第四章专题 力的合成、分解 讲义-高一上学期物理鲁科版必修1

力的合成与分解一、合力和分力1．共点力几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力．2．合力与分力假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，这几个力叫作那个力的分力．3．合力与分力的关系合力与分力之间是一种等效替代的关系，合力作用的效果与分力共同作用的效果相同．二、力的合成和分解1．力的合成：求几个力的合力的过程．2．平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力．3.三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．4．如果没有限制，同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力．5．两个以上共点力的合力的求法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力．三、合力与分力的关系1．两分力同向(θ＝0)时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向．2．两分力反向(θ＝180°)时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同．3．当两个分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，合力的大小取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.4．合力大小可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力．5.三个共点力的合成(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．四、求合力的方法(1)作图法（如图）(2)计算法若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到：F＝eq\r(F12＋F22＋2F1F2cosθ)tanα＝eq\f(F2sinθ,F1＋F2cosθ).几种特殊情况力的合成类型作图合力的计算互相垂直F＝eq\r(F12＋F22)tanθ＝eq\f(F1,F2)两力等大，夹角为θF＝2F1coseq\f(θ,2)F与F1夹角为eq\f(θ,2)两力等大，夹角为120°合力与分力等大F′与F夹角为60°典例1.关于合力与其两个分力的关系，下列说法中正确的是()A．合力的作用效果与两个分力共同作用的效果相同B．两个分力的作用效果与它们合力的作用效果不一定相同C．两个分力的大小之和就是合力的大小D．一个力可以分解为任意大小的两个分力答案A解析两个分力的作用效果与其合力的作用效果一定是相同的，合力可以等效替代两个分力，A正确，B错误；分力与合力的关系遵从平行四边形定则，并不是任意的，C、D错误．变式1.(多选)在一条直线上的两个共点力F1、F2的合力大小为F，保持F1、F2的方向不变，F1、F2、F均不为0，下列说法正确的是()A．若F1、F2同时增大一倍，则F也一定增大一倍B．若F1、F2同时增加10N，则F一定增加20NC．若F1增加10N，F2减少10N，则F可能增加20ND．若F1、F2中一个不变，另一个增大，则F一定增大答案AC解析由于保持F1、F2的方向不变，可知若F1、F2同时增大一倍，则合力F的方向不变，并且F也一定增大一倍，故A正确；若F1、F2同时增加10N，根据合力与分力之间的关系可知，只有两个分力的方向相同时，F才能增加20N，若二者方向相反，则F不变，故B错误；若F1、F2的方向相反，F1增加10N，F2减少10N，则F增加20N，故C正确；若F1、F2的方向相反，F1、F2中一个不变，原来较小的一个力增大，则合力F可能先减小后增大，故D错误．典例2.同一平面内的三个力，大小分别为4N、6N、7N，若三力同时作用于某一物体，则该物体所受三力合力的最大值和最小值分别为()A．17N3N B．5N3NC．9N0 D．17N0答案D解析当三个力同向时，合力最大，则Fmax＝(4＋6＋7)N＝17N．因为4N和6N的合力范围为[2N,10N]，合力可以为7N，与7N再合成，合力可以为零，所以最小合力为零，故D正确，A、B、C错误．变式2.三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是()A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零答案C解析当三个力构成一个矢量三角形或共线时，较小的两力的矢量和与第三个力等大反向时，合力可为0.典例3.如图所示，用缆绳将沉在海底的球形钢件先从a处竖直吊起到b，再水平移到c，最后竖直下移到d.全过程钢件受到水的阻力大小不变，方向与运动方向相反，所受浮力恒定．则上升、平移、下降过程中的匀速运动阶段，缆绳对钢件拉力F1、F2、F3的大小关系是()A．F1>F2>F3 B．F1>F3>F2C．F2>F1>F3 D．