作用于刚体的力系等效简化课件

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工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章研究作用于刚体的力系的等效简化，揭示决定力系对刚体作用的本质性要素。迎面风力侧面风力空间任意力系桌子(空间平行力系)1工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章12

工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章研究作用于刚体的力系的等效简化，揭示决定力系对刚体作用的本质性要素。传动轴(空间任意力系)2工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章23基本力系汇交力系力偶系空间汇交力系平面汇交力系空间力偶系平面力偶系

汇交力系和力偶系是力系中最简单的力系。工程实际中物体的受力一般都比较复杂，我们可以通过某种方法将复杂力系简化为这两个基本力系。汇交力系是指力系中各力的作用线都汇交于一点的力系。力偶系一群力偶的集合。3基本力系汇交力系力偶系空间汇交力系平面汇交力系空间力偶系平34汇交力系是工程中常见的一种简单力系。例：起重机的吊钩受F1、F2

和F3

的作用，这三个力的作用线交于O点，构成一平面汇交力系。4汇交力系是工程中常见的一种简单力系。例：起重机的吊钩受F145例：如图所示重物，用三杆支撑处于平衡，三杆自重不计。则O点所受力P,FAO,FBO,FCO

构成一“空间汇交力系”，汇交点为O点。汇交力系是工程中常见的一种简单力系。5例：如图所示重物，用三杆支撑处于平衡，三杆自重不计。则O56——力矩力对物体可以产生转动效应--取决于力矩的大小、转向。移动效应--取决于力的大小、方向；

在生活和工程实际中，大量存在着力使物体绕某一固定点或某一轴转动的现象，因此，引入力矩的概念。6——力矩力对物体可以产生转动效应--取决于力矩的大小、转向67

平面内力对点之矩

当作用于刚体上的力作用线与矩心O在同一平面内时，力对该平面内任一点的矩是一代数量。r规定：使刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。1.大小；2.方向。两个要素：力矩等于力与力臂的乘积,是影响转动的独立因素。xy——力矩7平面内力对点之矩r规定：使刚体逆时针转动为正，顺时针转78

空间内力对点之矩:xzyOhFArd作用效应取决于：⒈力矩的大小；

⒊力的作用线与矩心所组成的平面的方位。⒉力矩的转向；

空间内力对点之矩是一个矢量，力矩矢量是影响转动的独立因素。F——力矩Mo(F)=r×F8空间内力对点之矩:xzyOhFArd作用效应取决于：⒈力89矢量叉积物理含义两个向量a

和b

的叉积写作a×b

（有时也被写成a∧b，避免和字母x

混淆）。叉积可以被定义为：

在这里θ

表示

a

和b

之间的角度（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n

是一个与a和b均垂直的单位矢量。

空间内力对点之矩——力矩aba×b9矢量叉积物理含义两个向量a和b的叉积写作a×910右手螺旋定则：在刚体转动平面内，以右手四指沿力方向，且掌心面向转轴而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。F

空间内力对点之矩——力矩10右手螺旋定则：在刚体转动平面内，以右手四指沿力方向，且掌1011力矩矢量MO（F）解析表示。

空间内力对点之矩——力矩11力矩矢量MO（F）解析表示。空间内力对点之矩——力矩1112

力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，因此，MO(F)是定位矢量。

单位矢量i,j,k前面的系数为力矩矢量MO(F)在三个坐标轴上的投影，即

空间内力对点之矩——力矩12力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关1213

力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量——力矩13力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量——力1314

力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量

力对轴之矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面交点O之矩。它是代数量，正负规定特殊情况：当力与轴在同一平面内时，力对该轴的矩等于0。——力矩14力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量14mz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd讨论:(a)当力的作用线与轴平行或相交，

即力与轴位于同一平面时

力对该轴的矩等于零；(b)当力沿其作用线移动时,

它对轴的矩不变；oPABFzdabFxymz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd讨论:(a)16力对点之矩与力对轴之矩的关系而ΔOA1B1恰为ΔOAB在平面I上的投影。xzyOBAFFxyFzFxyA1B1为转动平面与平面I的夹角。当γ为锐角时，Mz(F)为正；当γ为钝角时，Mz(F)为负——力矩16力对点之矩与力对轴之矩的关系而ΔOA1B1恰为ΔOAB在1617力对点之矩矢量在过该点之轴上的投影等于该力对该轴之矩。力矩关系定律力对点之矩的分析表达式又可写为：——力矩17力对点之矩矢量在过该点之轴上的投影等于该力对该轴之矩。力17OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo(Fxy)=mo(Fy)+mo(Fx)–yFx=xFyyxzMx(F)=yFz-zFyMy(F)=zFx-xFzMz(F)=xFy-yFx同理：力对轴之矩的解析表达式OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo19例1:

手柄ABCE在平面Axy内，AB=BC=l，CD=a，F在垂直于y轴的平面内，夹角如图，求力对x，y，z三轴之矩。——力矩19例1:手柄ABCE在平面Axy内，AB=BC=l，CD1920解：D点的坐标：xD=-l,yD=AB+CD=l+a,zD=0。——力矩还可以利用直接对轴取矩计算（验算）20解：D点的坐标：xD=-l,yD=AB+CD=l+2021例2:

空间力F沿棱边为a的正方体的对角线AB作用，如图，求MO(F)。——力矩21例2:空间力F沿棱边为a的正方体的对角线AB作用，如图2122解：——力矩22解：——力矩2223

