微积分基础-答案1-4

微积分初步形成性考核作业(一)解答极限和连续————函数，极限和连续一、填空题(每小题2分，共20分)11.函数f(x)=-——-的定义域是(2,3)(3,+)ln(x-2)2．12．1、；5-x的定义域是-,5)1.函数仆)=E+4一x2的定义域是(-2,-1)(-1，2].函数f(x-1)=x-2x+7，贝Uf(x)=x2+6_“、x2+2x<0.函数f(x)=，则f(0)=2exx>0.函数f(x-1)=x2-2x，则f(x)=x2-1x2-2x-3.函数y=的间断点是x=-1x+1.limxsin1=1sin4x.若lim=2，则k=2.xosinkxsin3x310.若lim=2，则k=—xokx2二、单项选择题(每小题2分，共24分)ex+ex.设函数>=--—，则该函数是(B).A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数.设函数y=x2sinx，则该函数是(A).A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

2x+2x.函数f(x)=x一--的图形是关于(D)对称.A.J=xB.x轴C.J轴D.坐标原点4．下列函数中为奇函数是(C)．A.xsinxB.InxC.ln(x+x.1+x2)D.x+x2.函数J=-1-+ln(x+5)的定义域为(D).x+4A.x>-5B.x-4C.x>-5且x0D.x>-5且x-41.函数f(x)=的定义域是(D).ln(x-1)A.(1,+)B.(0,1)(1,+)C.(0,2)(2,+)D.(1,2)(2,+)7.设f(x+1)=x2-1,则f(x)=(C7.A.x(x+1)B.x2C.x(x-2)D.(x+2)(x-1)8.下列各函数对中，(D)中的两个函数相等.A.f(x)=(v：x)2,g(x)=xB.f(x)=x2g(x)=xC.f(x)=lnx2，9.A.0时，下列变量中为无穷小量的是(sinxB.C.ln(1+x)10.函数f(x)=x+1,k,A.B.1C.2D.C).x0x=0xD.—x2在x=0处连续.11.11.x0_八…在x=0处连续.x=0ex+2,函数f(x)=7k,A.B.1C.2D.12.函数f(x)=x-3——--^的间断点是(Ax2-3x+2A.x=1,x=2B.x=3C．x=1,x=2,x=3D.无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）1.计算极限limX2x1.计算极限limX2x2-3x+2X2-4解：limX2x2-3x+2X2-4(X-1)(X-2)X-1二lim二limX2(X+2)(x-2)X2x+*2X2+5X-62.计算极限lim一xiXX0X0%：1-x+1解：TOC\o"1-5"\h\zX2+5X-6(X-1)(X+6)X+67解：lim=lim=lim=—X1X2-1X1(X+1)(X-1)X1X+123．lim3．limX3X2-9x2-2x-3解：4.计算极限解：4.计算极限limX4X2-6X+8x2-5x+4X2-9(X+3)(X-3)X+363lim=lim二lim二一=—X3X2-2X-3X3(X+1)(X-3)X3X+142X-2二lim——X4X-1X2X-2二lim——X4X-1解：lim=lim-X4X2-5X+4X4(X-1)(X-4)X2-6X+8.计算极限lim一x2x2-5x+6X2-6X+8(X-2)(X-4)X-4解：lim=lim二lim二2X2X2-5X+6X2(X-2)(X-3)X2X-31-X-1.计算极限lim——X0X1-X-1(v1-X-1)(v1-X+1)X解：lim二lim:二limX0XX0x(J1-X+1)X0X(v'1-X+1)7.计算极限lim<1-x-1sin4X解：lim^xl1)lim('1-x-1)叱x+1)xosin4xxosin4xQ'1-x+1)=lim=-1limxosin4x(vT7^+1)4xosin4x(二+1)4x”sin4x8.计算极限lim..xoYx+4-2sin4xsin4x£.x+4+2)解.lim-^=一=lim-一xo4x+4-2xoQ：'x+4-2)(Jx+4+2)sin4x(、.x+4+2)二lim-二4lim[sim4x/(、-x+4+2)=164x微积分初步形成性考核作业(二)解答(除选择题)————导数、微分及应用一、填空题(每小题2分，共20分).曲线f(x)=vx+1在(1,2)点的斜率是1.曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是y=x+11.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程是x+2y-3=02xln2.(2x)=——〜2%：x.若y=x(x1)(x2)(x3),则y(0)=-6.已知f(x)=x3+3x,则f'(3)=27+271n3..已知f(x)=1nx，则f(x)=上x2.若f(x)=xex，贝uf"(0)=.函数y=3(x-1)2的单调增加区间是［1,+).函数f(x)=ax2+1在区间(0,+)内单调增加，则a应满足a10二、单项选择题(每小题2分，共24分)函数y=(x+1)2在区间(-2,2)是(D)A.单调增加B.单调减少C.先增后减D.先减后增满足方程f,(x)=0的点一定是函数y=f(x)的(C).A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点若f(x)=excosx，则f,(0)=(C).A.2B.1C.-1D.-2设y=lg2x，则dy=(B).1』1,ln10」1,A.2—dxB.iiodxCdxD.-dx•设y=f(x)是可微函数，则df(cos2x)=(D).A.2f'(cos2x)dxB.f'(cos2x)sin2xd2xC.2f'(cos2x)sin2xdxD.f'(cos2x)sin2xd2x曲线y=e2x+1在x=2处切线的斜率是(C).A.e4B.e2C.2e4D.2若f(x)=xcosx，则f"(x)=(C).A.cosx+xsinxB.cosx-xsinxC.-2sinx-xcosxD.2sinx+xcosx若f(x)=sinx+a3,其中a是常数，则f"(x)=(C).A.cosx+3a2B.sinx+6aC.-sinxD.cosx下列结论中(A)不正确.f(x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微.f(x)在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.若f(x)在［a,b］内恒有f'(x)<0，则在［a,b］内函数是单调下降的..若函数f(x)在点x0处可导，则(B)是错误的.A.函数f(x)在点x0处有定义B.limf(x)=A，但Af(x)0xx0C.函数f(x)在点x0处连续D.函数f(x)在点x0处可微11.下列函数在指定区间+)上单调增加的是(B).A.sinxB.exC.x2D.3-x12.下列结论正确的有(A).x0是f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点C.若f'(x0)=0,则x0必是f(x)的极值点D.使f’(x)不存在的点x0,一定是f(x)的极值点三、解答题(每小题7分，共56分)1L设y=x2ex,求y.

