的幅值和相角已知，这个节点平衡了负荷功率和发电机功率在网络损耗情况下的差异。负荷节点：这些节点的有功和无功功率为已知，幅值和相角未知，也叫P-Q节点。调整节点：这些节点是发电机节点，也被称为电压控制节点，有功和电压幅值已知，相角和无功未知，无功出力限制通常也已规定，这种节点叫做P-V节点。6.4.1POWERFLOWEQUATION潮流方程图6.7是一个典型的电力系统网络节点，传输线用模型表示，阻抗已转化为以一定功率(MVA)基准下的标幺值阻抗，对这个节点应用KCL得或图6.7电力系统典型节点节点i的有功功率和无功功率为或(6.23)(6.24)(6.25)(6.26)将代入式(6.24)可得上述等式就是我们通常所说的潮流方程，可以看出该方程为一个非线性的代数方程，而非线性方程的解必须用迭代的方法来求。(6.27)6.5GAUSS-SEIDELPOWERFLOWSOLUTION高斯-塞德尔迭代法潮流计算在潮流研究中，首先必须解出式(6.27)非线性潮流方程，对于每个节点有两个未知变量。用高斯-赛德尔法求解，将式(6.27)改写为这里下标是小写字母的是实际的导纳标幺值，和是净有功功率和净无功功率标幺值。在KCL中设电流流入节点i的方向为正，因此，对于功率注入节点如发电机节点，和是正的；而对负荷节点来说电流流出节点，和是负的，如果式(6.27)中以和为未知变量，可得(6.28)(6.29)(6.30)(6.31)(6.32)(6.33)功率潮流方程通常以节点导纳矩阵的元素来表示，由于节点导纳矩阵的非对角线元素用大写字母表示，，而对角线元素是，式(6.28)就变成和包括对地线路充电电纳和其它对地固定导纳。在6.7节中，介绍了一种非标准变比的变压器模型，并介绍了该模型变压器调整分接头的影响。由于平衡节点电压的两个参数都已确定，有2（-1）个方程需要用迭代法求解。在正常情况下，节点电压的幅值在1.0（标幺值）附近或接近平衡节点的幅值；负荷节点的电压幅值比平衡节点稍小，这取决于无功的需求；而发电机节点的相位取决于流入节点的有功的大小而有可能高于参考值。同样，负荷节点相位滞后于参考相角，取决于有功的需求；而发电机母线的设定电压要高一些，这取决于注入发电机节点有功功率的多少。因此，对于高斯法来说，参考电压的最初估计值为较为合适，且收敛后的解与实际的运行状态有关。对于P-Q节点来说，有功和无功和是已知的。设定电压初值后，可用式(6.31)来求解电压的实部和虚部。对于电压控制节点（P-V节点）来说，和是已知的，用式（6.33）先解出，然后代入式(6.31)解出。但是由于||已确定，因此，仅保留的虚部，然后利用下式或来求解其实部。这里和是迭代序列中的电压的实部和虚部。在迭代过程中，加入一个加速因子，可以提高收敛速度。将加速因子用在每次迭代的近似解上得为加速因子，其值取决于系统本身，1.3到1.7即可满足一般典型系统。用一组新电压值代替上一组电压值，连续迭代直到这两组电压值的实虚部的差满足指定的精度，即(6.34)(6.35)(6.36)(6.37)为使功率误差较小且可以接受，电压的实部和虚部必须满足一个很小的给定精度，电压精确度在0.0001pu到0.0005pu之间就可以满足。实际应用中，迭代是否继续是根据功率的误差决定的，△P和△Q的列向量中最大的元素要小于一个给定值，迭代才可以结束，一般给定值为0.001pu。如果算法收敛，就可以利用式(6.32)和式(6.33)来计算平衡节点的有功和无功功率。6.6LINEFLOWSANDLOSSES线路潮流与损耗在迭代求出节点电压后，下一步就开始计算线路潮流和损耗。如图6.8，线路连接节点i