作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为力偶，记作(F,F’)。

——力偶的概念和性质力偶作用效应：可使刚体转动。23作用在物体上的一对大小相等、方向相反且2324

作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为力偶，记作(F,F’)。

电机转子所受的磁拉力——力偶的概念和性质24作用在物体上的一对大小相等、方向相反且2425

力偶两个力所在的平面，称为力偶作用面

两力作用线之间的垂直距离，叫作力偶臂

力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。规定：使物体逆时针转动为正，顺时针转动为负!——力偶的概念和性质dF'FABC平面力偶矩的两个要素：1.大小；2.转向。

平面力偶矩M是一个代数量。25力偶两个力所在的平面，称为力偶作用面两力作用2526

虽然有，但它既不平衡，也不能合成为一个合力，只能使刚体产生纯转动效应。因此，力偶是一个基本的力学量！其作用效果用力偶矩来度量。——力偶的概念和性质26虽然有，但它既不平2627在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量M表示,矢量M的长度：表示力偶矩的大小；

M的方位：垂直于力偶的作用面；

指向：按右手螺旋规则，表示力偶的转向。

空间力偶——力偶的概念和性质27在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量M表示,2728空间力偶rBAMO力偶对空间任一点之矩的矢量和等于该力偶矩矢，而与矩心的选择无关。——力偶的概念和性质28空间力偶rBAMO力偶对空间任一点之矩的矢量和等于该力偶2829

推论1

保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂的大小，其对刚体的作用效果不变。力偶的性质——力偶的概念和性质29推论1保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂的大小，其2930力偶的性质性质1.

力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。——力偶的概念和性质

性质2.力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，与矩心的位置无关。

性质3.作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。30力偶的性质性质1.力偶不能用一个力来等效，也不能用一个3031

推论2

作用于刚体的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面内自由搬移。力偶的性质——力偶的概念和性质推论3在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任意改变力偶的力的大小和力臂偶的长短,而不改变它对刚体的转动效应。31推论2作用于刚体的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及3132力偶系：由两个或两个以上的力偶组成的特殊力系。

平面力偶系空间力偶系

若力偶系中各力偶均位于同一平面内则为平面力偶系，否则为空间力偶系。力偶系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡32力偶系：由两个或两个以上的力偶组成的特殊力系。平面力偶系32

设一空间力偶系由n个力偶组成,其力偶矩矢

分别为:m1,m2,…,mn(1)力偶系的合成A1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

设一空间力偶系由n个力偶组成,其力偶矩矢(1)力偶合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。空间力偶系的合成---合力偶mx

=mixmy

=miymz

=mizM=miA1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

平面力偶系的合成---合力偶代数和矢量和合矢量投影定理：空间力偶系的合成---合力偶mx

(2)力偶系的平衡

力偶系中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴

上的投影的代数和等于零。

mix=0

miy=0

miz=0平面力偶系的平衡:

平衡方程当作用在刚体上的主动荷载全是力偶时，

约束反力一定形成力偶。空间力偶系的平衡-----平衡的必要、充分条件是:mi=0(2)力偶系的平衡力偶系中所有各力偶矩矢在三个36

工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱的距离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。例四——基本力系的合成与平衡36工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为3637解：取工件为研究对象。FAFB由于力偶只能与力偶平衡，FA和FB必组成力偶。

对于力偶系平衡问题，在分析约束反力方向时，不仅要根据约束特性，而且要正确利用力偶只能与力偶相平衡的概念去确定铰链、固定端等约束反力的方向。——基本力系的合成与平衡37解：取工件为研究对象。FAFB由于力偶只能与力偶平衡，F3738

图示杆CD有一导槽，该导槽套于杆AB的销钉E上。今在杆AB、CD上分别作用一力偶如图，已知其中力偶矩M1的大小为1000N·m，不计杆重。试求力偶矩M2的大小。（选作）例五——基本力系的合成与平衡38图示杆CD有一导槽，该导槽套于杆AB的销钉E上。今3839解：以AB杆为研究对象，受力图由于力偶只能与力偶平衡，FE和FA组成力偶。FEFA以CD杆为研究对象，受力图其中，FE´=FE。FE´FCFE´和FC组成力偶——基本力系的合成与平衡39解：以AB杆为研究对象，受力图由于力偶只能与力偶平衡，F3940图示结构，已知a、m，杆重不计。求：铰A、C的反力。（选作）例六——基本力系的合成与平衡40图示结构，已知a、m，杆重不计。求：铰A、C的反力。（选4041工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小。解：把每个力偶用力偶矩矢量表示，并平行移到点O：45°所以合力偶矩矢的大小xyzO例七——基本力系的合成与平衡41工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每个孔所受的切削4142图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶的矩M1=20N·m；力偶的矩M2=20N·m；力偶的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。（选作）例八——基本力系的合成与平衡42图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着4243解：把每个力偶用力偶矩矢量表示出来，并平行搬移到O点，如图所示。得到合力偶矩矢M

的大小和方向

——基本力系的合成与平衡43解：把每个力偶用力偶矩矢量表示出来，并平行搬移到O点，如4344——基本力系的合成与平衡汇交力系的合成与平衡（前面已有详细分析）

汇交力系合力的作用线通过汇交点（作用线）；其大小和方向可用力系中各力矢所构成的力多边形的封闭边矢量来表示（大小和方向）。F1F2F3FnFRF12F123FR几何法