,111111解：y=2xex+x2ex(-一)=2xex-ex=(2x-1)exx2.设y=sin4x+cos3x，求y.解：y，=4cos4x-3cos2xsinxTOC\o"1-5"\h\z——1.设y=e■x+1+—，求y.xK'1-1解：y=ex+1———2%x+1x2.设y=x=x+Incosx，求y.八，3—sinx3--解：y=_个x+=—大x-tanx2cosx2.设y=y(x)是由方程x2+y2-xy=4确定的隐函数，求dy.解：两边微分：2xdx+2ydy-(ydx+xdy)=02ydy-xdy=ydx-2xdxdy=y_2xdx2y-x.设y=y(x)是由方程x2+y2+2xy=1确定的隐函数，求dy.解：两边对x2+y2+2xy=1求导，得：2x+2yy'+2(y+xy')=0x+yy，+y+xy，=0,(x+y)y，=-(x+y),y，=-1dy=y'dx=-dx.设y=y(x)是由方程ex+xey+x2=4确定的隐函数，求dy.解：两边微分，得：exdx+eydx+xeydy+2xdx=0xeydy=-(ex+eyxeydy=-(ex+ey+2x)dx，dy=dxxey.设cos(x+y)+ey=1,求dy.解：两边对cos(x+y)+ey=1求导，得:(1+y′)sin(x+y)+y'ey=0-sin(x+y)-ysin(x+y)+yey=0[ey-sin(x+y)]y，=sin(x+y)，—sin(x+y)ey-sin(x+y)sin(x+y)dy=ydx=dxeysin(x+y)微积分初步形成性考核作业(三)解答(填空题除外)不定积分，极值应用问题一、填空题(每小题2分，共20分).若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)=。.若f(x)的一个原函数为x-e2x，则f'(x)=。.若f(x)dx=xex+c，贝Uf(x)=..若f(x)dx=sin2x+c,贝|f(x)..若f(x)dx=xInx+c，贝|f(x)=..若f(x)dx=cos2x+c，则f(x)=..dex2dx=..(sinx)dx=..若f(x)dx=F(x)+c，贝Uf(2x-3)dx=..若f(x)dx=F(x)+c，则xf(1-x2)dx=.二、单项选择题(每小题2分，共16分)1．下列等式成立的是(A1．A.—f(x)dx=f(x)B.f'(x)dx=f(x)dxdf(x)dx=f(x)D.df(x)=f(x)3若f(x)dx=x2e2x+c,2x2xe2x(1+x)2x2e2x2xe2xxe2xe2xxe2x4若f(x)=x+Cx(x>0)，则Uf'(x)dx=(A).x2+x+c33x2+—x2+c25以下计算正确的是(A)123D—x2+—x2+c23A.3xdx=^x.b.xx=d(1+x2)ln31+x2-dx=-dx=d\xxxInxdx=d(—)x6xf'(x)dx=(A)xf‘(x)-fxf‘(x)-f(x)+cxff(x)+c1x2fr(x)+cD.(x+1)f,(x)+c解：xf"(x)dx=xdf,(x)=xf,(x)f,(x)dx=xf,(x)f(x)+c7da2xdx=(a).A.a2xB.-2a2xlnadxC.a2xdxD.a2xdx+c8果等式f(x)exdx=e；+0,则f(x)=(B)TOC\o"1-5"\h\z1111A.—-B.—-C.-D.—xx2xx2111解：两边求导，得：f(x)ex=ex—x2三、计算题（每小题7分，共35分）3%x3+xsinx,1.dx

