特殊多边形的面积不等式

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党泉元

多边形的面积不等式与极值问题一直备受关注.一些特别多边形，如三角形、平行四边形的面积不等式更是在中学数学竞赛中经常出现.本文介绍了一些好玩儿的结论，并力求表达处理面积问题的一些方法.首先研究了平行四边形和它的内接三角形的面积之间的关系，其次研究了三角形与其内含四边形的面积关系，再次研究了三角形内的五点问题，最终研究了面积为1的凸多边形能被什么样的平行四边形和三角形覆盖的问题，并列举了实例论证了相关问题.

面积不等式;特别多边形;惯性矩不等式;三角形;凸多边形

一、引言

本文通过研究一些特别多边形的面积之间的关系问题来激发中学生对数学的浓重兴趣，同时达到磨砺其数学思维的目的，并通过课外知识来培养中学生独立、创新的思维模式，提高中学生的数学素质.

对于平行四边形和它的内接三角形的面积之间的关系，有一个熟知的结论是：任一平行四边形的内含三角形的面积不超过这个平行四边形面积的一半.这个结论的证明十分简单，下面我们来探讨这个结论的反面.

二、三角形与其内含平行四边形的面积關系

定理1[1]任意一个三角形的内含平行四边形的面积不超过这个三角形面积的一半.

证明设平行四边形P1P2P3P4是△ABC内的平行四边形.

如图1，不妨设直线P1P2，P3P4交边BC于两点，分别记为M2，M3，在这条直线上分别截取线段M2M1和M3M4，使得M2M1=P2P1，M3M4=P3P4，

则四边形M1M2M3M4是平行四边形，且

S平行四边形M1M2M3M4=S平行四边形P1P2P3P4.

设直线M1M4分别交边AB，AC于两点D，E，过点E作AB的平行线交BC于F，则可得平行四边形BDEF，易知

S平行四边形BDEF≥S平行四边形M1M2M3M4=S平行四边形P1P2P3P4.

因此要证S平行四边形P1P2P3P4≤12S△ABC，

只需证明S平行四边形BDEF≤12S△ABC.（1）

下面证（1）式，如图2，

设λ=ADAB，则由

△ADE∽△ABC，

可知S△ADE=λ2S△ABC.

同理S△EFC=（1-λ）2S△ABC.

因此S△ADE+S△EFC=[λ2+（1-λ）2]S△ABC≥12S△ABC，

所以S平行四边形BDEF=S△ABC-（S△ADE+S△EFC）≤12S△ABC.

（1）得证，且当D，E，F分别为三边的中点时等号成立（如图2所示），

所以S平行四边形P1P2P3P4≤12S△ABC.

上面的证法是典型的化归法，即将一般的平行四边形P1P2P3P4转化为有一组边与BC平行的平行四边形M1M2M3M4，再转化为两组边分别平行于三角形两边的十分特别的平行四边形BDEF，从而使问题得到简化.

如图3，设P是△ABC内的一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D，E，F，则△DEF叫作点P的塞瓦（Ceva）三角形.

如图4，若△ABC内的一点P在三边BC，CA，AB上的射影分别为D，E，F，则△DEF叫作点P的垂足三角形.

关于点P的塞瓦三角形和垂足三角形有下面两个有名的命题.

命题1若P是△ABC内的一点，则点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过14S△ABC.

命题2若P是△ABC内的一点，则点P的垂足三角形DEF的面积不超过14S△ABC.

杨林先生首先注意到定理1和命题1的关系，他通过建立塞瓦三角形的扩张性质（下面的例1）发现了命题1和定理1的推论.

例1[1]设P是△ABC内的一点，点P的塞瓦三角形为△DEF，求证：总可以以△DEF的某两边为邻边作一平行四边形，使之位于△ABC内.

证明如图5所示，设G是△ABC的重心，N，M分别是边AC和AB的中点.不妨设P在四边形ANGM内部或边界上，则E，F分别在线段AN，AM的内部或端点处，所以AFFB≤1，AEEC≤1，

又不妨设AFFB≤AEEC，由塞瓦定理可得AFFB·BDDC·CEEA=1.

由此推得BDDC=AECE·FBAF≥1.

如图6，作出以EF，ED为邻边的平行四边形FEDE′，接下来只需证E′位于△ABC内部或边界上即可.

过F作FF′∥BC，F′落在AC上.

由于AFFB≤AEEC，所以F′在线段AE内部或端点上.

由于∠E′DF=∠EFD≤∠F′FD=∠FDB，

所以DE′在∠FDB内部或边界上.同理CEEA≥1≥CDDB，

也可证明FE′在∠BFD的内部或边界上，故E′在△FDB的内部或边界上，结论得证.

注1定理1和命题1通过例1联合起来了，即由例1和定理1命题1.

一个自然的问题是：内点P的垂足三角形是否有类似于塞瓦三角形的扩张性质呢？

易知钝角三角形的内点的垂足三角形一般不具有扩张性质，但对于锐角三角形有下面的正面回复.

例2如图7，已知钝角三角形ABC的外接圆半径为1，求证：存在一个斜边长为2+1的等腰三角形能够覆盖△ABC.

证明

不妨设∠C90°，于是min{∠A，∠B}45°.不妨设∠A45°.如图7所示，以AB为直径，在顶点C的同侧作半圆O，则C位于半圆O内.作射线AT使得∠BAT=45°.过O作AT的平行线，且与半圆相交于点E.过点E作半圆的切线，分别交AB的延长线和AT于点D和F，则等腰直角三角形ADF能够覆盖△ABC，并且AD=AO+OD=12AB+22AB=AB2（1+2），

又AB=2，所以AD=1+2.