在作力多边形时，若任意变换各分力的先后顺序，可得到形状不同的力多边形，但是这并不影响最后所得合力的大小和方向。44——基本力系的合成与平衡汇交力系的合成与平衡（前面已4445汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式由合力投影定理得到汇交力系合力的大小和方向余弦

汇交力系的合成与平衡解析法——基本力系的合成与平衡45汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式由4546汇交力系的合成与平衡从汇交力系合成结果显然可得到，汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即FR=0。力多边形自行封闭（或：各力矢量首尾相接，自行封闭）。用几何法的语言描述就是：用解析法的语言描述就是：力系中所有各力在直角坐标系各个轴上投影的代数和都等于零。即下面举例说明应用。——基本力系的合成与平衡46汇交力系的合成与平衡从汇交力系合成结果显然可得到，汇交力4647例一重1kN的物体，用两根钢索AB、BC悬挂如图所示。不计钢索的重量，求钢索的拉力。汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡47例一重1kN的物体，用两根钢索AB、BC悬挂如图所示。不4748解：1.取重物为研究对象2.受力分析：已知重力W，钢索对重物的拉力FAB和FBC。其受力图如图所示。汇交力系的合成与平衡WFBCFAB——基本力系的合成与平衡48解：1.取重物为研究对象2.受力分析：已知重力W，钢索对4849（1）几何法

根据受力图作封闭的力三角形，如图所示。作图时，应从已知力W作起，并根据各分力矢量首尾相接的矢序规则。根据正弦定理，有很容易解得FAB和FBC。汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡49（1）几何法根据受力图作封闭的力三角形，4950（2）解析法取如图所示的直角坐标系。以x、y轴为投影轴列出平衡方程：联立方程求解的FAB和FBC。汇交力系的合成与平衡注意：平衡方程的规范形式。——基本力系的合成与平衡50（2）解析法取如图所示的直角坐标系。以x、y轴为投影轴列5051

在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投影轴x、y的方位不一定是水平与铅垂的，可以根据其中一根轴与未知力相垂直的原则选取，如图所示。相应的平衡方程为：从方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出FBC。汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡51在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投51例题二

三铰支架由三杆AB，AC和AD用球铰连接而成，分别用球铰支座B、C和D固定在地面上，如图所示。在铰A上悬挂一重物E，重量为G=500N。已知a=2m,b=3m,c=1.5m,h=2.5m,

各杆自重均不计，求各杆所受的力。GABCDabhxyzccαβγαE例题二三铰支架由三杆AB，AC和AD用球铰连接而成，52GABCDabhxyzccαβγαEFAD解：选取铰A连同重物为研究对象，受力分析：FACFAB空间汇交力系Fx=0Fy=0Fz=0GABCDabhxyzccαβγαEFAD解：选取铰A连同53GABCDabhxyzccαβγαEFADFAD-FADcosα-FADsinαcosβ-FADsinαsinβFAC

FACcosα-FACsinαcosβ-FACsinαsinβFAB

0-FABcosγ-FABsinγ

G00-GxzyFACFABMNGABCDabhxyzccαβγαEFADFAD-FAD54FAD-FAD

cosα-FADsinαcosβ-FAD

sinαsinβFAC

FAC

cosα-FACsinαcosβ-FAC

sinαsinβFAB

0-FABcosγ-FABsinγ

G00-GxzyFx=0-FAD

cosα+FAC

cosα=0Fy=0-FAD

sinαcosβ-FACsinαcosβ-FABcosγ=0Fz=0-FADsinαsinβ-FAC

sinαsinβ-FABsinγ-G=0FAD=868.5N

FAC=868.5NFAB=-1953NFAD-FADcosα-FADsinαcosβ-F5556注意几点:几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角形）。各力矢量一定要首尾相接。解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负号不要搞错。解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可投机取巧。受力图要完整画出，平衡方程要规范。

汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡56注意几点:几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角5657平移定理：——

力的平移定理须在该力与指定点B所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩

等于原力F对指定点B之矩。到刚体内任一指定点B若不改变该力对于刚体的作用，则必作用在刚体上A点的力F可以平行移动57平移定理：——力的平移定理须在该力与指定点B所决定的5758①力的平移定理的逆定理同时存在,即力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶

②力的平移定理是力系简化的理论基础。——

力的平移定理58①力的平移定理的逆定理同时存在,即力的平移定理揭示了力与5859平面力系向一点的简化与合成

——空间任意力系向一点的简化与合成思路：

应用力的平移定理，将平面力系分解成两个力系，即平面汇交力系和平面力偶系，然后，再将两个力系分别合成。设有一平面力系Fl

、F2

、…、Fn

。在平面内任选一点O，称为简化中心。A1A2AnF1F2Fn59平面力系向一点的简化与合成——空间任意力系向一点的594-3.平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn

设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,

A2,…

An

如图所示.o在平面上任选一点o为简化中心.4-3.平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点简化的实质60根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1',F2',…Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1=F1,

F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于61将这两个力系分别进行合成.

