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文档简介
第三章行列式3.1线性方程组和行列式
3.2排列3.3n阶行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开
3.5克拉默法则
课外学习6:行列式计算方法课外学习7:q_行列式及其性质第三章行列式3.1线性方程组和行列式3.2排列3.1能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人。――庞加莱(Poincare,1854-1921)一个数学家,如果他不在某种程度上成为一个诗人,那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。--外尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整23.1线性方程组和行列式一、内容分布
3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)3.1.2行列式在线性方程组中的应用二、教学目的:1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点:利用对角线法则计算二阶、三阶行列式3.1线性方程组和行列式一、内容分布33.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式我们用记号表示代数和
称为二阶行列式,即
3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式4三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号;‘—’三元素乘积取“-”号.三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法53.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
它的系数作成的二阶行列式
,那么方程组(1)有解
(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)
他的系数作成的三阶行列式
,那么方程组(2)有解
3.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两6这里
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.例题选讲
解:由阶行列式的定义有:这里我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后73.2排列一、内容分布
3.2.1排列、反序与对换3.2.2奇、偶排列的定义及性质二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义三、重点难点
求反序数3.2排列一、内容分布83.2.1排列、反序与对换
例如:1234,2314都是四个数码的排列。定义1n个数码
的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组.
n个数码的不同排列共有n!个
例如:1,2,3这三个数码的全体不同的排列一共有3!=6个,它们是:123,132,231,213,312,321。定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法:看有多少个数码排在1的前面,设为个,那么就有个数码与1构成反序;然后把1划去,再看有多少个数码排在2的前面,设为个,那么就有个数码与2构成反序;然后把2划去,计算有多少个数码在3前面,设为个,……,如此继续下去,最后设在n前面有个3.2.1排列、反序与对换例如:1234,2314都9数码(显然),那么这个排列的反序数等于。
例如:在排列451362里,所以这个排列有8个序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列;有奇数个反序的排列叫做奇排列。数码(显然),那么这个排列的反序数等于。例如:在排列4103.2.2奇、偶排列的定义及性质
定义3看n个数码的一个排列,如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下,而其余数码保持不动,那么就得到一个新的排列,对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,并且用符号(i,j)来表示。
定理3.2.1
是n个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由证明:
我们已经知道,通过一系列对换可以由我们只需证明,通过一系列对换可由,3.2.2奇、偶排列的定义及性质定义3看n个数码的11而通过一系列对换可以由,按照相反的次序施行这些对换,就可由。定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.其中A与B都代表若干个数码.施行对换得证明:我们首先看一个特殊的情形,就是被对
换的两个数码是相邻的。设给定的排列为
AB
而通过一系列对换可以由,按照相反的次序施行这些对换,就可由12我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i,j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中,那么经过对换后,i与j就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中,那么经过对换后,排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形,排列的奇偶性都有改变。
AB
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的13现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码,我们用来代表。这时给定的排列为(1)
先让i向右移动,依次与
交换。这样,经过s次相邻的两个数码的对换后(1)变为再让j向左移动,依次与
交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后,排列变为
(2)
但(2)正是对(1)施行对换而得到的排列。因此,对(1)施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。,每经过一次相邻两数码的对换,排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数,所以(1)与(2)的奇偶性相反。现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码,我14定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n!个排列,其中奇偶排列各占一半.即各为个。证明:设n个数码的奇排列共有p个,而偶排列共有q个,对这p个奇排列施行同一个对换那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以同样可得因此例题选讲定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n!个排列,其中153.3n阶行列式一、内容分布3.3.1n阶行列式的定义3.3.2行列式的性质二、教学目的:1.掌握和理解n阶行列式的定义。2.会利用定义计算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点:利用定义计算行列式利用性质熟练计算及证明行列式3.3n阶行列式一、内容分布163.3.1n阶行列式的定义定义1