F3>F2>F1答案A解析钢件从a到b，对钢件受力分析，有F1＋F浮＝mg＋F阻因F浮恒定，令F0＝mg－F浮，则有F1＝F0＋F阻从b到c，有F2＝eq\r(F阻2＋F02)＝eq\r(F阻＋F02－2F0F阻)＝eq\r(F0－F阻2＋2F0F阻)从c到d，有F3＝F0－F阻故F1>F2>F3，A正确，B、C、D错误．典例4.如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦．当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为()A.eq\r(3)mB.eq\f(\r(3),3)mC.eq\f(\r(3),2)mD．2m答案A解析分别对a、b两球受力分析如图：根据共点力平衡条件得：FT＝mbg；eq\f(FT,sin30°)＝eq\f(mag,sin120°)(根据正弦定理列式)，故mb∶ma＝1∶eq\r(3)，则ma＝eq\r(3)m，故B、C、D错误，A正确．变式4.如图所示，小球A、B通过一条细绳跨过定滑轮连接，它们都穿在一根竖直杆上．当两球平衡时，连接两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ.假设装置中的各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为()A．2cosθ∶1 B．1∶2cosθC．tanθ∶1 D．1∶2sinθ答案B解析分别对A、B两球受力分析，运用合成法，如图：由几何知识得：FTsinθ＝mAg，FTsin2θ＝mBg，故mA∶mB＝sinθ∶sin2θ＝1∶2cosθ，故选B.力的分解1.力的分解：求一个力的分力的过程．2.力分解的两种常用方法（1）效果分解法①分解原则：根据力的作用效果确定分力的方向，然后再画出力的平行四边形．②基本思路③两种常见典型力的分解实例实例分析地面上物体受到斜向上的拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2，F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ放在斜面上的物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑的趋势；二是使物体压紧斜面；F1＝mgsinα，F2＝mgcosα（2）正交分解法：把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法．如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则Fx＝FcosαFy＝Fsinα3.正交分解法求合力(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋….(4)求共点力的合力：合力大小F＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))，设合力的方向与x轴的夹角为α则tanα＝eq\f(Fy,Fx).4.力的分解中定解条件讨论把力按照题中给定的条件分解．若代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段能构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解．常见的有几种情况．已知条件分解示意图解的情况已知两个分力的方向唯一解已知一个分力的大小和方向唯一解已知一个分力(F2)的大小和另一个分力(F1)的方向①F2＜Fsinθ无解②F2＝Fsinθ唯一解③Fsinθ＜F2＜F两解④F2≥F唯一解典例5.如图所示的四种情况(甲、乙、丙图中的球表面光滑)，请把物体的重力G按力的作用效果进行分解，画出分解的示意图．答案如图所示解析按重力的作用效果，找出两个分力的方向，以重力为对角线，作平行四边形．变式5.将处于静止状态的物体所受重力按力的效果进行分解，图中错误的是()答案C解析图C中重力的两个效果分别是使物体挤压斜面和竖直面，两分力应分别垂直于斜面和竖直面．典例6.如图所示，建筑装修中工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力是()A．(F－mg)cosθB．(F－mg)sinθC．μ(F－mg)cosθD．μ(F－mg)答案A解析分析磨石的受力，有重力mg、弹力FN(垂直于斜壁向下)、摩擦力Ff(沿斜壁向下)、外力F四个力．把这四个力沿斜壁和垂直于斜壁方向正交分解，由于磨石处于平衡状态，在沿斜壁方向有mgcosθ＋Ff＝Fcosθ，垂直于斜壁方向有FN＋mgsinθ＝Fsinθ，又Ff＝μFN，可得Ff＝(F－mg)cosθ＝μ(F－mg)sinθ，选项A正确．变式6.如图所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过轻质滑轮(可看成质点)的细绳相连，整个系统保持静止．已知物体B的重力mBg＝100N，地面对物体B的支持力FN＝80N．求：(1)物体A的重力大小；(2)物体B与地面间的摩擦力大小；(3)细绳CO受到的拉力大小．