一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=

F1+F2+…+

Fn

R'

=Fi

一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)Mo

=

mo(Fi)将这两个力系分别进行合成.一般情况下平面汇交力系F16263

平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。

平面力系向一点的简化与合成

一般情况下，主矩和简化中心的选择有关。由于主矢只是力系中各力的矢量和，与简化中心的选择没有关系。——空间任意力系向一点的简化与合成简化结果：63平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个63(2)简化结果的讨论.(a)

R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心O的合力

R',且R'

=

Fi(b)

R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且Mo

=mo(Fi)(c)

R'0,Mo

0力系可以简化为一个合力R,其

大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中

心点O的距离为:(2)简化结果的讨论.(a)R'0,Mo=64(3)合力矩定理

mO(R)=ROA=R'd=MOMO=mO(Fi)mO(R)=mO(Fi)dAOR'RR''dAOR'OR

当平面任意力系简化为一个合力时,合力对力系所在平面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点的矩的代数和.(3)合力矩定理mO(R)=ROA=R65(d)R'=0,Mo

=0原力系为平衡力系.其简化结果与简化中心的位置无关.主矢FR′主矩MO合成结果00平衡0非0力偶非00合力非0非0合力(d)R'=0,Mo=0原力系为平衡力系.66固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动的约束.AYAABCF1F2F3例题.正三角形ABC的边长为a,受力如图.且

F1=F2=F3=F

求此力系的主矢;对A点的主矩及此力系合力作用线的位置.固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动的约束67解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60o-F3cos60o=-2FRy=F2sin60o-F3sin60o=0R=2F求对A点的主矩MA=aF2sin60o=0.87aFMAABC2Fd求合力作用线的位置解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos6068**平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo

设在某一物体上作用有一个平面平行力系F1,F2,…Fn

取坐标原点O为简化中心将力系简化可得主矢R'和主矩MO,其中R'

=Fi=YiMO=mo(Fi)=F

x**平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo69简化结果的讨论xyRAxo(1)R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心

O的合力R',且R'

=Fi=Yi(2)R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且MO=mo(Fi)=F

x(3)R'0,Mo

0力系可以简化为一个合力R

R

=R'

=Fi=Yi简化结果的讨论xyRAxo(1)R'0,Mo7071

例2:

如图,求悬臂梁上均布载荷的合力。yxdxx在坐标

x处取长为dx

的微段，其集度为：（1）确定合力的大小解：在此微段上的荷载为：合力Q的大小为：（2）确定合力的作用点QxCC——空间任意力系向一点的简化与合成71例2:如图,求悬臂梁上均布载荷的合力。yxdxx在7172

例:

如图,求简支梁上线性分布载荷的合力。在坐标

x处取长为dx

的微段，其集度为：在此微段上的荷载为：（1）确定合力的大小解：因此，合力Q的大小为：——空间任意力系向一点的简化与合成72例:如图,求简支梁上线性分布载荷的合力。在坐标x7273（2）确定合力的作用点

例1:

如图,求简支梁上线性分布载荷的合力。——空间任意力系向一点的简化与合成73（2）确定合力的作用点例1:如图,求简支梁上线性7374结论：1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线载荷的方向相同。3、合力的作用线通过载荷图的形心。qQxyxxCdx——空间任意力系向一点的简化与合成74结论：qQxyxxCdx——空间任意力系向一点的简化与7475

例：在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN，试求该力系对O点的简化结果，以及该力系的最简合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°——空间任意力系向一点的简化与合成75例：在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个7576解：1.求主矢。建立如图坐标系Oxy。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°主矢的大小主矢的方向——空间任意力系向一点的简化与合成76解：1.求主矢。建立如图坐标系Oxy。F1F2F3F4O7677由于主矢和主矩都不为零，故最简合成结果是一个合力FR。如图所示。且合力FR到O点的距离2.求主矩§2.作用于刚体的力系等效简化空间任意力系向一点的简化与合成

平面力系向一点的简化与合成FRd77由于主矢和主矩都不为零，故最简合成结果是一个合力FR。如77

空间力系的简化与合成合力合力偶矩

设有一平面力系Fl

、F2

、…、Fn

。在空间内任选一点O，称为简化中心。利用力的平移定理，得到一个空间汇交力系和空间力偶系。——空间任意力系向一点的简化与合成§2.作用于刚体的力系等效简化空间力系的简化与合成合力合力偶矩设有一平面力78791.

主矢：指原空间一般力系各力的矢量和。

主矢的解析求法注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。大小:方向:

空间力系的简化与合成——空间任意力系向一点的简化与合成791.主矢：指原空间一般力系各力的矢量和7980⒉

主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和。

大小：因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。注意：主矩的解析求法方向：

空间力系的简化与合成——空间任意力系向一点的简化与合成80⒉主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和。8081

空间一般力系向任一点O简化，一般可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于该力系的主矢，该力偶矩矢量等于该力系对于简化中心的主矩。空间力系的简化与合成结论：——空间任意力系向一点的简化与合成81空间一般力系向任一点O简化，一般可以得到一个8182—有效推力飞机向前飞行—有效升力飞机上升—侧向力飞机侧移—滚转力矩飞机绕x轴滚转—偏航力矩飞机转弯—俯仰力矩飞机仰头——空间任意力系向一点的简化与合成82—有效推力飞机向前飞行—有效升力飞机上升—侧向力飞机侧移8283

1.空间力系平衡的情形

若主矢FR'=0，主矩MO=0，这时，该空间力系平衡。

空间力系向一点简化，可能出现下列四种情况，即

(1)FR'=0，MO=0；(2)FR'=0，MO≠0；

(3)FR'≠0，MO=0；(4)FR'≠0，MO≠0。2.空间力系简化为一合力偶的情形

若主矢FR'=0，主矩MO≠0，这时得一力偶。此时，主矩与简化中心O的位置无关。——空间任意力系向一点的简化与合成简化结果的讨论83

1.空间力系平衡的情形

若主矢FR'=083843.空间力系简化为一合力的情形

（3.1）若主矢FR'≠0,而主矩MO=0，这时得一力。显然，这力与原力系等效，即空间力系合成为一合力，合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。——空间任意力系向一点的简化与合成简化结果的讨论843.空间力系简化为一合力的情形