组成的记号
称为n阶行列式,其中:横排列称为行,纵排列称为列.任意取
个数
排成以下形式:
(1)3.3.1n阶行列式的定义定义1组成的记号称为n阶行列17考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:(2)
是1,2,…,n这n个数码的一个这里下标排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n!个.我们用符号表示排列的反序数.考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘18定义2用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积项的符号为也就是说,当是偶排列时,这一项的符号为正,当是奇排列时,这一项的符号为负.定义2用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些19例1我们看一个四阶行列式根据定义,D是一个4!=24项的代数和。然而在这个行列式里,除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外,其余的项都至少含有一个因子0,因而等于0,与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此例1我们看一个四阶行列式根据定义,D是一个4!=2420转置一个n阶行列式如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式叫D的转置行列式。转置一个n阶行列式如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式21引理3.3.1从n阶行列式的
取出元素作乘积
(3)
这里
都是1,2,…,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是证:如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为
,那么由定理3.2.2,
都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数,所以
是一个偶数。因此
同时是偶数或同时是奇数,从而引理3.3.1从n阶行列式的取出元素作乘积(3)这里22另一方面,由定理3.2.1,排列总可以经过若干次对换变为,因此,经过若干次交换因子的次序,乘积(3)可以变为(4)
这里是n个数码的一个排列。根据行列式的定义,乘积(4),因而乘积(3)的符号是。然而。由上面的讨论可知引理被证明。另一方面,由定理3.2.1,排列总可以经过若干次对换变为233.3.2行列式的性质项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列,所以位于D的转置行列式行,因而也是D里和在的两项显然也是项的代数和,即现在设是n阶行列式D的任意一的不同的列和不同的的一项,由引理3.3.1,这一项在里的符号都是,并且D中不同中不同的两项,因为D与的项数都是n!,所以D与是带有相同符号的相同。于是有
命题3.3.2
行列式与它的转置行列式相等,即3.3.2行列式的性质项。这一项的元素位于D的不同的行和不24命题3.3.3交换一个行列式的两行(或两列),行列式改变符号。证设给定行列式交换D的第i行与第j行得(旁边的i和j表示行的序数)命题3.3.3交换一个行列式的两行(或两列),行列25D的每一项可以写成
(5)
因为这一项的元素位于的不同的行与不同的列,所以它也是的一项,反过来,的每一项也是D的一项,并且D的不同项对应着的不同项,因此D与含有相同的项。
交换行列式两列的情形,可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。式的第i行变成第j行,第j行变成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1,并注意到
是一奇数,因此(5)在D的在中的符号相反,所以D与的符号相反。,然而在D1中,原行列(5)在D中的符号是
(5)在中的符号是由命题3.3.2推知,凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立,反过来也是如此。D的每一项可以写成(5)因为这一项的元素位于的不26推论3.3.4如果一个行列式有两行(列)完全相同,那么这个行列式等于零。证设行列式D的第i行与第j行(i≠j)相同,由命题3.3.3,交换这两行后,行列式改变符号,所以新的行列式等于-D,但另一方面,交换相同的两行,行列式并没有改变由此得D=-D或2D=0,所以D=0。命题3.3.5用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此行列式。即如果设,则推论3.3.4如果一个行列式有两行(列)完全相同,那么这27证设把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式,那么的第i行的元素是D的每一项可以写作(6)
中对应的项可以写作(7)
(6)在D中的符号与(7)在中的符号都是因此,推论3.3.6如果行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。证设把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式28推论3.3.7如果行列式的某一行(列)的元素全部是零,那么这个行列式等于零。推论3.3.8如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零。证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例,那么这两行的对应元素只差一个因子k,即因此由推论3.3.6,可以把公因子k提到行列式符号的外边,于是得到一个有两行完全相同的行列式;由推论3.3.4,这个行列式等于零。推论3.3.7如果行列式的某一行(列)的元素全部是零,29命题3.3.9如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素与原行列式相同。即如果,则
。命题3.3.9如果将行列式中的某一行(列)的每一个元30证D的每一项可以写成式,它的符号是的形。去掉括弧,得但一切项附以原有符号后的和等于行列式一切项附以原有符号后的和等于行列式因此
