教学课件-第三章

一、渐近线那么

x

x0

就是

y

f

(

x)

的一条铅直渐近线.0

0定义:

当曲线

y

f

(

x)

上的一动点P

沿着曲线移向无穷点时,

如果点

P

到某定直线L

的距离趋向于零,

那么直线

L

就称为曲线

y

f

(

x)

的一条渐近线.1.铅直渐近线(垂直于x

轴的渐近线)如果

lim

f

(

x)

或

lim

f

(

x)

x

x

x

x例如

y

,(

x

2)(

x

3)1有铅直渐近线两条:x

2,x

3.2.水平渐近线(平行于x

轴的渐近线)如果

lim

f

(

x)

b

或

lim

f

(

x)

b

(b

为常数)x

x那么

y

b

就是

y

f

(

x)

的一条水平渐近线.例如

y

arctan

x,有水平渐近线两条:2y

.2y

,3.斜渐近线那么

y

ax

b

就是

y

f

(

x)

的一条斜渐近线.斜渐近线求法:(a,b

为常数)或lim[f

(x)

(ax

b)]

0如果

lim

[

f

(

x)

(ax

b)]

0xxxlim

f

(

x)

a,xlim[

f

(

x)

ax]

b.x那么

y

ax

b

就是曲线

y

f

(

x)

的一条斜渐近线.注意:

如果x(1)lim

f

(x)不存在;xx(2)lim

f

(x)

a

存在,但lim[f

(x)

ax]不存在,xx可以断定

y

f

(

x)

不存在斜渐近线.例1求

f

(

x)

2(

x

2)(

x

3)

的渐近线.x

1D

:

(,1)

(1,).解

lim

f

(

x)

,

lim

f

(

x)

,x1

x1

x

1

是曲线的铅直渐近线.又

lim

f

(

x)

lim

2(

x

2)(

x

3)

2,xx x(

x

1)xlim[2(

x

2)(

x

3)

2

x]x(

x

1)xx

1

lim

2(

x

2)(

x

3)

2

x(

x

1)

4,x

y

2

x

4

是曲线的一条斜渐近线.x

1f

(x)

2(x

2)(x

3)

的两条渐近线如图二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步确定函数

fy(x)

的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的

,求出函数的一阶导数

'()xf

和二阶导数f

"()x

;求出方程

f

'(

x)

0

和

f

"(

x)

0

在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.第三步确定在这些部分区间内

'

xf)(和

"

xf)(的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行

）；第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步描出与方程f

'(x)

0

和f

"(x)

0

的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步

的结果画出函数的图形.三、作图举例例2

作函数

f

(

x)

4(

x

1)

2

的图形.x2非奇非偶函数,且无对称性.解

D

:

x

0,f

(

x)

4(

x

2),x3令f

(x)

0,令f

(x)

0,x4f

(

x)

8(

x

3).得驻点x

2,得特殊点x

3.x2x

xlim

f

(x)

lim[4(x

1)

2]

2,

得水平渐近线

y

2;x2x0

x0lim

f

(

x)

lim[4(

x

1)

2]

,得铅直渐近线

x

0.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x(,3)

3(3,2)

2(2,0)0(0,)f

(

x)0

不存在f

(

x)0f

(

x)(拐点3,

26)极值点

3间断点9补充点:

(1

3,0),

(1

3,0);C

(2,1).A

(1,2),作图xB

(1,6),y

31

3

2

1

o

1

2

26ABCx2f

(

x)

4(

x

1)

2例3

作函数(

x)

122e

的图形.

x2解D

:

(,),偶函数,

图形关于y轴对称.x2(

x)

e

x22

,令(x)

0,令

(x)

0,得驻点x

0,得特殊点x

1,x

1.

0.4.21W

:

0

(

x)

(

x

1)(

x

1)2

(

x)

x22e

.2

x212

lim

(

x)

limx

xe

0,

得水平渐近线

y

0.(1,)(

x)(

x)00

(

x)x

(,1)

1

(1,0)

0

(0,1)

1拐点极大值1212e

)(1,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:0拐点)1(1,2exyo1

11222e

x12(

x)

例4

作函数

f

(

x)

x3

x2

x

1

的图形.解D

:

(,),无奇偶性及周期性.f

(

x)

(3

x

1)(

x

1),

f

(

x)

2(3

x

1).令f

(x)

0,得驻点

x

1

,

x

1.3令f

(x)

0,3得特殊点x

1

.补充点:2

83

5A

(1,0),

B

(0,1),

C

(

,

).列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x(,

1)3

13(

1

,

1)3

313(1

,1)31(1,)f

(

x)00f

(

x)f

(

x)极大值3227拐点(1

,

16)3

27极小值0xyA

(1,0)B

(0,1)2

83

5C

(

,

)1

1133

1

oy

x

x四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导x数应用的综合

.yoab最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减y

f

(

x)思考题两坐标轴x

0，y

0

是否都是x函数f

(x)

sin

x

的渐近线？思考题解答xx

lim

sin

x

0

y

0是其图象的渐近线.

x

0不是其图象的渐近线.xx0lim

sin

x

1

xy

sin

x一、填空题：11、曲线

y

e

x

的水平渐近线为

.2、曲线y

x

11的水平渐近线为，铅直渐近线为

.二、描出下列函数的图形：1、y

x

2

1

；x2、y

2

x(x

1)2

；3、y

ln

sin

x