和节点j，在节点i测量支路电流，规定由节点i流向节点j时为正。同理，在节点j测量支路电流,规定由节点j流向节点i时为正。复功率表示从节i点流向节点j，表示从节点j流向节点i。

图6.8计算线路潮流的线路模型(6.38)(6.39)(6.40)(6.41)(6.42)节点i和j之间的线路损耗为由式(6.40)和式(6.41)计算出的功率流的代数和。例6.7(chp6ex7)如图6.9为一个简单的三节点系统单线图，节点1连接发电机，节点1的电压幅值调整为1.05(标幺值)，节点1与节点2的计划负荷如图所示，线路阻抗在图上用标幺值表示，基准功率为100MVA，不计线路充电电纳。图6.9例6.7的的单线图(标幺阻抗，基准100MVA)(a)用高斯－塞德尔迭代法求解节点1和节点2（P-Q节点)的电压幅值，结果精确到四位小数。(b)求解平衡节点的有功、无功功率。(c)求解线路潮流和线路损耗。画出功率流向图，并注明功率方向.解：（a）线路阻抗转换成导纳同样，有，。线路导纳标在图6.10中。图6.10例6.10的导纳图(标幺值导纳，基准功率为100MVA)在P-Q节点，复功率的标幺值为由于节点导纳已经标注在图6.10中，我们利用式(6.28)来手算。节点1作为参考节点(平衡节点)，节点2、3的电压初始估计值取为，，利用式（6.28），得第二次迭代，可以得到经过七次迭代，结果收敛，精确度为，各次迭代结果如下所以最终结果是(b)各节点电压已知，由式（6.27）可得平衡节点的功率得出平衡节点的有功功率为，无功功率为

(c)为计算线路潮流，首先计算线路的电流，忽略线路充电电容，可得线路电流为潮流如下线路损耗为功率流向图如图6.11，有功功率的方向标示为，无功功率的方向标示为，括号中的数值为线路的有功和无功损耗。图6.11例题6.7的潮流图(有功MW，无功Mvar)例6.8(chp6ex8)图6.12是一个简单的三相系统的单线图，节点1、3连接发电机，节点1的电压幅值为1.05（标幺值），节点3的电压幅值为1.04（标幺值），发电机有功功率为200MW。节点2连接一负荷，负荷吸收有功功率为400MW，无功功率为250Mvar。线路阻抗如图所示，忽略线路充电电纳，基准功率为100MVA，利用高斯－塞德尔迭代法计算线路的潮流分布和线路损耗。解：线路阻抗转化成导纳有，，负荷以及发电机阻抗转换成标幺值为节点1作为参考节点(平衡节点)，节点2、3的电压初始估计值为，，利用式（6.28），、的计算如下节点3是已知电压幅值和有功功率的调整节点，对于这种电压控制的节点，首先根据式（6.30）计算节点无功功率作为的值计算节点3的电压，节点3的复数电压为由于的值固定在1.04(标幺值)，所以只保留的虚部，即，所以实部为因此第二次迭代为由于的值固定在1.04(标幺值)，所以只保留的虚部，即，所以实部为因此经过七次迭代，结果收敛，精确度为，各次迭代结果如下最终结果为线路潮流和损耗的计算如例6.7，结果如下，单位为MW和Mvar图6.13例题6.8的潮流图(有功MW，无功Mvar)6.7TAPCHANGINGTRANSFORMERS可调分接头变压器

在2.6节表明沿着输电线传输的有功功率流是由两端电压的相角差决定的，无功功率流是由两端电压的幅值差决定的，有功和无功可通过调节变压器的分接头来控制。在可调分接头变压器中，其变比为标准变比时，变压器由一个串联导纳（标幺值）来表示；而为非标准变比时，变压器两边的导纳标幺值是不同的，导纳必须计及非标准变比的影响而进行修正。考虑一个导纳为的变压器和一个理想变压器串联，变比1：a为分接头的比，如图6.14，是以标准匝数比为基准的标幺值导纳，a是非标准变比下的分接头位置，调整范围一般为。若为相移变压器，a是复数。在变压器变比和串联导纳之间虚构一个节点x，由于理想变压器两边的复功率相等，则如果一边的电压相角变为正时，电流相角应为负，因此，对于指定的电流方向，我们有图6.14分接头1：a的变压器电流为代入消去，得从式（6.44）得将式（6.45）的代入可得把式(6.45)和式(6.46)写成矩阵形式可得a为实数时，图6.15中用模型表示了式(6.47)中的导纳矩阵，在模型中，左侧对应无分接头调整侧，右侧对应有分接头调整侧。