（3.1）若主矢8485

（3.2）若主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且FR'⊥MO，如图a所示。这时，力FR'和力偶（FR",FR）在同一平面内，如图b所示。故可将力FR'和力偶（FR",FR）进一步合成，得作用于O'的一个力FR

，如图c所示。O’——空间任意力系向一点的简化与合成3.空间力系简化为一合力的情形85（3.2）若主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且F8586若主矢FR'≠0,主矩MO≠0，但FR'∥MO，如图所示。右螺旋左螺旋这种结果称为力螺旋。

所谓力螺旋，就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。

——空间任意力系向一点的简化与合成

4.空间力系简化为力螺旋的情形86若主矢FR'≠0,主矩MO≠0，但FR'∥MO，如8687

力螺旋是由静力学的两个基本要素（力和力偶）组成的最简单的力系，不能进一步合成。力螺旋的力作用线称为该力系的中心轴。拧螺丝时施加的力螺旋——空间任意力系向一点的简化与合成受到的空气阻力构成力螺旋87力螺旋是由静力学的两个基本要素（力和力偶）组成的8788

当FR‘≠0，Ｍ0≠0

且FR’与Ｍ0

成任意夹角（既不平行，又不垂直），此种情况仍然合成为力螺旋。但是力螺旋的中心轴位置改变！即：力螺旋中心轴过O'点。

一般情形下空间力系可简化为力螺旋！——空间任意力系向一点的简化与合成

4.空间力系简化为力螺旋的情形88当FR‘≠0，Ｍ0≠0且FR’与Ｍ0成任意夹8889空间力系合成的可能结果为：合成为一个力偶

合成为一个力

合成为一个力螺旋平衡

——空间任意力系向一点的简化与合成89空间力系合成的可能结果为：合成为一个力偶合成为一8990

例5：一空间力系如图所示，已知F1=F2=100N，M=20N·m，b=300mm，l=h=400mm。求力系的主矢和主矩，并说明该力系的最简合成结果是什么。解：把该空间力系向O点简化，得到附加力偶矩得到主矢得到主矩——空间任意力系向一点的简化与合成90例5：一空间力系如图所示，已知F1=F2=100N，M9091——空间任意力系向一点的简化与合成力螺旋91——空间任意力系向一点的简化与合成力螺旋9192

例6：在边长为a的立方体的A、B顶点上作用有大小均为F的力F1和F2,试讨论此力系的最后合成结果。ABa——空间任意力系向一点的简化与合成92例6：在边长为a的立方体的A、B顶点上作用有大小9293

空间平行力系的中心

空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C就是该力系的中心。定义：平行力系的中心坐标公式1）矢量形式由合力矩定理：——空间任意力系向一点的简化与合成93空间平行力系的中心空间平行力系，当它93942）直角坐标形式（投影式）

空间平行力系的中心

——空间任意力系向一点的简化与合成942）直角坐标形式（投影式）空间平行力系的中心——空9495重心

物体各部分所受重力的合力就是物体的重力。由各部分所受重力组成的空间平行力系的中心，称为此物体的重心。

不论物体如何放置，重心相对于物体其相对位置不会改变。这也是平行力系固有的特性。确定重心的物理意义：重心的高低与支撑面的大小直接和物体稳定性密切相关——空间任意力系向一点的简化与合成95重心物体各部分所受重力的合力就是物体的重力。由各9596设物体由若干部分组成，其第i部分重为Pi，重心为则该物体的重心为：

投影式：重心——空间任意力系向一点的简化与合成96设物体由若干部分组成，其第i部分重为Pi，重心为则该物体9697若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得质心坐标公式

式中 ，上式称为积分形式重心坐标公式。对于均质物体，=恒量，其重心即是其几何中心——形心。重心——空间任意力系向一点的简化与合成97若以△Pi=△mig,P=Mg代入上式可得9798对称法：具有对称点﹑对称轴﹑对称面的均质物体，其重心就在其对称点﹑对称轴﹑对称面上。分割组合法

例：已知均质等厚Z形截面，尺寸如图。求：该截面的重心位置。重心的求法——空间任意力系向一点的简化与合成98对称法：具有对称点﹑对称轴﹑对称面的均质物体，其重心就在9899解：将该截面分割为三部分，取Oxy直角坐标系，如图。重心的求法——空间任意力系向一点的简化与合成99解：将该截面分割为三部分，重心的求法——空间任意力系向一99(2)计算物体形心的方法:负面积法例题7-8求图示平面图形的形心。5m5m15m15m20m(2)计算物体形心的方法:负面积法例题7-8解:分割法

取坐标如图且把平面图形分为A和B两部分.C1(2.5,7.5)C2(12.5,2.5)x5m5m15m15m20myoC1AC2B解:分割法取坐标如图且把平C1(2.5,7.5)C2(2)负面积法取坐标如图。使平面图形组合成矩形A。5m5m15m20mxyo以及负面积的矩形BC1(10,7.5)C2(12.5,10)C2AC1B(2)负面积法取坐标如图。使平面5m5m15m20mxyo103积分法

