相似矩阵及二次型习题课课件

相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件定义１向量内积的定义及运算规律定义１向量内积的定义及运算规律相似矩阵及二次型习题课课件定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度相似矩阵及二次型习题课课件定义３向量的夹角定义３向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理定义４正交向量组的性质所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零定理定义４正交向施密特正交化方法施密特正交化方法第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交．定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换的特性在于定义６方阵的特征值和特征向量定义６方阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型习题课课件７有关特征值的一些结论７有关特征值的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８有关特征向量的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性８有关特征定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９相似矩阵定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；９相１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似．(4)能对角化的充分必要条件是有个线(5)有个１１实对称矩阵的相似矩阵１１实对称矩阵的相似矩阵定义１２二次型定义１２二次型二次型与它的矩阵是一一对应的．二次型与它的矩阵是一一对应的．定义１３二次型的标准形定义１３二次型的标准形１４化二次型为标准形１４化二次型为标准形相似矩阵及二次型习题课课件定义１５正定二次型定义１５正定二次型１６惯性定理１６惯性定理注意注意１７正定二次型的判定１７正定二次型的判定相似矩阵及二次型习题课课件一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵证明证明相似矩阵及二次型习题课课件将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化．二、将线性无关向量组化为正交单位

向量组将线性无关向量组化为正交单位向量组，可二、将线性无关向量解一先正交化，再单位化解一先正交化，再单位化相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解二同时进行正交化与单位化解二同时进行正交化与单位化相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．三、特征值与特征向量的求法第一步计算的特征多项式；第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，三、特征值与特征解第一步计算的特征多项式解第一步计算的特征多项式第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解四、已知的特征值，求与相关

矩阵的特征值解四、已知的特征值，求与相关

矩阵的特相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解五、求方阵的特征多项式解五、求方阵的特征多项式相似矩阵及二次型习题课课件解六、关于特征值的其它问题解六、关于特征值的其它问题方法一方法一方法二方法二方法三方法三解解相似矩阵及二次型习题课课件七、判断方阵可否对角化解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值．下面求出的所有特征值．七、判断方阵可否对角化解(1)可对角化的充分条件是有相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解第一步求A的特征值．由八、利用正交变换将实对称矩阵化为

对角阵解第一步求A的特征值．由八、利用正交变换将实对称矩阵化为相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件九、化二次型为标准形解第一步将表成矩阵形式九、化二次型为标准形解第一步将表成矩阵形式相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解解相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件第五章测试题一、填空题(每小题4分，共32分)．第五章测试题一、填空题(每小题4分，共32分)．相似矩阵及二次型习题课课件二、计算题（共40分）．二、计算题（共40分）．相似矩阵及二次型习题课课件三、证明题（共20分）．三、证明题（共20分）．四、（8分）设二次型经正交变换化成四、（8分）设二次型经正交变换化成相似矩阵及二次型习题课课件测试题答案测试题答案相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件定义１向量内积的定义及运算规律定义１向量内积的定义及运算规律相似矩阵及二次型习题课课件定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度定义向量的长度具有下列性质：２向量的长度相似矩阵及二次型习题课课件定义３向量的夹角定义３向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理定义４正交向量组的性质所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零定理定义４正交向施密特正交化方法施密特正交化方法第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交．定义５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换的特性在于定义６方阵的特征值和特征向量定义６方阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型习题课课件７有关特征值的一些结论７有关特征值的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８有关特征向量的一些结论定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性８有关特征定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９相似矩阵定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；９相１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似．(4)能对角化的充分必要条件是有个线(5)有个１１实对称矩阵的相似矩阵１１实对称矩阵的相似矩阵定义１２二次型定义１２二次型二次型与它的矩阵是一一对应的．二次型与它的矩阵是一一对应的．定义１３二次型的标准形定义１３二次型的标准形１４化二次型为标准形１４化二次型为标准形相似矩阵及二次型习题课课件定义１５正定二次型定义１５正定二次型１６惯性定理１６惯性定理注意注意１７正定二次型的判定１７正定二次型的判定相似矩阵及二次型习题课课件一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵证明证明相似矩阵及二次型习题课课件将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化．二、将线性无关向量组化为正交单位

向量组将线性无关向量组化为正交单位向量组，可二、将线性无关向量解一先正交化，再单位化解一先正交化，再单位化相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解二同时进行正交化与单位化解二同时进行正交化与单位化相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．三、特征值与特征向量的求法第一步计算的特征多项式；第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，三、特征值与特征解第一步计算的特征多项式解第一步计算的特征多项式第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解四、已知的特征值，求与相关

矩阵的特征值解四、已知的特征值，求与相关

矩阵的特相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解五、求方阵的特征多项式解五、求方阵的特征多项式相似矩阵及二次型习题课课件解六、关于特征值的其它问题解六、关于特征值的其它问题方法一方法一方法二方法二方法三方法三解解相似矩阵及二次型习题课课件七、判断方阵可否对角化解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值．下面求出的所有特征值．七、判断方阵可否对角化解(1)可对角化的充分条件是有相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解第一步求A的特征值．由八、利用正交变换将实对称矩阵化为

对角阵解第一步求A的特征值．由八、利用正交变换将实对称矩阵化为相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件九、化二次型为标准形解第一步将表成矩阵形式九、化二次型为标准形解第一步将表成矩阵形式相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件相似矩阵及二次型习题课课件解解相