答案(1)40N(2)20eq\r(3)N(3)40eq\r(3)N解析画出定滑轮的轴心O的受力分析示意图，选取直角坐标系，如图甲所示，根据平衡条件得FT1sinα－FT2sin30°＝0，FT2cos30°－FT1cosα－FT3＝0，其中FT1＝FT3＝mAg，联立解得α＝60°，画出物体B的受力分析示意图，选取直角坐标系，如图乙所示，根据平衡条件得Ff－FT1sinα＝0，FN＋FT1cosα－mBg＝0，联立并代入数据解得FT1＝40N，FT2＝40eq\r(3)N，Ff＝20eq\r(3)N，mAg＝FT1＝40N.典例7.已知两个共点力的合力大小为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N，则()A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向答案C解析如图所示，以F的“箭头”为圆心，以F2的大小30N为半径画一个圆弧，与F1所在直线有两个交点，因此F2有两个可能的方向，F1的大小有两个可能的值，C正确．变式7.将力F分解成F1和F2，若已知F1的大小以及F2与F的夹角θ(θ为锐角)，则错误的是()A．当F1<Fsinθ时，无解B．当F1＝Fsinθ时，有一解C．当F<F1时，有一解D．当F1>Fsinθ时，有两解答案D解析F1<Fsinθ时，分力和合力不能构成三角形，无解，故A正确．当F1＝Fsinθ时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解，故B正确．当F>F1>Fsinθ时，根据平行四边形定则，有两组解；若F1>F，只有一组解，故C正确，D错误．典例8.(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则()A．绳OO′的张力也在一定范围内变化B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化答案BD解析由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变，滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的α，Fsinα＋FN＋FTsinβ＝mbg，其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．变式8.如图所示，物块m静止于一斜面上，斜面固定．若将斜面的倾角θ稍微增大一些，物块m仍静止在斜面上，则()A．斜面对物块的摩擦力变小B．斜面对物块的摩擦力变大C．斜面对物块的支持力变大D．物块所受的合外力变大答案B解析物块m静止不动，受力平衡，可对物块受力分析：重力mg、支持力FN和摩擦力Ff，将重力G沿平行斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件得知：FN＝mgcosθFf＝mgsinθ则知，θ稍微增大一些，FN变小，Ff变大，故A、C错误，B正确；物块m始终静止在斜面上，合力始终为零，故D错误．典例9.日常生活中，我们在门下缝隙处塞紧一个木楔(侧面如图所示)，往往就可以把门卡住(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计门与木楔之间的摩擦)．有关此现象的分析，下列说法正确的是()A．木楔对门的作用力大于门对木楔的作用力，因而能将门卡住B．门对木楔作用力的水平分量等于地面对木楔静摩擦力的大小C．只要木楔的厚度合适都能将门卡住，与顶角θ的大小无关D．只要木楔对门的压力足够大就能将门卡住，与各接触面的粗糙程度无关答案B解析木楔对门的作用力和门对木楔的作用力是一对作用力和反作用力，大小相等、方向相反，故A错误；对木楔受力分析如图所示：水平方向：Ff＝Fsinθ，门对木楔作用力的水平分量与地面对木楔的静摩擦力大小相等，故B正确；对木楔，竖直方向：FN＝Fcosθ＋mg则Ffmax＝μFN＝μ(Fcosθ＋mg)要把门卡住，则有：不管多大的力F均满足Ffmax≥Ff，即μ(Fcosθ＋mg)≥Fsinθ，则忽略木楔的质量，只要μ≥tanθ，就可把门卡住，故能否把门卡住与顶角θ以及接触面的粗糙程度有关，故C、D错误．变式9.(多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则()A．若F一定，θ大时FN大B．若F一定，θ小时FN大C．若θ一定，F大时FN大D．若θ一定，F小时FN大答案BC解析根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示则eq\f(\f(F,2),FN)＝sineq\f(θ,2)，故FN＝eq\f(F,2sin\f(θ,2))，所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大，故选项B、C正确，A、D错误．典例10.拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略．拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力有多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tanθ0.答案(1)eq\f(μ,sinθ－μcosθ)mg(2)λ解析(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把．