例8：求半径为R，顶角为2的均质圆弧的重心。解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴上，即yC=0。取微段重心的求法——空间任意力系向一点的简化与合成103积分法例8：求半径为R，顶角为2的均质圆弧的重心103104求：图示偏心块重心的位置。

例：已知解：应用分割组合法，将偏心块看成是由三部分组成（A3为负面积），则（由于对称性）其中：积分法重心的求法——空间任意力系向一点的简化与合成104求：图示偏心块重心的位置。例：已知解：应用分割组合法104105实验法悬挂法称重法由适用于非均质、形状不规则等一般物体重心的求法——空间任意力系向一点的简化与合成105实验法悬挂法称重法由适用于非均质、形状不规则等一般物体105106以上确定重心的方法根据实际情况具体选用，对于常见几何形体（三角形、扇形等）重心位置可以直接查表，无需计算。重心的求法——空间任意力系向一点的简化与合成106以上确定重心的方法根据实际情况具体选用，对于常见几何形106107

（1）空间力系的简化问题，是力系中最复杂的情况。研究方法与平面力系的研究方法相同，也采用将力系向一点简化的方法。可在掌握平面力系的简化的基础上，结合空间力系的特点去加以领会。在学习时，既要注意空间力系与平面力系之间的相似之处，又必须注意它们之间的差别，达到前后联系、融会贯通的效果。学习方法及注意问题

（2）平面力系力系向一点简化后，合成结果便只有合力、合力偶或平衡三种可能。而在空间力系中，除合力、合力偶或平衡之外，还可能成为力螺旋。——空间任意力系向一点的简化与合成107（1）空间力系的简化问题，是力系中最复杂的情况107108——固定端约束

固定端（插入端）约束的构造

该约束限制了被约束物体任何方向的移动和转动。108——固定端约束固定端（插入端）约束的构造该约束限制108109

固定端（插入端）约束的约束力

约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力。在平面问题中，它是一个平面任意力系；在空间问题中，它是一个空间任意力系。该约束限制了被约束物体任何方向的移动和转动

无论它们是如何分布，根据力系简化理论，可将它们向一点简化得一力F及一力偶M。——固定端约束109固定端（插入端）约束的约束力约束给约束物体的约109110在空间问题中的表示：

固定端（插入端）约束的约束力6个未知量——固定端约束110在空间问题中的表示：固定端（插入端）约束的约束力6个110111本章小结1．力矩是度量力对物体转动效应的物理量。力对轴之矩是代数量；力对点之矩是定位矢量。力对点之矩在通过该点某轴上的投影等于力对该轴之矩。2．基本力系的合成与平衡3．力的平移定理，力系的简化与合成，主矢与主矩

111本章小结1．力矩是度量力对物体转动效应的物理量。力对轴111112作业题

2-62-72-82-132-152-16§2.作用于刚体的力系等效简化112作业题§2.作用于刚体的力系等效简化112113

工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章研究作用于刚体的力系的等效简化，揭示决定力系对刚体作用的本质性要素。迎面风力侧面风力空间任意力系桌子(空间平行力系)1工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章113114

工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章研究作用于刚体的力系的等效简化，揭示决定力系对刚体作用的本质性要素。传动轴(空间任意力系)2工程实际问题中，研究对象的受力相当复杂。本章114115基本力系汇交力系力偶系空间汇交力系平面汇交力系空间力偶系平面力偶系

汇交力系和力偶系是力系中最简单的力系。工程实际中物体的受力一般都比较复杂，我们可以通过某种方法将复杂力系简化为这两个基本力系。汇交力系是指力系中各力的作用线都汇交于一点的力系。力偶系一群力偶的集合。3基本力系汇交力系力偶系空间汇交力系平面汇交力系空间力偶系平115116汇交力系是工程中常见的一种简单力系。例：起重机的吊钩受F1、F2

和F3

的作用，这三个力的作用线交于O点，构成一平面汇交力系。4汇交力系是工程中常见的一种简单力系。例：起重机的吊钩受F1116117例：如图所示重物，用三杆支撑处于平衡，三杆自重不计。则O点所受力P,FAO,FBO,FCO

构成一“空间汇交力系”，汇交点为O点。汇交力系是工程中常见的一种简单力系。5例：如图所示重物，用三杆支撑处于平衡，三杆自重不计。则O117118——力矩力对物体可以产生转动效应--取决于力矩的大小、转向。移动效应--取决于力的大小、方向；

在生活和工程实际中，大量存在着力使物体绕某一固定点或某一轴转动的现象，因此，引入力矩的概念。6——力矩力对物体可以产生转动效应--取决于力矩的大小、转向118119

平面内力对点之矩

当作用于刚体上的力作用线与矩心O在同一平面内时，力对该平面内任一点的矩是一代数量。r规定：使刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。1.大小；2.方向。两个要素：力矩等于力与力臂的乘积,是影响转动的独立因素。xy——力矩7平面内力对点之矩r规定：使刚体逆时针转动为正，顺时针转119120

空间内力对点之矩:xzyOhFArd作用效应取决于：⒈力矩的大小；

⒊力的作用线与矩心所组成的平面的方位。⒉力矩的转向；

空间内力对点之矩是一个矢量，力矩矢量是影响转动的独立因素。F——力矩Mo(F)=r×F8空间内力对点之矩:xzyOhFArd作用效应取决于：⒈力120121矢量叉积物理含义两个向量a

