湖南省邵阳市新邵县2021-2022学年高一下学期期末数学试题（解析版）

2022年上期高一期末质量检测数学试题卷考生注意：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，本试卷共22题，满分150分，考试时量120分钟．2．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．3．选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区无效．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法将其化为复数的代数形式，求出其对应的点的坐标，即可得复数对应的点所在的象限.【详解】，其对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C2.数据的平均值为4，的平均值为5，则这八个数的平均值为（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两组数据的平均值计算和，再计算平均值即可.【详解】数据的平均值为4，故，数据的平均值为5，故，所以这八个数的平均值为.故选：D.3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理计算．详解】由已知．故选：B．4.在中，若点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知，得.故选：A5.某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】题意说明第一次不能打开门，第二次打开门，由此可计算概率．【详解】由题意此人第一次不能打开门，第二次打开门，因此概率为．故选：B．6.袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球C.至少有一个白球；红､黑球各一个 D.恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次判断即得解【详解】袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红､黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立.故选：C7.某兴起小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，塔底C处测得A处的俯角为45°．已知山岭高CD为256米，则塔高BC为（）

A.米 B.米 C. D.米【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形中的关系求解即可【详解】由题可得，故米，米，故塔高BC为米故选：B8.如图①所示，在平面四边形中，，，，．现将沿折起，并连接，如图②，只当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】沿边折起，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大，然后求出外接球的半径，即可求解外接球的体积．【详解】解：由题意，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大，，，的高为，的投影在的中点，平面平面，三棱锥的高为，，，，又，，平面外接圆半径，设球心到圆心的距离为，可得，①，②联立①②解得．外接球的体积．故选：．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.的虚部为-1 B.C.为纯虚数 D.的共轭复数为【答案】AB【解析】【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A：的虚部为，正确；对于B：模长，正确；对于C：因为，故不是纯虚数，C不正确；对于D：的共轭复数为，D不正确.故选：AB.10.有一组样本数据，，…，和一组样本数据，，…，，如果，，…，，其中为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本方差相同C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本极差相同【答案】BD【解析】【分析】A、B利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断C、D的正误.【详解】选项A中，且，故平均数不相同，错误；选项B中，，故方差相同，正确；选项C中，若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；选项D中，由极差的定义知，若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；故选：BD.11.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.的最大值为C.的最大值为 D.存在唯一的使得【答案】AD【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可判断AD，表示出、，运用三角函数的知识可判断BC.【详解】因为向量，，所以若，则，即，故A正确；所以当时，取得最大值，故B错误；因为，所以无最大值，故C错误，若，则同向，则有，，此时满足，故D正确；故选：AD12.已知圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，，是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面积是B.与底面所成的角是C.面积的最大值是D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆锥的性质，计算基本量，判断AB选项，根据的面积公式，计算顶角的取值范围，计算面积的最值，利用圆锥和内接圆柱的轴截面，计算侧面积的最大值.【详解】圆锥的母线，则圆锥的侧面积，故A正确；设与底面所成的角是，，即，故B正确；轴截面的顶角是，当顶角等于时，面积的最大值是，故C错误；下图是圆锥和圆柱的截面图，设圆柱底面半径，则高是，则圆锥内接圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值，故D正确.故选：ABD三、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13.向量，满足，，与的夹角为120°，则___________.【答案】【解析】【分析】由于，然后代值求解即可【详解】解：因为向量，满足，，与的夹角为120°，所以，故答案为：14.已知i是虚数单位，若是关于的方程的一个根，则实数___________.【答案】【解析】【分析】将代入，求解即可.【详解】解：由题意知：是方程的一个根，将代入，得：，即，解得：故答案为：.15.若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________．【答案】【解析】【分析】求出圆台的高后由圆台的体积公式计算．【详解】由题意圆台的高为，体积为．故答案为：．16.已知的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，，，，则的面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可由面积公式求出.【详解】解析：的面积，如图，过作的平行线，交于点.在中，，，，.由余弦定理，得，所以，当且仅当时，的最大值为，故的面积，最大为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若点P是线段AB的中点，且向量与垂直，求实数k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别算出、、即可；（2）利用向量垂直的坐标表示算出答案即可.【小问1详解】，，，，，所以所求余弦值为．【小问2详解】，，而向量与向量有垂直，，，解得．18.若的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求b、c的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由平方关系以及正弦定理，即可得出的值；（2）由三角形面积公式以及余弦定理，即可得出，的值.【详解】（1）∵，且，∴.由正弦定理得，∴.（2）∵，所以由余弦定理得，∴19.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．（1）若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；（2）若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；（3）若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据独立事件发生的概率公式计算；（2）甲第一二两次没有中，第三次中，根据概率公式计算；（3）分为第一三两次中或者二三两次中，即可得解.【详解】（1）两人射击是否击中目标相互之间没有影响，若甲、乙两人各射击一次，均没有击中目标的概率为；（2）若甲连续射击，命中为止，甲恰好射击3次结束射击的概率为；（3）若乙连续射击，直至命中2次为止，分为第一三两次中或者二三两次中，所以乙恰好射击3次结束射击的概率为：．20.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，分别为，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由底面为菱形，得，由四棱柱为直四棱柱，得平面，，从而平面，由此能证明平面平面．（2）设交于点，连接，，推导出为中点，从而，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．【详解】（1）因为底面为菱形，所以．因为四棱柱为直四棱柱，所以平面．因为平面，所以．因为，平面．所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）设交于点，连接，．因为底面为菱形，所以为中点．因为中点，所以，．又因为为的中点，，，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因平面，平面，所以平面．21.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试(满分：100分)，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.【答案】（1）；（2）平均数，第57百分位数为；（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得；（2）用频率分布直方图中每组数据中间值乘以该组频率相加即得均值，第57百分位数，即频率对应的值，先估算其在哪一组中，然后再根据比例求解；（3）确定位于区间和的人数，把人进行编号，用列举法写出任取2人的所有基本事件，并得出事件含有的基本事件，计数后可得概率．【详解】解：（1）由己知，解得.（2）测试成绩的平均数.测试成绩落在区间的频率为，落在在区间的频率为，所以设第57百分位数为，有，解得.（3）由题知，测试分数位于区间､的人数之比为，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示.从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，，，共10种.其中“落在区间和”有6种.所以.22.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为3的等边三角形，点在棱上，且三棱锥的体积是，试求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，根据体积公式求得高，最后利用三角形相似求出边长，即可