图6.15带分接头可调节变压器的等效电路图6.8POWERFLOWPROGRAMS潮流程序现已开发出几个实际系统的潮流计算的计算程序，每种计算方法包括四个程序。高斯法的程序是lfgauss，它用到lfybus程序还有busout和lineflow程序。busout和lineflow程序在还用在其他两种潮流程序计算中，分别是牛顿法的lfnewton程序和快速解耦法的decouple程序中。下面简要介绍一下高斯法用到的程序：Lfybus：这个程序需要输入线路参数、变压器参数以及变压器分接头参数。并将这些参数放在名为linedata的文件中。这个程序将变阻抗为导纳，并得到节点导纳矩阵。该程序还设计了平行线路的处理方法。Lfgauss：该程序用高斯法得到潮流结果，需要用到busdata和linedata两个文件。程序设计为输入负荷和发电机的有功MW和无功Mvar，以及节点电压标幺值和相角的角度值。根据所选复功率为基准值将负荷和发电机的功率转换为标幺值。对于电压控制节点，如发电机节点，要提供一个无功功率限定值。当给定电压过高或过低时，无功功率可能超出功率限定值。在几次迭代之后(高斯-塞德尔迭代为10次)，需要检查一次发电机节点的无功出力，如果接近限定值，电压幅值进行上下5%的调整，使得无功保持在限定值内。Busout：该程序以表格形式输出结果，节点输出包括电压幅值和相角，发电机和负荷的有功和无功功率，以及并联电容器或电抗器的有功和无功功率。下面的例题中还包含了发电机和负荷的总功率。lineflow：该程序输出线路的相关数据，程序设计输出流入线路终端的有功和无功的功率流、线损以及节点功率，还包含整个系统的有功和无功损耗，这个在下面的例题中也有体现。6.9DATAPREPARATION数据准备为了在MATLAB环境下用高斯法进行潮流计算，必须定义下列变量：基准功率，功率允许误差，加速因子和最大迭代次数。上述变量命名(小写字母)为：basemva、accuracy、accel和maxiter，一般规定为：

Basevar=100；accuracy=0.001；

Accel=1.6；maxiter=80；输入文件准备的第一步是给节点编号，节点号码必须是连续的，但节点数据输入不一定就按顺序来。此外，还需要下列数据文件：节点数据文件-busdata：节点信息输入格式为单行输入，输入的数据形成一个矩阵，叫做busdata矩阵。第一列为节点号；第二列为节点类型；第三列和第四列分别为节点电压幅值(标幺值)和相角(单位为度)；第五列和第六列分别为负荷的有功功率和无功功率；第七列到十列分别为发电机的有功功率、无功功率、最小无功出力和最大无功出力；最后一列为并联电容器注入无功功率。第二列的编码用来区分负荷节点、电压控制节点和平衡节点：

1

该节点为平衡节点，且已知该节点的电压幅值和相角。

0负荷节点，输入正的有功功率（兆瓦）和无功功率（兆乏），并且要设定节点电压初始估计值，一般幅值和相角分别设为1和0，如果题目已经给定初始值，则用其给定值来代替1和0。

2

电压控制节点，要设定该节点的节点电压幅值和发电机的有功功率（兆瓦），并设定发电机的无功最小出力和最大出力（兆乏）。线路数据文件-linedata

线数数据用节点对的方法来确定，数据包含在称为linedata的矩阵中。第一列和第二列为节点号码，第三列到第五列为线路电阻、电抗及该线路电纳值的一半，以标幺值表示。最后一列为变压器分接头设定值，对线路来说，需要输入1。线路输入为无输入顺序，对变压器来说，左侧的节点号设为分接头端。