推论如果将行列式的某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和。证D的每一项可以写成式,它的符号是的形。去掉括弧,31命题3.3.10将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变。证设给定行列式把D的第j行的元素乘以同一个数k后,加到第i行的对应元素上,我们得到行列式:命题3.3.10将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数32由命题3.3.9,此处的第i行与第j列成比例;所以由推论3.3.8,由命题3.3.9,此处的第i行与第j列成比例;所33例2计算行列式解:根据例题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以-1后,加到第二列和第三列的对应元素上),得这个行列式有两列成比例,所以根据推论3.3.8,D=0.例2计算行列式解:根据例题3.3.10,从D的第二34例3计算n阶行列式解:我们看到,D的每一列的元素的和都是n-1.把第二,第三,…,第n行都加到第一行上,得例3计算n阶行列式解:我们看到,D的每一列的元素的35根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得由第二,第三,…,第n行减去第一行,得由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积所以
根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得由第二,第三36练习选讲:练习选讲:37高等代数课件(北大三版)第三章行列式38高等代数课件(北大三版)第三章行列式393.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开一、内容分布
3.4.1子式和代数余子式3.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.3拉普拉斯定理二、教学目的:1.掌握和理解子式和代数余子式的定义2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。三、重点难点:利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开一、内容分布403.4.1.余子式与代数余子式定义1在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.例1在四阶行列式中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式3.4.1.余子式与代数余子式定义1在一个n阶行列式D中41定义2n(n>1)阶行列式的某一元素的余子式指的是在D中划去所在行和列后所余下的n-1阶子式.例2例1的四阶行列式的元素的余子式是定义2n(n>1)阶行列式的某一元素的余子式42定义3n阶行列式D的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子式.元素的代数余子式用符号来表示:例3例1中的四阶行列式D的元素的代数余子式定义3n阶行列式D的元素的余子式43定理3.4.1若在一个n阶行列式中,第i行(或第j列)的元素除外都是零,那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积:证我们只对行来证明这个定理1)先假定D和第一行的元素除外都是0,这时定理3.4.1若在一个n阶行列式中,第i行(或第j列)44我们要证明:也就是说:子式的每一项都可以写作(1)我们要证明:也就是说:子式的每一项都可以写作45此处是2,3,…,n这n-1个数码的一个排列,我们看项(1)与元素的乘积(2)这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上,因此它是D的一项,反过来,由于行列式D的每一项都含有第一行的一个元素,而第一行的元素除外都是零,因此D的每一项都可以写成(2)的形式。这就是说,D的每一项都是与它的子式的某一项的乘积,又的不同项是D的不同项,因此D与有相同的项。乘积(2)在D中的符号是此处是2,3,…,n这n-46另一方面,乘积(2)在的符号就是(1)在中的符号。乘积(1)在元素既然位在D的第2,3,…,n行与在第列,因此它位在的第1,2,…,n-1行与列,所以(1)在
中的符号应该是。显然,,这样,乘积(2)在
中的符号与在D中的符号一致。所以2)现在我们来看一般的情形,设另一方面,乘积(2)在的符号就是(1)47我们变动行列式D的行列,使位于第一行与第一列,并且保持的余子式不变。
为了达到这一目的,我们把D的第i行依次与第i-1,i-2,…,2,1行交换,这样,一共经过了i-1次交换两行的步骤,我们就把D的第i行换到第一行的位置。然后再把第j列依次与第j-1,j-2,…,2,1列交换,一共经过了j-1次交换两列的步骤,就被交换到第一行与第一列的位置上,这时,D变为下面形式的行列式:我们变动行列式D的行列,使位于第一48是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号,因此这样,定理得到证明。是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而493.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.2n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即证我们只对行来证明,即证明(3),先把行列式D写成以下形式:3.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.2n阶行列式50也就是说,把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.3.9,D等于n个行列式的和:在这n个行列式的每一个中,除了第i行外,其余的行都与D的相应行相同。因此,每一行列式的第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元素的代数余子式相同。这样,由定理3.4.1,也就是说,把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.351定理3.4.3n阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零,即(5)
(6)
证我们只证明等式(5)。看行列式定理3.4.3n阶行列式的某一52的第i行与第j行完全相同,所以=0。另一方面,与D仅有第j行不同,因此的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同,把依第j行展开,得因而的第i行与第j行完全相同,所以=0。另一方面53例4计算四阶行列式在这个行列式里,第三行已有一个元素是零,由第一列减去第三列的二倍,再把第三列加到第四列上,得:例4计算四阶行列式在这个行列式里,第三行已有一个元素是零54根据定理3.4.1把所得的三阶行列式的第一行加到第二行,得:所以D=40根据定理3.4.1把所得的三阶行列式的第一行加到第二行,得55例5计算n阶行列式按第一行展开,得:例5计算n阶行列式按第一行展开,得:56这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式,把它们记作;第二个n-1阶行列式等于。所以这个式子对于任何都成立,因此有但,所以这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式,把它们57例6计算四阶行列式这个行列式叫做一个n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式.由最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以,得例6计算四阶行列式这个行列式叫做一个n阶范德蒙德(Va58由定理3.4.1
