苏教版2022～2023学年初三数学上学期第二次学情测试试卷【含答案】

第8页/共28页苏教版2022～2023学年初三数学上学期第二次学情测试试卷一、填空题（每题2分，共计24分）1.一元二次方程x(x+3)＝0的根是__________________．2.已知，则=___．3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的一个根是3，则另一个根是__．4.抛物线的顶点坐标是_____________．5.一个圆锥的底面半径为10cm，母线长为20cm，则该圆锥的侧面积是________cm2．6.如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是_________．7.圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是方程x2-4x+m=0的根，且直线与⊙O相切时，m的值为__________________.8.如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．9.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则BE：BC的值为_________．10.如图，在圆的内接五边形中，，则________．11.已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则y﹣x的最大值为__．12.若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．二、选择题（每题3分，共计15分）13.函数y=kx2+mx+n是二次函数，则（）A.k=0，m≠0，n≠0 B.k≠0 C.k≠0,m≠0，n=0 D.以上都不正确14.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A. B.且 C. D.且15.下列说法一定正确的是（）A.三角形的内心是三内角角平分线的交点 B.过三点一定能作一个圆C.同圆中，同弦所对的圆周角相等 D.三角形的外心到三边的距离相等16.已知2x=3y=4z,则x:y:z等于（）A.2：3：4 B.4：2：3 C.7：6：5 D.6：4：317.如图，已知二次函数（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＜16a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论个数（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个三、解答题18.解方程：（1）（x﹣1）2=1；（2）2x2﹣3x﹣1=0．（3）19.标有－3，－2，4的三张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其余的值都相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记为一次函数解析式y＝kx＋b的k值，第二次从余下的两张卡片中再抽取一张，上面标有的数字记为一次函数解析式的b值．(1)写出k为负数的概率；(2)求一次函数y＝kx＋b图象不经过第一象限的概率．（用树状图或列举法求解）20.已知二次函数.(1)写出其顶点坐标为，对称轴为;(2)右边平面直角坐标系内画出该函数图像;(3)根据图像写出满足的的取值范围.21.如图所示，抛物线与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴两个交点A，B的坐标；（2）试确定抛物线的解析式．22.已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根；当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？23.如图，在半径为、圆心角为45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上．(1)求正方形CDEF的边长；(2)求阴影部分的面积．24.商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元．已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元．（1）填表（不需化简）：

每天的销售量/台

每台销售利润/元

降价前

8

400

降价后

（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？25.二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．26.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c=0为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：（1）“△ABC☆方程”ax2+bx﹣c=0的根的情况是（填序号）：①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根；（2）如图，AD为⊙O的直径，BC为弦，BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c=0的解；（3）若是“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c=0的一个根，其中a，b，c均为整数，且ac﹣4b＜0，求方程的另一个根．27.平面直角坐标系中，A（0，4），点P从原点O开始向x轴正方向运动，设P点横坐标为m，以点P为圆心，PO为半径作⊙P交x轴另一点为C，过点A作⊙P的切线交x轴于点B，切点为Q．（1）如图1，当B点坐标为（3，0）时，求m；（2）如图2，当△PQB等腰三角形时，求m；（3）如图3，连接AP，作PE⊥AP交AB于点E，连接CE，求证：CE是⊙P的切线；（4）若在x轴上存在点M（8，0），在点P整个运动过程中，求MQ的最小值．

第28页/共28页苏教版2022～2023学年初三数学上学期第二次学情测试试卷一、填空题（每题2分，共计24分）1.一元二次方程x(x+3)＝0的根是__________________．【答案】【解析】【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x(x+3)＝0，x＝0或x+3＝0，；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．2已知，则=___．【答案】【解析】【详解】试题分析：设m=3k，则n=5k，∴.考点：比的计算3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的一个根是3，则另一个根是__．【答案】-1【解析】【详解】解：把方程的一个根3代入方程有：9﹣6+k=0，解得k=﹣3；设方程的另一个根是x1，则：3+x1=2，解得x1=﹣1．即另一个根是﹣1．故答案为﹣1．点睛：本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数k的值是解决问题的关键．4.抛物线顶点坐标是_____________．【答案】（0，1）【解析】【详解】试题解析：∵a=1，b=0，c=1.将x=0代入得到y=1.∴抛物线的顶点坐标为：(0,1).故答案为(0,1).5.一个圆锥的底面半径为10cm，母线长为20cm，则该圆锥的侧面积是________cm2．【答案】200π【解析】【详解】试题解析：∵圆锥的底面半径长为10cm、母线长为20cm，∴圆锥的侧面积为故答案为.6.如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是_________．【答案】110°【解析】【详解】∵AB是半圆O的直径故答案为7.圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是方程x2-4x+m=0的根，且直线与⊙O相切时，m的值为__________________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：若直线与圆相切，则d=r，即方程有两个相等的实数根，得16-4m=0．m=4．∵直线与圆相切，∴d=r∴=16-4m=0∴m=4考点：（1）直线与圆的位置关系；（2）根与系数的关系．8.如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．【答案】【解析】【分析】根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．【详解】解：∵∴∵的直径垂直于弦∴∴为等腰直角三角形∴∴．故答案是：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．9.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则BE：BC的值为_________．【答案】1：4【解析】【分析】由S△BDE：S△CDE=1：3，得到