和b

的叉积写作a×b

（有时也被写成a∧b，避免和字母x

混淆）。叉积可以被定义为：

在这里θ

表示

a

和b

之间的角度（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n

是一个与a和b均垂直的单位矢量。

空间内力对点之矩——力矩aba×b9矢量叉积物理含义两个向量a和b的叉积写作a×121122右手螺旋定则：在刚体转动平面内，以右手四指沿力方向，且掌心面向转轴而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。F

空间内力对点之矩——力矩10右手螺旋定则：在刚体转动平面内，以右手四指沿力方向，且掌122123力矩矢量MO（F）解析表示。

空间内力对点之矩——力矩11力矩矢量MO（F）解析表示。空间内力对点之矩——力矩123124

力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，因此，MO(F)是定位矢量。

单位矢量i,j,k前面的系数为力矩矢量MO(F)在三个坐标轴上的投影，即

空间内力对点之矩——力矩12力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关124125

力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量——力矩13力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量——力125126

力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量

力对轴之矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影对轴与平面交点O之矩。它是代数量，正负规定特殊情况：当力与轴在同一平面内时，力对该轴的矩等于0。——力矩14力对轴之矩：力使物体绕某一轴产生转动效应的物理量126mz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd讨论:(a)当力的作用线与轴平行或相交，

即力与轴位于同一平面时

力对该轴的矩等于零；(b)当力沿其作用线移动时,

它对轴的矩不变；oPABFzdabFxymz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd讨论:(a)128力对点之矩与力对轴之矩的关系而ΔOA1B1恰为ΔOAB在平面I上的投影。xzyOBAFFxyFzFxyA1B1为转动平面与平面I的夹角。当γ为锐角时，Mz(F)为正；当γ为钝角时，Mz(F)为负——力矩16力对点之矩与力对轴之矩的关系而ΔOA1B1恰为ΔOAB在128129力对点之矩矢量在过该点之轴上的投影等于该力对该轴之矩。力矩关系定律力对点之矩的分析表达式又可写为：——力矩17力对点之矩矢量在过该点之轴上的投影等于该力对该轴之矩。力129OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo(Fxy)=mo(Fy)+mo(Fx)–yFx=xFyyxzMx(F)=yFz-zFyMy(F)=zFx-xFzMz(F)=xFy-yFx同理：力对轴之矩的解析表达式OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo131例1:

手柄ABCE在平面Axy内，AB=BC=l，CD=a，F在垂直于y轴的平面内，夹角如图，求力对x，y，z三轴之矩。——力矩19例1:手柄ABCE在平面Axy内，AB=BC=l，CD131132解：D点的坐标：xD=-l,yD=AB+CD=l+a,zD=0。——力矩还可以利用直接对轴取矩计算（验算）20解：D点的坐标：xD=-l,yD=AB+CD=l+132133例2:

空间力F沿棱边为a的正方体的对角线AB作用，如图，求MO(F)。——力矩21例2:空间力F沿棱边为a的正方体的对角线AB作用，如图133134解：——力矩22解：——力矩134135

作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为力偶，记作(F,F’)。

——力偶的概念和性质力偶作用效应：可使刚体转动。23作用在物体上的一对大小相等、方向相反且135136

作用在物体上的一对大小相等、方向相反且作用线相互平行的两个力称为力偶，记作(F,F’)。

电机转子所受的磁拉力——力偶的概念和性质24作用在物体上的一对大小相等、方向相反且136137

力偶两个力所在的平面，称为力偶作用面

两力作用线之间的垂直距离，叫作力偶臂

力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。规定：使物体逆时针转动为正，顺时针转动为负!——力偶的概念和性质dF'FABC平面力偶矩的两个要素：1.大小；2.转向。

平面力偶矩M是一个代数量。25力偶两个力所在的平面，称为力偶作用面两力作用137138

虽然有，但它既不平衡，也不能合成为一个合力，只能使刚体产生纯转动效应。因此，力偶是一个基本的力学量！其作用效果用力偶矩来度量。——力偶的概念和性质26虽然有，但它既不平138139在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量M表示,矢量M的长度：表示力偶矩的大小；

M的方位：垂直于力偶的作用面；

指向：按右手螺旋规则，表示力偶的转向。

空间力偶——力偶的概念和性质27在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量M表示,139140空间力偶rBAMO力偶对空间任一点之矩的矢量和等于该力偶矩矢，而与矩心的选择无关。——力偶的概念和性质28空间力偶rBAMO力偶对空间任一点之矩的矢量和等于该力偶140141

推论1

保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂的大小，其对刚体的作用效果不变。力偶的性质——力偶的概念和性质29推论1保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂的大小，其141142力偶的性质性质1.

力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。——力偶的概念和性质

性质2.力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，与矩心的位置无关。

性质3.作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。30力偶的性质性质1.力偶不能用一个力来等效，也不能用一个142143

推论2

作用于刚体的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面内自由搬移。力偶的性质——力偶的概念和性质推论3在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任意改变力偶的力的大小和力臂偶的长短,而不改变它对刚体的转动效应。31推论2作用于刚体的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及143144力偶系：由两个或两个以上的力偶组成的特殊力系。

平面力偶系空间力偶系

若力偶系中各力偶均位于同一平面内则为平面力偶系，否则为空间力偶系。力偶系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡32力偶系：由两个或两个以上的力偶组成的特殊力系。平面力偶系144

设一空间力偶系由n个力偶组成,其力偶矩矢

分别为:m1,m2,…,mn(1)力偶系的合成A1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

设一空间力偶系由n个力偶组成,其力偶矩矢(1)力偶合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。空间力偶系的合成---合力偶mx