将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有Fcosθ＋mg＝FN①Fsinθ＝Ff②式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力．所以Ff＝μFN③联立①②③式得F＝eq\f(μ,sinθ－μcosθ)mg④(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有Fsinθ≤λFN⑤这时，①式仍成立．联立①⑤式得sinθ－λcosθ≤λeq\f(mg,F)⑥λeq\f(mg,F)大于零，且当F无限大时λeq\f(mg,F)为零，有sinθ－λcosθ≤0⑦使⑦式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把．故临界角的正切为tanθ0＝λ.变式10.如图所示，质量为m的物块静止于斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，逐渐增大斜面的倾角θ，直到θ等于某特定值φ时，物块达到“欲动未动”的临界状态，此时的摩擦力为最大静摩擦力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求θ角满足什么条件时物块总与斜面保持相对静止．答案tanθ≤μ解析θ等于某特定值φ时，物块受力平衡，则有FN－Gcosφ＝0，Ffm－Gsinφ＝0.又Ffm＝μFN，解得μ＝tanφ.显然，当θ≤φ即tanθ≤μ时，物块始终保持静止．课后作业1.关于合力与其两个分力的关系，正确的是()A．合力的大小一定大于小的分力、小于大的分力B．合力的大小随两分力夹角的增大而增大C．合力的大小一定大于任意一个分力D．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力答案D解析合力的大小不一定大于小的分力(如图甲)，也不一定小于大的分力(如图乙)，故A、C错误，D正确；合力的大小可能随两分力夹角的增大而减小(如图丙)，故B错误．2.一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(各小方格边长相等)，则下列说法正确的是()A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向D．由题给条件无法求出合力大小答案B解析根据三力的图示，可知F1、F2在竖直方向的分力大小均为3个单位，方向相反，竖直方向合力为0，在水平方向的分力大小分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同．根据正交分解法可得，三力的合力大小为12个单位，与F3的方向相同，即F合＝3F3，B正确．3.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在航道外建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示．下列说法正确的是()A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布答案C解析增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．4.如图所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计绳和滑轮之间的摩擦．现让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是()A．随着B向右缓慢移动，绳子的张力减小B．随着B向右缓慢移动，绳子的张力不变C．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力变小D．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力不变答案D解析随着B向右移动，两绳间夹角变大，而合力不变，两绳拉力变大．5.如图所示，一件质量为M的衣服挂在等腰三角形的衣架上，衣架通过轻绳OA悬挂在天花板下．衣架质量为m，衣架顶角θ＝120°，此时衣架底边水平．不计衣服与衣架摩擦，重力加速度为g，则竖直轻绳OA受到的拉力FT和衣架左侧对衣服的作用力F大小分别为()A．FT＝(M＋m)g，F＝eq\f(\r(3),3)MgB．FT＝(M＋m)g，F＝eq\f(1,2)MgC．FT＝Mg，F＝eq\f(\r(3),2)MgD．FT＝Mg，F＝eq\f(1,2)Mg答案A解析以衣服和衣架为整体受力分析可知，整体受总重力和轻绳OA的拉力作用，根据平衡条件得：FT′＝(M＋m)g，根据牛顿第三定律可知，OA受到的拉力FT＝FT′＝(M＋m)g；以衣服为研究对象，其受力分析图如图所示：根据几何关系得F与竖直方向的夹角为30°，由平衡条件得：2Fcos30°＝Mg，解得：F＝eq\f(\r(3),3)Mg.故A正确．6.如图所示，两个质量均为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为()A．1∶1B．1∶2C．1∶eq\r(3)D.eq\r(3)