3一、.'x3+xsinx1,解：Jdx=3dx一xdx+Jsinxdxxx?23=3lnx-x2-cosx+c3J(2x-1)10dx解：J(2x-1)iodx=-J(2x-1)10d(2x-1)=1-(2x-1)10+1+c2210+1=.£(2x-1)11+c221sin—J——^dxx21TOC\o"1-5"\h\zx1.解：Jdx=-Jsincos—+cx2xxxJxsin2xdx解：Jxsin2xdx=--Jxdcos2x=-—(xcos2x-Jcos2xdx)221125．Jxe-xdx=--25．Jxe-xdx解：Jxe-xdx=-Jxde-x=-(xe-x-Je-xdx)=-xe-x-e-x+c四、极值应用题（每小题12分，共24分）设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60-x厘米，以60-x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：V二兀x2(60-x)，即：V=60Kx2-nx3TOC\o"1-5"\h\zdVdV=120nx-3nx2,令=0,得：dxdxx=0（不合题意，舍去），x=40，这时60-x=20由于根据实际问题,有最大体积,故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时,才能使圆柱体的体积最大。欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为216米，从而所用建筑材料为：xTOC\o"1-5"\h\z216648L=2x+3•，即：L=2x+一xxdL648dL216-—=2一,令％-=0得：x=18（取正值），这时=12dxx2dxx由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省五、证明题（本题5分）函数f（x）=x—八在（—8,0）是单调增加的.证明：因为f（x）=1—八，当x£（—8,0）时，f（x）=1—ex>0所以函数f（x）=x—ex在（—8,0）是单调增加的.微积分初步形成性考核作业（四）解答定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）12J1(sinxcos2x-x2)dx=一-i3二2・J2（x5一4x+cosx）dx=2.正23.已知曲线y=f（x）在任意点x处切线的斜率为、X，且曲线过（4,5）,则该曲线的方程231—x2一一.若J1(5x3一3x+2)dx=4.-i_，1.由定积分的几何意乂知，J飞a2-x2dx=兀a2o4,-d-Jeln(x2+1)dx=0.dx1.J0e2xdx=—-s28.微分方程y'=y,y(0)=1的特解为y=ex9,微分方程y'+3y=0的通解为y=ce-3x10.微分方程（y"[3+4xy⑷=y7sinx的阶数为4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A）.A.y=x2+3B.y=x2+4y=x2+2y=x2+1AA).2•若J+5lnx(2x+k)dx+5lnx0A.1B.C.01D，23.下列定积分中积分值为0的是(A).1ex-e-xA.J——-——dx-12C.J，(x3+cosx)dx一兀B.D.J1一1ex+e-x-dxJ兀(x2+sinx)dx一兀4.设f（x）是连续的奇函数，则定积分Jaf（x）dx=（D）-a5．6．8.A.2J0f(x)dx-a严J2sinxdx=(A．0B5．6．8.A.2J0f(x)dx-a严J2sinxdx=(A．0B．B．）．J0f(x)dxC.-aJaf(x)dxD.00C．D．2下列无穷积分收敛的是（B）.A.C.7.A.C.J+sexdx0J+s1dx1xB.D.J+se-xdx0J+s11=xxx;x下列无穷积分收敛的是（B）.J+"sinxdx0J+」dx1xB.J+se-2xdx0D.J+s1上dx%x下列微分方程中，（D）是线性微分方程.yx12yx12+lny=y'9.微分方程y'9.微分方程y'=0的通解为（c）.D.y"sinx-y'ex=yInxA.A.y=CxB.y=x+CC.y=CD.y=010.下列微分方程中为可分离变量方程的是10.下列微分方程中为可分离变量方程的是(B)dydy=x+y；dxdyC.——=xy+sinx；dxdy=xy+y；dxdyD.-x(y+x)dx三、计算题（每小题7分，共56分）1.Jln2ex(1+ex)2dx1ln2.J2.Jedx解：Jln2ex(1+ex)2dx-Jb2(1+ex)2d(1+ex)——(1+ex)3-9—————oo3330

解：1Je(1+51nx)d(1+51nx)51JeI”1nx解：1Je(1+51nx)d(1+51nx)511x=1-1(1+51nx)2=二(6-1)=-521023．解：4．解：J1xexdx0J1xexdx=J1xdex=xex10003．解：4