=mixmy

=miymz

=mizM=miA1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

平面力偶系的合成---合力偶代数和矢量和合矢量投影定理：空间力偶系的合成---合力偶mx

(2)力偶系的平衡

力偶系中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴

上的投影的代数和等于零。

mix=0

miy=0

miz=0平面力偶系的平衡:

平衡方程当作用在刚体上的主动荷载全是力偶时，

约束反力一定形成力偶。空间力偶系的平衡-----平衡的必要、充分条件是:mi=0(2)力偶系的平衡力偶系中所有各力偶矩矢在三个148

工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱的距离l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。例四——基本力系的合成与平衡36工件上作用有三个力偶如图所示。已知：其力偶矩分别为148149解：取工件为研究对象。FAFB由于力偶只能与力偶平衡，FA和FB必组成力偶。

对于力偶系平衡问题，在分析约束反力方向时，不仅要根据约束特性，而且要正确利用力偶只能与力偶相平衡的概念去确定铰链、固定端等约束反力的方向。——基本力系的合成与平衡37解：取工件为研究对象。FAFB由于力偶只能与力偶平衡，F149150

图示杆CD有一导槽，该导槽套于杆AB的销钉E上。今在杆AB、CD上分别作用一力偶如图，已知其中力偶矩M1的大小为1000N·m，不计杆重。试求力偶矩M2的大小。（选作）例五——基本力系的合成与平衡38图示杆CD有一导槽，该导槽套于杆AB的销钉E上。今150151解：以AB杆为研究对象，受力图由于力偶只能与力偶平衡，FE和FA组成力偶。FEFA以CD杆为研究对象，受力图其中，FE´=FE。FE´FCFE´和FC组成力偶——基本力系的合成与平衡39解：以AB杆为研究对象，受力图由于力偶只能与力偶平衡，F151152图示结构，已知a、m，杆重不计。求：铰A、C的反力。（选作）例六——基本力系的合成与平衡40图示结构，已知a、m，杆重不计。求：铰A、C的反力。（选152153工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小。解：把每个力偶用力偶矩矢量表示，并平行移到点O：45°所以合力偶矩矢的大小xyzO例七——基本力系的合成与平衡41工件如图所示，它的四个面上同时钻四个孔，每个孔所受的切削153154图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶的矩M1=20N·m；力偶的矩M2=20N·m；力偶的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。（选作）例八——基本力系的合成与平衡42图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着154155解：把每个力偶用力偶矩矢量表示出来，并平行搬移到O点，如图所示。得到合力偶矩矢M

的大小和方向

——基本力系的合成与平衡43解：把每个力偶用力偶矩矢量表示出来，并平行搬移到O点，如155156——基本力系的合成与平衡汇交力系的合成与平衡（前面已有详细分析）

汇交力系合力的作用线通过汇交点（作用线）；其大小和方向可用力系中各力矢所构成的力多边形的封闭边矢量来表示（大小和方向）。F1F2F3FnFRF12F123FR几何法

在作力多边形时，若任意变换各分力的先后顺序，可得到形状不同的力多边形，但是这并不影响最后所得合力的大小和方向。44——基本力系的合成与平衡汇交力系的合成与平衡（前面已156157汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式由合力投影定理得到汇交力系合力的大小和方向余弦

汇交力系的合成与平衡解析法——基本力系的合成与平衡45汇交力系各力Fi和合力FR在直角坐标系中的解析表达式由157158汇交力系的合成与平衡从汇交力系合成结果显然可得到，汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即FR=0。力多边形自行封闭（或：各力矢量首尾相接，自行封闭）。用几何法的语言描述就是：用解析法的语言描述就是：力系中所有各力在直角坐标系各个轴上投影的代数和都等于零。即下面举例说明应用。——基本力系的合成与平衡46汇交力系的合成与平衡从汇交力系合成结果显然可得到，汇交力158159例一重1kN的物体，用两根钢索AB、BC悬挂如图所示。不计钢索的重量，求钢索的拉力。汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡47例一重1kN的物体，用两根钢索AB、BC悬挂如图所示。不159160解：1.取重物为研究对象2.受力分析：已知重力W，钢索对重物的拉力FAB和FBC。其受力图如图所示。汇交力系的合成与平衡WFBCFAB——基本力系的合成与平衡48解：1.取重物为研究对象2.受力分析：已知重力W，钢索对160161（1）几何法

根据受力图作封闭的力三角形，如图所示。作图时，应从已知力W作起，并根据各分力矢量首尾相接的矢序规则。根据正弦定理，有很容易解得FAB和FBC。汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡49（1）几何法根据受力图作封闭的力三角形，161162（2）解析法取如图所示的直角坐标系。以x、y轴为投影轴列出平衡方程：联立方程求解的FAB和FBC。汇交力系的合成与平衡注意：平衡方程的规范形式。——基本力系的合成与平衡50（2）解析法取如图所示的直角坐标系。以x、y轴为投影轴列162163

在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投影轴x、y的方位不一定是水平与铅垂的，可以根据其中一根轴与未知力相垂直的原则选取，如图所示。相应的平衡方程为：从方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出FBC。汇交力系的合成与平衡——基本力系的合成与平衡51在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投163例题二

三铰支架由三杆AB，AC和AD用球铰连接而成，分别用球铰支座B、C和D固定在地面上，如图所示。在铰A上悬挂一重物E，重量为G=500N。已知a=2m,b=