黄石市2013年初中数学竞赛试卷及答案

黄石市2013年初中数学竞赛姓名：一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该项任务后才能执行下一项任UVW10s，120s900s）A．UV、W B．V、U 、U、V 、、V2．如图1，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和29，则AB=（）A C D B（图1）2ABCDA60A、DA’D’FE处，且A’D’经过为折痕，当D’FCD时，CF DFEFD3的值为（ ） A331A．2

BB．6

2 31C． D．6

318

CA' B D'x2-mx+n+1=0的两个实根均为正整数m2+n2为（ ）

（图2）A．合数 B．质数 C．完全平方数 D．偶数xxxx＜1＜x1 2 1 2a的取值范围是（ ）2 2 2 2 2A．7 ＜a＜5 B．a＞5 C．a＜7 D．11＜a＜0二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）一部自动扶手电梯自下向上匀速运动，丽丽、美美两人同时分别从电梯的下端、上12m上走了28m63m．则自动扶手电梯露在外面部分的长度m．1 1y2xy4x26交于ABP在直线AB上方的抛物线上运动．当的面积最大时，点P的坐标．yPByPBOxAyBCMxADO（图3） （图4）4，已知半径为1的圆的圆心为点x轴负半轴上OA交⊙MCBCDM．心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课yx（分钟）的变化规律为：4x60,

0x10y100,1

2

x2031 32

x8

20x40有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟为了使效果更好要求学生的注意力指数最低达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的分钟开始讲解这道题．x3xyz5设方程组yz3

xyz2的正实数解为则．xyz21三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）yax2bxc（a、bca≠0），xx≤y≤2x2

1．求二次函数的解析式．4121ABC两边AAC为边分别向外作正方形ABDACFGH、、MBECGBCMHMK的数量关系与位置关系，并证明你的结论．QCDQCDRPABSD A GHKFB M C（图5） （图6）（2）拓展运用：如图6，以凸边形ABCDPQR与PR相等且垂直．12个球，其中有且仅有一个球与其他11的天平称三次，找出这个球？xx2cxa0„„①的两个整数根恰好比方程x2axb01．求abc的值．黄石市2013年初中数学竞赛参考答案一、选择题1．A．顺序A三项任务相对等待时间之和为SA

10 10120 10120900＜6 ； + 10120900顺序B三项任务相对等待时间之和为SB顺序C三项任务相对等待时间之和为SC顺序D三项任务相对等待时间之和为SD2．B．

＞ ＞90 ；1010900> ＞90 ；1010120900> ＞8 ；比较知，S120

最小．设AC=a，CD=b ，DB=c. 则=29abc29b(1≤b≤6)3c,b舍去）,ABabc729．3．A．设AB=1，CF=x .根据折叠的性质得A'EBD'FM90，31A'C60 ，BD 'D'GCFFGB2E3131 31x31

CFx 31 FD 1x 2 4．A．设方程的两正整数根分别为x1

、x ，则xx2 1

m，xx12

n1。 2

2 m2

n2

xx1 2

xx 112

x21

1x212x21

1＞1，2

1＞，所以，

n2

必为合数．5．D．易知a0x2

12x90

yx212 a 抛物线开口向上．因x1

＜1＜x2

x1y＜0， 2 2即119＜0 ＜a＜0. a 11二、填空题6．48ｍ设自动扶手电梯露在外面的部分长度为xm．由题意得12

28 ：

．解得x48或x0舍去．因此，所求长度为48ｍ．x12 x28 63xyPBMOxA7．yPBMOxA 4 47PMx轴交直线AB于点M，Pa，

1a26 ，则 4 M4 M

，1a2 2 1故PMa214

a6 ．1

（图7）1 由yx及yx1 2 4

6联立求得点AB、4，而S S S

164PM5a

125 ，PAB

2 4 4a1时，y

125

P故当max

，此时， ．44 4yBCEMxyBCEMxADO10如图8，联结OC．则∠OCA90BCDM为平形四边形CD∥MBCDOAOCOACAO45OAOBAD1．

（图8）DEAC于点EDE

，而BD ，故sinABDDE ．25102 BD 1025109．7.5y与x之间的函数图像如图所示． 100设应在上课后第t(0t≤10)分钟开始讲解这道题，则1

31 6060 t16.52 t16.5165

x/min32 8 0 10 20 40 t2219t1586.250 t或211.5舍去.因此,教师应在上课后7.5分钟开始讲解这道题.10．6令xyzu，则u3x3y3z3u5u2u21u318u273u210

（图9）18u2

73u2100

u或

35舍去18当u6x1，y2，z3xyz6三、解答题11．由题,知对一切实数x有x≤ax2bxc≤2x21 .141当x0时，上式为0≤C≤ C0.4ax20 ①故 12ax

bx 0 ②4对一切实数x均成立.由式①得a＞0,且b2≤0b1.1a2,时式②化为x当a2时,由式②得2a 0

14≥0,与题设矛盾. 1

a1,yx2x2

12

2

0EHEHAGK12．（1）猜想MH⊥MK,且MH=MK D证明：如图10,易知△AEC逆时针旋转90便得到了△ABG所以,EC⊥BG,且EC=BG． （图M C FQCDMRPABS1 又Ｈ、Ｋ、QCDMRPABS1 则MH EC，MK BG .2 2因此,MH⊥MK,MH=MK.（2）证明：如图11,作也满足条件的图形,取BD的中点M,联结MＰ、MＱ、MＲ、MＳ.QMS由（1）MPMQMRMSQMS

（11）

90后从而,QS与PR.11将12个球均分成三组,每组4个,同时将12个球编号为①～⑿.第一次称①②③④和⑤⑥⑦⑧,若平衡,则坏球在⑨⑩⑾⑿中,同时,知①～⑧号球均为⑪若依然是左边重,则坏球必在①或⑤中；⑫若左边轻,则坏球必在②③④中且坏球比好球重；⑬若天平平衡,则坏球必然是⑥⑦⑧之一,且知坏球比好球轻,第三次称就好办了.解设、、Z，是方程①的两个整数根,则、1是方程②x2

cxaxx.显然,a.x2

axb.则a1221