高中数学导数题型分析解题方法

(圆满版)高中数学导数题型分析及解题方法(圆满版)高中数学导数题型分析及解题方法(圆满版)高中数学导数题型分析及解题方法导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的见解，导数的几何意义，几种常有函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单一性和极值，函数的最大值和最小值。二、热门题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1．f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是22．已知函数yf(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c＝6；3．函数y13xx3有极小值－1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线y4xx3在点1,3处的切线方程是yx22．若曲线f(x)x4x在P点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为（1，0）3．若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy304．求以下直线的方程：（1）曲线yx3x21在P(-1,1)处的切线；（2）曲线yx2过点P(3,5)的切线；解：（1）点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/3x22xky/|－3－21x1所以切线方程为y1x1，即xy20（2）明显点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0x02①又函数的导数为y/2x，A(x,y)ky/|xx02xA(x,y)所以过点的切线的斜率为0，又切线过、P(3,5)点，所以有0000y05x1x052x0x3②，由①②联立方程组得，y01或y025，即切点为（1，1）时，切线斜率为0k12x02;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k22x010；所以所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)或y2510(x5)，即y2x1或y10x25题型三：利用导数研究函数的单一性，极值、最值1．已知函数f(x)x3ax2bxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1第1页共10页（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单一递加，务实数b的取值范围解：（1）由f(x)x3ax2bxc,求导数得f(x)3x22axb.yf(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).而过yf(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y3x1.32ab3即2ab0①故ac3ac3②∵yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4ab12③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x32x24x5.（2）f(x)3x24x4(3x2)(x2).3x2时,f(x)0;当2x2时,f(x)0;当3当2x时,f(x)0.f(x)极大f(2)1331又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单一递加，又f(x)3x22axb,由①知2a+b=0。依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x2bxb0.xb1时,f(x)minf(1)3bb0,b66①当；xb2时,f(x)minf(2)122bb0,b6②当；261时,f12bb20,则0b6.③当b(x)min12综上所述，参数b的取值范围是[0,)2．已知三次函数f(x)x3ax2bxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．第2页共10页求函数yf(x)的表达式；求函数yf(x)的单一区间和极值；(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应知足的条件．解：(1)f(x)3x22axb，由题意得，1,1是3x22axb0的两个根，解得，a0,b3．再由f(2)4可得c2．∴f(x)x33x2．(2)f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0．∴函数f(x)在区间(,1]上是增函数；在区间[1,１]上是减函数；在区间[1,)上是增函数．函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4．(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位获得的，所以，函数f(x)在区间[3,nm]上的值域为[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．于是，函数f(x)在区间[3,n4]上的值域为[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的单一性知，1剟n42，即3剟n6．综上所述，m、n应知足的条件是：m4，且3剟n6．3．设函数f(x)x(xa)(xb)．（1）若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为２，且f(x)在x1处取极值，务实数a,b的值；第3页共10页（2）当b=1时，试证明：无论a取何实数，函数f(x)总有两个不一样样的极值点．解：（1）f(x)3x22(ab)xab.由题意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）当b=1时，令f(x)0得方程3x22(a1)xa0.因4(a2a1)0,故方程有两个不一样样实根x1,x2．不如设x1x2，由f'(x)3(xx1)(xx2)可判断f'(x)的符号以下：当xx时，f'xxx时，f'xx时，f'1(x)＞０；当12(x)＜０；当2(x)＞０所以x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，无论a取何实数，函数f(x)总有两个不一样样的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f（x）的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）y1x34x1的图像为(A)2．函数3yyyy666644442222-4-2o24xy24xox-4xo24-2-2-4-224-2-2-2-4-4-4-43．方程2x36x270在(0,2)内根的个数为(B)A、0B、1C、2D、3题型五：利用单一性、极值、最值状况，求参数取值范围第4页共10页1．设函数f(x)1x32ax23a2xb,0a1.3（1）求函数f(x)的单一区间、极值.（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确立a的取值范围.