提取每列的公因子后,得由定理3.4.1提取每列的公因子后,得59最后的因子是一个n-1阶的范德蒙德行列式。我们用代表它:同样得此处是一个n-2阶的范德蒙德行列式。如此继续下去,最后得最后的因子是一个n-1阶的范德蒙德行列式。我们用60练习题:
练习题:61高等代数课件(北大三版)第三章行列式62高等代数课件(北大三版)第三章行列式633.5克拉默法则一、内容分布
3.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念3.5.2克莱姆法则3.5.3齐次线性方程组解的定理二、教学目的:1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。2.熟练掌握克莱姆法则。3熟练掌握齐次线性方程组解的定理三、重点难点:利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。3.5克拉默法则一、内容分布643.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为(1.9)
它的系数构成的行列式(1.10)
称为方程组(1.9)的系数行列式。3.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念含有n个方程的n65如果线性方程组(1.9)的常数项为零,即称为齐次线性方程组。如果线性方程组(1.9)的常数项为零,即称为齐次线性方程组。663.5.2.克莱姆法则定理3.5.1(克莱姆法则)线性方程组(1.9)当其系数行列式时,有且仅有唯一解此处是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方程组的常数项后得到的n阶行列式.证时是显然的.设.令是整数1,2,…,中的任意一个.分别以乘方程组(1)的第一,第二,…,第个方程,然后相加,得3.5.2.克莱姆法则定理3.5.1(克莱姆法则)线性67由定理3.4.2和3.4.3,的系数等于D而的系数都是零;因此等式左端等于,而等式右端刚好是阶行列式由定理3.4.2和3.4.3,的系数等于D而68这样,我们得到令我们得到方程组(3)
方程组(1)的每一解都是方程组(3)的解.事实上,设是方程组(1)的一个解。那么在(1)中把代以,就得到一组等式。对于这一组等式施以由方程组(1)到方程组(3)的变换,显然得到下面的一组等式:这就是说,也是方程组(3)的一解。这样,我们得到令我69当时,方程组(3)有唯一解,就是(2)。因此方程组(1)也最多有这一个解。我们证明(2)是(1)的解。为此,把(2)代入方程组(1),那么(1)的第个方程的左端变为而计算出来,我们得到当时,方程组(3)有唯一解,70这里我们应用了定理3.4.2和3.4.3。这就是说,(2)是方程组(1)得解。因此,当时,方程组(1)有且仅有一个解,这个解由公式(2)给出。这里我们应用了定理3.4.2和3.4.3。这就是说,(2)71例解线性方程组解:这个方程组的行列式因为,我们可以应用克拉默规则。再计算以下的行列式:例解线性方程组解:这个方程组的行列式因为72由克拉默规则,得方程组的解是注意:克拉默规则只有在时才能应用。由克拉默规则,得方程组的解是注意:克拉默规则只有在733.5.3.齐次线性方程组解的定理定理3.5.2如果齐次线性方程组(1.13)的系数行列式,则它仅有零解.练习选讲:3.5.3.齐次线性方程组解的定理定理3.5.2如果齐次74第三章行列式3.1线性方程组和行列式
3.2排列3.3n阶行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开
3.5克拉默法则
课外学习6:行列式计算方法课外学习7:q_行列式及其性质第三章行列式3.1线性方程组和行列式3.2排列3.75能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人。――庞加莱(Poincare,1854-1921)一个数学家,如果他不在某种程度上成为一个诗人,那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。--外尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整763.1线性方程组和行列式一、内容分布
3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)3.1.2行列式在线性方程组中的应用二、教学目的:1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点:利用对角线法则计算二阶、三阶行列式3.1线性方程组和行列式一、内容分布773.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式我们用记号表示代数和
称为二阶行列式,即
3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式78三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号;‘—’三元素乘积取“-”号.三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法793.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
它的系数作成的二阶行列式
,那么方程组(1)有解
(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)
他的系数作成的三阶行列式
,那么方程组(2)有解
3.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两80这里
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.例题选讲
解:由阶行列式的定义有:这里我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后813.2排列一、内容分布
3.2.1排列、反序与对换3.2.2奇、偶排列的定义及性质二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义三、重点难点
求反序数3.2排列一、内容分布823.2.1排列、反序与对换
例如:1234,2314都是四个数码的排列。定义1n个数码
的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组.