，于得到

．【详解】解：两个三角形同高，底边之比等于面积比.故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积，比例的性质等知识，知道等高不同底的三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．10.如图，在圆的内接五边形中，，则________．【答案】40°【解析】【分析】连接OA，OC，OD，利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可．【详解】连接OA，OC，OD，如图所示：

∵在圆的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=220°，

∴∠AOC+∠AOD=440°（两角为大于平角的角），

∴∠COD=440°-360°=80°，

则∠CAD=∠COD=40°．

故答案为40°【点睛】考查了圆心角、弧、弦的关系，以及圆周角定理，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．11.已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则y﹣x的最大值为__．【答案】4【解析】【详解】解：由x2+3x+y﹣3=0得y=-x2-3x+3，把y代入y-x得：y-x=-x2-3x+3-x=-x2-4x+3，∴y-x的最大值是412.若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．【答案】或【解析】【分析】直接利用函数图象即可得出结论．【详解】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，∴函数y=a（x-2）2+b（x-2）+c的图象与x轴的交点为3，5，（把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，）∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集为x<3或x>5，故答案为x<3或x>5．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．二、选择题（每题3分，共计15分）13.函数y=kx2+mx+n是二次函数，则（）A.k=0，m≠0，n≠0 B.k≠0 C.k≠0,m≠0，n=0 D.以上都不正确【答案】B【解析】【详解】根据二次函数的定义，可得k≠0,故选B项.14.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．【详解】由题意得：解得：且故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．15.下列说法一定正确的是（）A.三角形的内心是三内角角平分线的交点 B.过三点一定能作一个圆C.同圆中，同弦所对的圆周角相等 D.三角形的外心到三边的距离相等【答案】A【解析】【详解】B选项错误，应为不在同一直线上的三个点能确定一个圆；C选项同弦所对的圆周角有两个，不一定相等；D选项应为三角形的外心到三顶点的距离相等故选A.16.已知2x=3y=4z,则x:y:z等于（）A.2：3：4 B.4：2：3 C.7：6：5 D.6：4：3【答案】D【解析】【详解】试题解析：设则故选D.17.如图，已知二次函数（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＜16a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论个数（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【详解】试题解析：①∵函数开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴abc>0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为(3,0)，∴当x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A(−1,0)，∴当x=−1时,∴a−b+c=0，即a=b−c，c=b−a，∵对称轴为直线x=1即b=−2a，∴c=b−a=(−2a)−a=−3a，故③正确.④∵图象与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，∴−2<c<−1∴−2<−3a<−1，故④正确.⑤∵a>0，∴b−c>0，即b>c；故⑤正确；故选C.点睛：二次函数决定开口方向，，开口向上；开口向下.共同决定了对称轴的位置.左同右异.决定了抛物线和轴的交点位置.三、解答题18.解方程：（1）（x﹣1）2=1；（2）2x2﹣3x﹣1=0．（3）【答案】（1）x1=2，x2=0（2）x1=，x2=（3）x1=3，x2=-1【解析】【详解】试题分析：第小题用直接开方法，第小题用公式法.，第小题用因式分解法.试题解析：或∴或19.标有－3，－2，4的三张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其余的值都相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记为一次函数解析式y＝kx＋b的k值，第二次从余下的两张卡片中再抽取一张，上面标有的数字记为一次函数解析式的b值．(1)写出k为负数的概率；(2)求一次函数y＝kx＋b的图象不经过第一象限的概率．（用树状图或列举法求解）【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析：－3，－2，4三个数字中负数有2个，故抽中k为负数的概率为树状图如左．故共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，当kb＞0时，则一次函数的图象不经过第一象限．∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：考点：简单概率及一次函数性质点评：本题难度较低，主要考查学生对简单概率及一次函数性质的掌握．20.已知二次函数.(1)写出其顶点坐标为，对称轴为;(2)在右边平面直角坐标系内画出该函数图像;(3)根据图像写出满足的的取值范围.【答案】（1，-2），直线x=1,x＜-1或x＞3．【解析】【详解】试题分析：（1）利用配方法将二次函数的解析式由一般式该写为顶点式，由此即可得出该函数的顶点坐标以及对称轴；