IEEE30节点系统用来说明数据准备和高斯法潮流程序。例6.9(chp6ex9)图6.6是美国电气服务公司网络的一部分，它为电力公司提供了一个标准的测试网络，可用来评价各种分析方法和程序的优劣。使用了lfgauss得到由高斯法计算的潮流结果，节点1为平衡节点，电压指定为（标幺值）。电压控制节点数据是变压器分接头以表格给出，左侧的节点号设为分接头端。

调整节点数据节点编号电压幅值最小无功容量（Mvar）最大无功容量（Mvar）21.043-405051.010-404081082-624131.071-624变压器数据名称分接头数据4-120.9326-90.9786-100.96928-270.968并联电容器的注入无功为电容器注入无功功率节点号无功（Mvar）1019244.3发电机和负荷数据在MATLAB环境中以一个矩阵basdata的形式给出，节点0、节点1和节点2分别为负荷节点、平衡节点和电压控制节点。basemva、accuracy、accel和maxiter必须给出；线路数据在矩阵linedata中给出；如果是线路，数据的最后一列必须为1；如果是变压器，输入非标准变比的抽头位置。控制命令用lfbus、lfguass和lineflow实现。一个diary命令储存输出到某个确定的文件名，潮流数据和要求的命令如下：clearbasemva=100;accuracy=0.001;accel=1.8;maxiter=100;%IEEE30节点检测系统（美国电力）%母线母线电压相角负载发电机注入功率%编号节点幅值角度有功无功有功无功无功最小值无功最大值无功busdata=[111.060.00.0

0.0

0.0

0.0000221.0430.021.7012.740.00.0-40500301.00.02.41.20.00.0000401.060.07.61.60.00.0000521.010.094.219.00.00.0-40400601.00.00.0

0.0

0.0

0.0000701.00.022.810.90.00.0000821.010.030.030.00.00.0-30400901.00.00.0

0.0

0.0

0.00001001.00.05.82.00.00.0-624191121.0820.00.0

0.0

0.0

0.00001201.0011.27.500000

1321.071000.000-6240140106.21.600000150108.22.500000160103.51.800000170109.05.800000180103.20.900000190109.53.400000200102.20.7000002101017.511.2000002201000.000000230103.21.600000240108.76.700004.32501000.000000260103.52.3000002701000.0000002801000.000000290102.40.9000003001010.61.900000];%线路数据%BusbusRX1/2B=1forlines%nlnrp.u.p.u.p.u.>1or<1tr.tapatbusnllinedata=[120.01920.05750.026401130.04520.18520.020401

240.05700.17370.018401340.01320.03790.004201250.04720.19830.020901260.05810.17630.018701460.01190.04140.004501570.04600.11600.010201670.02670.08200.008501680.01200.04200.004501690.00.20800.00.9786100.556000.9699110.2080019100.1100014120.256000.93212130.1400011214.1231.2559011215.0662.1304011216.0945.1987011415.2210.1997011617.0824.1923011518.1073.2185011819.0639.1292011920.0340.0680011020.0936.2090011017.0324.084501