解：（1）f(x)x24ax3a2=(x3a)(xa)，令f(x)0得x1a,x23a列表以下：x（-∞，a）a（a，3a）3a（3a，+∞）f(x)-0+0-f(x)]极小Z极大]∴f(x)在（a，3a）上单一递加，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单一递减f极小(x)b4a3f极小(x)bxa时，3，x3a时，（2）f(x)x24ax3a2∵0a1，∴对称轴x2aa1，f(x)在[a+1，a+2]上单一递减∴fMax(a1)24a(a1)3a22a1，fmin(a2)24a(a2)3a24a4依题|f(x)|a|fMax|a，|fmin|a即|2a1|a,|4a4|a4a1，又0a1[4,1)解得5∴a的取值范围是522．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都获得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单一区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒建立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b－212－4a＋b＝0－1由f（3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单一区间以下表：第5页共10页x221（1，＋）2（－，－3）－3（－3，1）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值22所以函数f（x）的递加区间是（－，－3）与（1，＋），递减区间是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒建立，只要c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2题型六：利用导数研究方程的根v133,－1).v21．已知平面向量a=(b=(2,).vvvuvvvvuv（1）若存在不一样样时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论对于t的方程f(t)－k=0的解的状况.vuvvuvvvvv解：(1)∵x⊥y，∴xy=0即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.v2vvv2整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)·b=0vvv2v21，即k=4t(t2-3)∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=011(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的状况，能够看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个数.33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化状况以下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(t)+0-0+F(t)↗极大值↘极小值↗1当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.第6页共10页1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可察看出：11(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解；11(3)当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1．设a0,函数f(x)x3ax在[1,)上是单一函数.（1）务实数a的取值范围；（2）设x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求证：f(x0)x0.解：（1）yf(x)3x2a,若f(x)在1,上是单一递减函数，则须y0,即a3x2,这样的实数a不存在.故f(x)在1,上不能够能是单一递减函数.若f(x)在1,上是单一递加函数，则a≤3x2，因为x1,,故3x23.进而0<a≤3.（2）方法1、可知f(x)在1,上只好为单一增函数.若1≤x0f(x0)，则f(x0)f(f(x0))x0矛盾,若1≤f(x0)x0,则f(f(x0))f(x0),即x0f(x0)矛盾，故只有f(x0)x0建立.方法2：设f(x0)u,则f(u)x0，x03ax0u,u3aux0,两式相减得(x3u3)a(xu)ux0(x0u)(x2xuu21a)0,x00000≥1,u≥1，x2xuu23,又0a3，x2x0uu21a0000第7页共10页f(x)(x23)(xa)2．已知a为实数，函数2（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f'(1)0，（Ⅰ）求函数f(x)的单一区间x1、x2(1,0)，不等式|f(x1)f(x2)|5（Ⅱ）证明对随意的16恒建立Qf(x)x3ax23x3af'(x)3x22ax3解：22，2Q函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，f'(x)0有实数解4a24330a29（，32]U[32，）2，2，所以a的取值范围是22Qf'(1)0，32a30a9f'(x)3x29x33(x1)(x1)2，4，222由f'(x)0,xx1f'(x)0,1x121或2；由f(x)的单一递加区间是(,1),(1,)(1,1)2；单一减区间为2f(1)25，f(x)的极小值为f(1)49f(0)27易知f(x)的最大值为8216，又82749f(x)在[1，0]M8m上的最大值，最小值16对随意x1,x2(|f(x1)f(x2)|Mm27495816161,0)，恒有题型八：导数在实质中的应用1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的极点O终归面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4第8页共10页由题设可得正六棱锥底面边长为：32(x1)282xx2，（单位：m）3332)，（单位：m2故底面正六边形的面积为：64(82xx2)2=2(82xx）V（x）33(82xx2)[1(x1)1]3(1612xx3)3帐篷的体积为：232（单位：m）V'（x）3(123x2)求导得2。令V'（x）0，解得x2（不合题意，舍去），x2，当1x（）0，V（x）2时，V'x为增函数；当2x（）0，V（x）4时，V'x为减函数。∴当x2时，V（x）最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大概积为163m3。2．统计表示，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）对于行驶速度x（千米/y1x33x8(0x120).小时）的函数分析式能够表示为：12800080已知甲、乙两地相距100千米。I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？100解：（I）当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，(14033408)要耗没12800080（升）。100（II）当速度为x千米/小不时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升，h(x)(1x33x8).1001x280015(0x120),依题意得12800080x1280x4h'(x)