（2）利用五点法画出函数图象即可；

（3）观察函数图象，根据二次函数图象与的上下位置关系即可得出不等式的解集．试题解析：∴该二次函数的顶点坐标为(1,−2)，对称轴为x=1.故答案为(1,−2)；x=1.(2)找出函数图象上部分点的坐标，如图所示：x…−10123…y…2−1−2−12…描点、连线,画出函数图象如图所示.(3)观察函数图象可知：当x<−1或x>3时，函数图象在y=2的上方，∴满足y>2的x的取值范围为x<−1或x>3.故答案为x<−1或x>3.21.如图所示，抛物线与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标；（2）试确定抛物线的解析式．【答案】（1）A(2，0)；B(6，0)（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线y=与直线y=-x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，可以求得点B、C两点的坐标，由图象可知抛物线y=与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，从而可以求得点A的坐标；（2）根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式．【小问1详解】解：∵抛物线y=与直线y=﹣x+6分别交于x轴上同一点B，∴将y=0代入y=﹣x+6，得x=6，∴点B的坐标是（6，0），∵抛物线y=与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，∴点A的坐标为（2，0），即抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）．【小问2详解】解：∵将x=0代入y=﹣x+6得，y=6，∴点C的坐标是（0，6），∵抛物线y=过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，一次函数与两坐标轴的交点，根据题意求出点B的坐标，是解题的关键．22.已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根；当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】计算根的判别式，证明；因式分解求出原方程的两个根，根据m为整数、两个不相等的正整数根得到m的值．【详解】，，，，即，不论m为何值，方程总有实数根．，，，方程有两个不相等的正整数根，.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法解决的关键是用因式分解法求出方程的两个根．23.如图，在半径为、圆心角为45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上．(1)求正方形CDEF的边长；(2)求阴影部分的面积．【答案】（1）1（2）【解析】【详解】试题分析：（1）连接OF，设正方形的边长为a.根据等腰直角三角形的性质，得在中，根据勾股定理列方程求解；

（2）阴影部分的面积即为半径为，圆心角等于45°的扇形面积减去正方形的面积和等腰直角三角形的面积．试题解析：(1)连接OF，设正方形的边长为a.在中,解得a=1.答：正方形的边长为1；(2)阴影部分的面积24.商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元．已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元．（1）填表（不需化简）：

每天的销售量/台

每台销售利润/元

降价前

8

400

降价后

（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？【答案】（1），；（2）2750.【解析】【分析】（1）设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元，根据在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台得出结果，填表即可；（2）根据利润=售价-进价列出方程，求出方程解即可得到结果.【详解】（1）填表如下：每天的销售量/台每台销售利润/元降价前8400降价后（2）根据题意，可得：，化简，整理得：，即，解得：x＝150．∴实际售价定为：2900－150＝2750（元）．答：每台冰箱的实际售价应定为2750元．考点：一元二次方程的应用（销售问题）25.二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．【答案】（1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）．【解析】【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．【详解】解：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2；（2）∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=|x2﹣1|，PB=|x|，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．26.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对边，我们称关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c=0为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：（1）“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c=0的根的情况是（填序号）：①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根；（2）如图，AD为⊙O的直径，BC为弦，BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c=0的解；（3）若是“△ABC的☆方程”ax2+bx﹣c=0的一个根，其中a，b，c均为整数，且ac﹣4b＜0，求方程的另一个根．【答案】（1）②；（2），；（3）x1=，x2=﹣2【解析】【详解】试题分析：（1）利用三角形各边大于0，再利用，得出答案即可；（2）利用等边三角形的判定得出△ABC为等边三角形，进而得出a=b=c，求出方程的根即可；（3）将代入☆方程