n个数码的不同排列共有n!个
例如:1,2,3这三个数码的全体不同的排列一共有3!=6个,它们是:123,132,231,213,312,321。定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法:看有多少个数码排在1的前面,设为个,那么就有个数码与1构成反序;然后把1划去,再看有多少个数码排在2的前面,设为个,那么就有个数码与2构成反序;然后把2划去,计算有多少个数码在3前面,设为个,……,如此继续下去,最后设在n前面有个3.2.1排列、反序与对换例如:1234,2314都83数码(显然),那么这个排列的反序数等于。
例如:在排列451362里,所以这个排列有8个序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列;有奇数个反序的排列叫做奇排列。数码(显然),那么这个排列的反序数等于。例如:在排列4843.2.2奇、偶排列的定义及性质
定义3看n个数码的一个排列,如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下,而其余数码保持不动,那么就得到一个新的排列,对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,并且用符号(i,j)来表示。
定理3.2.1
是n个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由证明:
我们已经知道,通过一系列对换可以由我们只需证明,通过一系列对换可由,3.2.2奇、偶排列的定义及性质定义3看n个数码的85而通过一系列对换可以由,按照相反的次序施行这些对换,就可由。定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.其中A与B都代表若干个数码.施行对换得证明:我们首先看一个特殊的情形,就是被对
换的两个数码是相邻的。设给定的排列为
AB
而通过一系列对换可以由,按照相反的次序施行这些对换,就可由86我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i,j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中,那么经过对换后,i与j就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中,那么经过对换后,排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形,排列的奇偶性都有改变。
AB
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的87现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码,我们用来代表。这时给定的排列为(1)
先让i向右移动,依次与
交换。这样,经过s次相邻的两个数码的对换后(1)变为再让j向左移动,依次与
交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后,排列变为
(2)
但(2)正是对(1)施行对换而得到的排列。因此,对(1)施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。,每经过一次相邻两数码的对换,排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数,所以(1)与(2)的奇偶性相反。现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码,我88定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n!个排列,其中奇偶排列各占一半.即各为个。证明:设n个数码的奇排列共有p个,而偶排列共有q个,对这p个奇排列施行同一个对换那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以同样可得因此例题选讲定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n!个排列,其中893.3n阶行列式一、内容分布3.3.1n阶行列式的定义3.3.2行列式的性质二、教学目的:1.掌握和理解n阶行列式的定义。2.会利用定义计算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点:利用定义计算行列式利用性质熟练计算及证明行列式3.3n阶行列式一、内容分布903.3.1n阶行列式的定义定义1
组成的记号
称为n阶行列式,其中:横排列称为行,纵排列称为列.任意取
个数
排成以下形式:
(1)3.3.1n阶行列式的定义定义1组成的记号称为n阶行列91考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:(2)
是1,2,…,n这n个数码的一个这里下标排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n!个.我们用符号表示排列的反序数.考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘92定义2用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积项的符号为也就是说,当是偶排列时,这一项的符号为正,当是奇排列时,这一项的符号为负.定义2用符号表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些93例1我们看一个四阶行列式根据定义,D是一个4!=24项的代数和。然而在这个行列式里,除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外,其余的项都至少含有一个因子0,因而等于0,与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此例1我们看一个四阶行列式根据定义,D是一个4!=2494转置一个n阶行列式如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式叫D的转置行列式。转置一个n阶行列式如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式95引理3.3.1从n阶行列式的