1021.0348.0749011022.0727.1499012122.0116.0236011523.1000.2020012224.1150.1790012324.1320.2700012425.1885.3292012526.2544.3800012527.1093.20870128270.396000.9682729.2198.4153012730.3202.6027012930.2399.453301828.0636.20000.02141628.0169.05990.0651];lfybus%形成节点导纳矩阵lfgauss%高斯法潮流计算busout%屏幕打印潮流计算结果lineflow%计算并显示线路潮流和损耗运行命令lfguass，busout和lineflow。6.10NEWTON-RAPHSONPOWERFLOWSOLUTION牛顿-拉夫逊迭代法潮流计算由于牛顿法的二次收敛性，这种方法在数学上比高斯法具有优势，而且这种方法在病态情况下不易发散，对大型电力系统更加有效和实用。牛顿法中迭代次数和系统的大小是相互独立的，但其每一步迭代需要更多的方程计算，由于在潮流计算中电压控制节点的有功功率和电压幅值是已知的，潮流方程将以极坐标的形式给出。在图6.7所示的典型节点中，流入节点的电流以式(6.24)给出。这个等式也可以写成下面的节点导纳矩阵形式在上述方程中，j的值可以等于i，以极坐标的形式写出节点i的复功率是将式(6.49)的代入到式(6.50)得(6.48)(6.49)(6.50)(6.51)分离出实部和虚部可得等式(6.52)和等式(6.53)构成一系列的由独立变量组成的非线性代数方程，其中电压幅值以标幺值给出，相角的单位是弧度。对每个负荷节点我们可以得到两个等式，即式(6.52)和式(6.53)。电压控制节点有一个等式，即等式(6.52)。将式(6.52)和式(6.53)在初始估计值处进行泰勒级数展开，并忽略高阶项，可以得到下列一组线性方程(6.52)(6.53)在上述方程中节点1为平衡节点，雅可比矩阵给出了电压相角的微小变化和幅值的微小变化，与有功无功功率的微小变化和的线性关系。雅可比矩阵中的元素为式（6.52）和式（6.53）对和的偏导数，简写为对电压控制节点来说，电压幅值已知，因此，如果m个节点为电压控制节点，雅可比矩阵中涉及△Q和△V的m个方程就可以消掉。相应的，有(n-1)个有功功率约束方程和(n-1-m)个无功功率约束方程，雅可比矩阵为(2n-2-m)×(2n-2-m)阶。是(n-1)×(n-1)阶矩阵，是(n-1)×(n-1-m)阶矩阵，是(n-1-m)×(n-1)阶矩阵，是(n-1-m)×(n-1-m)阶矩阵。的对角线及非对角线元素分别为的对角线及非对角线元素分别为(6.54)(6.55)(6.56)(6.57)(6.58)的对角线和非对角元素分别为的对角线和非对角元素分别为和为计划值和计算值的差，叫做功率余额，记作节点电压新的估计值为(6.59)(6.60)(6.61)(6.62)(6.63)(6.64)(6.65)(6.66)(6.67)我们可以总结出牛顿法的潮流计算过程，有下面7个步骤1．对负荷节点，和已知，电压幅值和相角初始估计值为平衡节点的值，如，相角为。对电压控制节点，有功功率和电压幅值是已知的，相角设定与平衡节点一致，如。2．对负荷节点，和由式（6.52）和式（6.53）来确定，和通过式（6.63）和式（6.64）来计算。3．对电压控制节点，和分别由式（6.52）和式（6.63）计算。4．雅可比矩阵(，，，)的元素由式（6.55）－式（6.62）计算。5．线性联立方程式（6.54）直接由最优排序的三角因子分解和高斯消去法来计算。6．新的电压幅值和相角由式（6.65）和式（6.66）计算。7．迭代过程持续到和满足给定的精度为止：例6.10(chp6ex10)通过牛顿法求解例6.8的潮流结果。解：线路阻抗转化为导纳为：该结果代入到节点导纳矩阵为将上述节点导纳矩阵改写为极坐标的形式（角度的单位为弧度）利用式(6.52)到式(6.53)，求节点2和节点3的有功功率及节点2的无功功率为：上述方程分别对，和求偏导数，可求得雅可比矩阵各元素负荷和发电机节点功率表示为（标幺值）平衡节点电压为，节点3电压幅值为，初始估计值设为，和，由式(6.63)和式(6.64)来计算功率差值通过上面设定的初始估计值计算出雅可比矩阵各元素，第一次迭代的线性方程为求解上述方程可得第一次迭代后新的节点电压为电压相角以弧度表示，第二次迭代后得求解可得经过三次迭代，结果收敛，最大功率误差为。此时,，，由式(6.52)和式(6.53)，可求出节点3的无功功率以及平衡节点的有功和无功功率为代入数据可得程序lfnewton是为牛顿法潮流计算开发的程序，数据准备和程序格式和高斯-赛德尔法一样，包括程序