即存在一个斜边长为2+1的等腰三角形能够覆盖△ABC.

例3[2]设P是锐角三角形ABC内一点，关于P的垂足三角形为△DEF.求证：总可以以△DEF的某两边为邻边作一平行四边形使之位于△ABC内.

证明设O是△ABC的外心，由于△ABC为锐角三角形，所以O位于△ABC内.不妨设P落在△AOB内，如图8所示.

我们证明以FE，FD为邻边的平行四边形DFEG位于△ABC内.为此，只需证明

∠FEG≤∠FEC，（2）

∠FDG≤∠FDC.（3）

下证（2），（3）类似可证.

由线段的平行关系易得∠FEG=∠AFE+∠BFD，

∠FEC=∠AFE+∠BAC，

因此要证（2），只需证

∠BFD≤∠BAC.（4）

事实上，由B，F，P，D四点共圆，知

∠BFD=∠BPD.（5）

现过O作OH⊥BC，垂足为H，则由

∠PBD≥∠OBH，

可知∠BPD≤∠BOH，（6）

而O为△ABC的外心，

∴∠BOH=∠BAC，（7）

由（5）（6）（7）（4），即可得證.

注2由例3知，对于锐角三角形，由定理1可推出命题2.上例曾是第2届中国西部数学奥林匹克试题.

三、三角形内的五点问题

这是A.Soifer提供应Colorado数学奥林匹克的一道试题.他提出并证明白：在单位面积的三角形内任给五点，则至少有三点组成的三角形面积不超过14.

不难证明，五点问题的点数不能减少，但着眼于结论中三角形的个数，我们仍能改进问题的结论.下面的例4是黄仁寿先生最早发现并证明的.

例4[3]在单位面积的三角形中任给五点，则其中必存在两个不同的三点组使得以它们为顶点构成的三角形的面积不超过14.

证明我们需要下面常用的引理.

引理设凸四边形位于一个单位面积的三角形内，则这个凸四边形的四个顶点中必有三个顶点组成的三角形的面积不超过14.

凸四边形的四个顶点在本质上都可化归到三角形的边上，因此这个引理实质上就是大家熟知的首届冬令营的试题的其次题.即设P1，P2，P3，P4位于△ABC的三边上，求证：△P1P2P3，△P1P3P4，△P2P3P4，△P1P2P4中必有一个面积小于或等于14S△ABC.

下面回证原题.

当这五个点的凸包为线段时，结论自然成立.

当这五个点的凸包为三角形时，则可以以这五个点为顶点作出五个互不相交的三角形，如图9所示，而且它们的总面积小于或等于1，故必有两个三角形的面积不超过14.

当这五个点的凸包为凸四边形时，不妨设五点分布如图10所示，即P5位于凸四边形P1P2P3P4内，由引理可知P1，P2，P3，P4中必有三点组成的三角形的面积不超过14，

又S△P1P2P5+S△P2P3P5+S△P3P4P5+S△P4P1P5≤S四边形P1P2P3P4≤S△ABC=1，

因此△P1P2P5，△P2P3P5，△P3P4P5，△P4P1P5中必有一个的面积小于或等于14，结论成立.

若这五点的凸包为凸五边形，则其中任何四个顶点均可构成嵌入△ABC中的凸四边形，如图11所示，这样的凸四边形有C45=5个.因而包括重复计算，必有5个面积不超过14的三角形，又每个三角形至多重复两次，故面积不超过14的三角形的个数大于52=2，结论得证.

注3可以证明上例的结论还可以改进，其中存在的两个三角形可改进为三个三角形（不能改进为四个三角形）的面积不超过14.但篇幅很长，这里省略.

注4任给一个图形F，令S（F）表示满足下面条件的最小的正整数n，在F内部（含边界）任给n个点使得总存在其中的三个点，它们构成的三角形的面积不超过|F|4，这里|F|表示F的面积.A.Soifer的五点问题等价于下面的命题3.

命题3对于任意的三角形T，S（T）=5.A.Soifer进一步证明白.

命题4对任意的平行四边形P，S（P）=5.

一个自然的问题是：是否对于任意的图形F都有S（F）=5？

答案是否定的，A.Soifer证明白.

命题5对正五边形F，S（F）=6.

对任意的凸的图形F，S（F）都可以取什么样的值呢？A.Soifer证明白S（F）只能在很小的范围内取值，即有

命题6对任意的凸的图形F，4≤S（F）≤6.

关于命题6的更进一步的结论是：

命题7对任意的凸的图形F，S（F）≠4.

命题8对任意的凸的图形F，S（F）=5，或者S（F）=6.

一个好玩儿但未解决的问题是：什么样的凸的图形F使得S（F）=5？什么样的凸的图形F使得S（F）=6？

四、单位面积的凸多边形被平行四边形和三角形覆盖的问题

例5

平面上任给n个点，其中任何三点可组成一个三角形，每个三角形都有一个面积.令最大面积与最小面积之比为μn，求μ5的最小值.

解设平面内的任意五点为A1，A2，A3，A4，A5，其中任意3点均不共线.

（1）若5点的凸包不是凸五边形，那么其中必有一点落在某个三角形内，这时易证μ5≥3.

（2）当5点的凸包为凸五边形A1A2A3A4A5时，作MN∥A3A4分别交A1A3，A1A4于M和N，且使得A1MMA3=A1NNA4=5-12.

（ⅰ）A2，A5中有一点，譬如A2与A3，A4在直线MN的同侧时，有μ5≥S△A1A3A4S△A2A3A4≥A1A3MA3=1+A1MMA3=5+12.