取出元素作乘积
(3)
这里
都是1,2,…,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是证:如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为
,那么由定理3.2.2,
都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数,所以
是一个偶数。因此
同时是偶数或同时是奇数,从而引理3.3.1从n阶行列式的取出元素作乘积(3)这里96另一方面,由定理3.2.1,排列总可以经过若干次对换变为,因此,经过若干次交换因子的次序,乘积(3)可以变为(4)
这里是n个数码的一个排列。根据行列式的定义,乘积(4),因而乘积(3)的符号是。然而。由上面的讨论可知引理被证明。另一方面,由定理3.2.1,排列总可以经过若干次对换变为973.3.2行列式的性质项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列,所以位于D的转置行列式行,因而也是D里和在的两项显然也是项的代数和,即现在设是n阶行列式D的任意一的不同的列和不同的的一项,由引理3.3.1,这一项在里的符号都是,并且D中不同中不同的两项,因为D与的项数都是n!,所以D与是带有相同符号的相同。于是有
命题3.3.2
行列式与它的转置行列式相等,即3.3.2行列式的性质项。这一项的元素位于D的不同的行和不98命题3.3.3交换一个行列式的两行(或两列),行列式改变符号。证设给定行列式交换D的第i行与第j行得(旁边的i和j表示行的序数)命题3.3.3交换一个行列式的两行(或两列),行列99D的每一项可以写成
(5)
因为这一项的元素位于的不同的行与不同的列,所以它也是的一项,反过来,的每一项也是D的一项,并且D的不同项对应着的不同项,因此D与含有相同的项。
交换行列式两列的情形,可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。式的第i行变成第j行,第j行变成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1,并注意到
是一奇数,因此(5)在D的在中的符号相反,所以D与的符号相反。,然而在D1中,原行列(5)在D中的符号是
(5)在中的符号是由命题3.3.2推知,凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立,反过来也是如此。D的每一项可以写成(5)因为这一项的元素位于的不100推论3.3.4如果一个行列式有两行(列)完全相同,那么这个行列式等于零。证设行列式D的第i行与第j行(i≠j)相同,由命题3.3.3,交换这两行后,行列式改变符号,所以新的行列式等于-D,但另一方面,交换相同的两行,行列式并没有改变由此得D=-D或2D=0,所以D=0。命题3.3.5用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此行列式。即如果设,则推论3.3.4如果一个行列式有两行(列)完全相同,那么这101证设把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式,那么的第i行的元素是D的每一项可以写作(6)
中对应的项可以写作(7)
(6)在D中的符号与(7)在中的符号都是因此,推论3.3.6如果行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。证设把行列式D的第i行的元素乘以k而得到的行列式102推论3.3.7如果行列式的某一行(列)的元素全部是零,那么这个行列式等于零。推论3.3.8如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零。证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例,那么这两行的对应元素只差一个因子k,即因此由推论3.3.6,可以把公因子k提到行列式符号的外边,于是得到一个有两行完全相同的行列式;由推论3.3.4,这个行列式等于零。推论3.3.7如果行列式的某一行(列)的元素全部是零,103命题3.3.9如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素与原行列式相同。即如果,则
。命题3.3.9如果将行列式中的某一行(列)的每一个元104证D的每一项可以写成式,它的符号是的形。去掉括弧,得但一切项附以原有符号后的和等于行列式一切项附以原有符号后的和等于行列式因此
推论如果将行列式的某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和。证D的每一项可以写成式,它的符号是的形。去掉括弧,105命题3.3.10将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变。证设给定行列式把D的第j行的元素乘以同一个数k后,加到第i行的对应元素上,我们得到行列式:命题3.3.10将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数106由命题3.3.9,此处的第i行与第j列成比例;所以由推论3.3.8,由命题3.3.9,此处的第i行与第j列成比例;所107例2计算行列式解:根据例题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以-1后,加到第二列和第三列的对应元素上),得这个行列式有两列成比例,所以根据推论3.3.8,D=0.例2计算行列式解:根据例题3.3.10,从D的第二108例3计算n阶行列式解:我们看到,D的每一列的元素的和都是n-1.把第二,第三,…,第n行都加到第一行上,得例3计算n阶行列式解:我们看到,D的每一列的元素的109根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得由第二,第三,…,第n行减去第一行,得由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积所以
根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得由第二,第三110练习选讲:练习选讲:111高等代数课件(北大三版)第三章行列式112高等代数课件(北大三版)第三章行列式1133.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开一、内容分布
3.4.1子式和代数余子式3.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.3拉普拉斯定理二、教学目的:1.掌握和理解子式和代数余子式的定义2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。三、重点难点:利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开一、内容分布1143.4.1.余子式与代数余子式定义1在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.例1在四阶行列式中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式3.4.1.余子式与代数余子式定义1在一个n阶行列式D中115定义2n(n>1)阶行列式的某一元素的余子式指的是在D中划去所在行和列后所余下的n-1阶子式.例2例1的四阶行列式的元素的余子式是定义2n(n>1)阶行列式的某一元素的余子式116定义3n阶行列式D的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子式.元素的代数余子式用符号来表示:例3例1中的四阶行列式D的元素的代数余子式定义3n阶行列式D的元素的余子式117定理3.4.1若在一个n阶行列式中,第i行(或第j列)的元素除外都是零,那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积:证我们只对行来证明这个定理1)先假定D和第一行的元素除外都是0,这时定理3.4.1若在一个n阶行列式中,第i行(或第j列)118我们要证明:也就是说:子式的每一项都可以写作(1)我们要证明:也就是说:子式的每一项都可以写作119此处是2,3,…,n这n-1个数码的一个排列,我们看项(1)与元素的乘积(2)这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上,因此它是D的一项,反过来,由于行列式D的每一项都含有第一行的一个元素,而第一行的元素除外都是零,因此D的每一项都可以写成(2)的形式。这就是说,D的每一项都是与它的子式的某一项的乘积,又的不同项是D的不同项,因此D与有相同的项。乘积(2)在D中的符号是此处是2,3,…,n这n-120另一方面,乘积(2)在的符号就是(1)在中的符号。乘积(1)在元素既然位在D的第2,3,…,n行与在第列,因此它位在的第1,2,…,n-1行与列,所以(1)在
中的符号应该是。显然,,这样,乘积(2)在
中的符号与在D中的符号一致。所以2)现在我们来看一般的情形,设另一方面,乘积(2)在的符号就是(1)121我们变动行列式D的行列,使位于第一行与第一列,并且保持的余子式不变。
为了达到这一目的,我们把D的第i行依次与第i-1,i-2,…,2,1行交换,这样,一共经过了i-1次交换两行的步骤,我们就把D的第i行换到第一行的位置。然后再把第j列依次与第j-1,j-2,…,2,1列交换,一共经过了j-1次交换两列的步骤,就被交换到第一行与第一列的位置上,这时,D变为下面形式的行列式:我们变动行列式D的行列,使位于第一122是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号,因此这样,定理得到证明。是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而1233.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.2n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即证我们只对行来证明,即证明(3),先把行列式D写成以下形式:3.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.2n阶行列式124也就是说,把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.3.9,D等于n个行列式的和:在这n个行列式的每一个中,除了第i行外,其余的行都与D的相应行相同。因此,每一行列式的第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元素的代数余子式相同。这样,由定理3.4.1,也就是说,把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.3125定理3.4.3n阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零,即(5)
(6)
证我们只证明等式(5)。看行列式定理3.4.3n阶行列式的某一126的第i行与第j行完全相同,所以=0。另一方面,与D仅有第j行不同,因此的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同,把依第j行展开,得因而的第i行与第j行完全相同,所以=0。另一方面127例4计算四阶行列式在这个行列式里,第三行已有一个元素是零,由第一列减去第三列的二倍,再把第三列加到第四列上,得:例4计算四阶行列式在这个行列式里,第三行已有一个元素是零128根据定理3.4.
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