人教版数学八年级下册：第十七章勾股定理经典例题(含答案解析)

如图，在Rt^ABC中，B（2=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得（提问：勾股定理）,AC=一炉+比：山、1（？=2后~10.77（cm）（勾股定理）答：最短路程约为10.77cm.类型四：利用勾股定理作长为而的线段5、作长为上、招、拈的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于短,直角边为近和1的直角三角形斜边长就是下,类似地可作柩。作法：如图所示(1)作直角边为1（单位长）的等腰直角(1)作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB,使AB为斜边;（2）以（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为,钻古书A31切a仇月1的直角1 。斜边为1；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形纲晶，这样斜边工刀、典、姐、娟的长度就是尬史百杷、、、。举一反三 【变式】在数轴上表示师的点。解析：可以把回看作是直角三角形的斜边，I回y二1。,为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作ACXOA且截取AC=1,以OC为半径,以o为圆心做弧，弧与数轴的交点 b即为小0。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确.原命题：猫有四只脚.（正确）.原命题：对顶角相等（正确）.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等. （正确）.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. （正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ？(正确).逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. (正确)总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断AABC的形状。思路点拨：要判断AABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件 a2+b，c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)2>0,(b-4)2>0,(c-5)2>0oa=3,b=4,c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 ，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中，/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。【答案】：连结AC・./B=90°,AB=3,BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5•••AC2+CD2=169,AD2=169ac2+cd2=ad2/ACD=90°(勾股定理逆定理)【变式2】已知以ABC的三边分别为分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，m2—n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数，且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.只要证明：a2【变式2】已知以ABC的三边分别为分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，证明：「小।-，-1'--",1所以△ABC是直角三角形A【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点，F为AB上一点，且BF=&AB。请问FE与DE是否垂直叫说明。【答案】答：DEXEFo证明：设BF=a,贝UBE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。df2=ef2+de2,•••FEXDEo经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x,4x,根据题意得：(3x)2+(4x)2=202化简得x2=16;1，直角三角形的面积=之X3xX4x=6x2=96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，等边△ABC,作ADLBC于D1则：bd=2bc(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)•••AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)BD=1即：AD2=AB2-BD2=4-1=3在直角三角形ABD中，AB2即：AD2=AB2-BD2=4-1=32Saabc=之BC•AD=百注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x,y,根据题意得：%十)+5=12 (1)［八?" ⑵由(1)得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)(3)—(2),得:xy=12，直角三角形的面积是上xy=*X12=6(cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是 n+1,n+2,n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得：(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2化简彳导:n2=4n=±2,但当n=—2时，n+1=—1<0,1.n=2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2—a2=(c—a)(c+a)来判断。例如：对于选择D,•••82w(40+39)X(40—39),.•・以8,39,40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。 【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。解：连结AC•••/B=90°,AB=3,BC=4 C・•.AC2=AB2+BC2=25(勾股定理).•.AC=5.AC2+CD2=169,AD2=169•.AC2+CD2=AD2/ACD=90°(勾股定理逆定理)工..S四边形abcd=Saabc+S4acd=2AB-BC+之AC-CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30°,点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB，MN,垂足为Bo在RtAABP中，•./ABP=90°,/APB=30°,AP=160,1AB=2aP=80。(在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)・•点A到直线MN的距离小于100m,•・这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m),由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,BC=60。NDXNDX同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么， AD=100(m),BD=60(m),.CD=120(m)。拖拉机行驶的速度为 ：18km/h=5m/st=120m+5m/s=24s。答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法 ，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园， 有极少数人为了避开拐角而走 “捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4=7(m)设走“捷径”的路长为xm,则£="十M=5故少走的路长为7—5=2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格， 它的每一个小三角形都是边长为 1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平彳T四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD的面积是多少?(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积了(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积了(3)过A作AK^BC于点K(如图所示)，则在RtAACK中,类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE，DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。B思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD.解：连接AD.因为/BAC=90°,AB=AC.又因为AD为4ABC的中线,所以AD=DC=DB.AD±BC.且/BAD=/C=45°.因为/EDA+/ADF=90°,又因为/CDF+/ADF=90°.所以/EDA=/CDF.所以△AED0^CFD(ASA).所以AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.在RtAAEF中，根据勾股定理得：月必=皿\』庐=5n+12^=131所以ef=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。(二)方程的思想方法4、如图所示，已知△ABC中，/C=90°,/A=60°,窃+&=3+，求B、&、亡的值。思路点拨：由〃+&=3+点,再找出口、占的关系即可求出出和占的值。解：在RtAABC中，/A=60°,/B=90°-ZA=30°,则”年，由勾股定理，得一65二/幽—‘二回。因为2+上=3+百，所以底+b=3+®,J5+1a-4上,= ?c=2h=2-j3，，0总结升华：在直角三角形中，30。的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD,