高中数学必修二课件：圆的一般方程

第二章解析几何初步§2圆与圆的方程应用创新演练2.2圆的一般方程考点一考点二理解教材新知考点三把握热点考向第二章§2应用创新演练2.2考点一考点二理解教材新知考点高中数学必修二课件：圆的一般方程把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4.此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1.此方程表示一个点(－1,1)．问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝－1.由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程

称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F=01．圆的一般方程的定义x2＋y2＋Dx＋EyD2＋E2－4F>0D2＋E2－4F>01．圆的一般方程与标准方程可以互化1．圆的一般方程与标准方程可以互化2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的条件下才表示圆．2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，高中数学必修二课件：圆的一般方程[例1]判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．[思路点拨]

解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[例1]判断方程x2＋y2－4mx＋2my高中数学必修二课件：圆的一般方程高中数学必修二课件：圆的一般方程[一点通]

解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数是否相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．[一点通]解决这种类型的题目，一般先看高中数学必修二课件：圆的一般方程答案：A答案：A2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0.2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，x2的系数为2，y2的系数为1.∵2≠1，∴不能表示圆．(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，∵方程中含xy项，∴此方程不能表示圆．(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：D＝－2，E＝－4，F＝10.∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10＝20－40＝－20<0.∴此方程不能表示圆．法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆．(4)∵2x2＋2y2－4x＝0，∴x2＋y2－2x＝0，∴(x－1)2＋y2＝1.∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求高中数学必修二课件：圆的一般方程[例2]

已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．[思路点拨]

先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．[例2]已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(高中数学必修二课件：圆的一般方程则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.高中数学必修二课件：圆的一般方程高中数学必修二课件：圆的一般方程[一点通]

一般地，已知圆上的三个点的坐标或已知圆上的两点的坐标以及其他条件求圆的方程时，一般采用圆的一般方程求解．[一点通]一般地，已知圆上的三个点的坐标4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的

弦长等于6的圆的方程．4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F高中数学必修二课件：圆的一般方程整理得x2＋y2＋2x－3＝0，∴所求曲线方程即为x2＋y2＋2x－3＝0.将其左边配方，得(x＋1)2＋y2＝4，∴此曲线是以点C(－1,0)为圆心，2为半径的圆．如图.整理得x2＋y2＋2x－3＝0，

[例3]

如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？[思路点拨]

首先建立适当的平面直角坐标系，根据条件求出圆的方程，再应用方程求解．[例3]如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示[精解详析]以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，[精解详析]以圆拱桥顶为坐标原点，以高中数学必修二课件：圆的一般方程[一点通]

在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．[一点通]在解决圆在实际生活中的应用问6．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为5米的半圆形

隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车

篷篷顶距离地面的距离不得超过4米，试用数学

知识进行验证．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)，当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4米．6．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为5米的半圆形高中数学必修二课件：圆的一般方程高中数学必修二课件：圆的一般方程

圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要确定D、E、F的值．对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程对比如下：

圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要高中数学必修二课件：圆的一般方程高中数学必修二课件：圆的一般方程因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定理等可简化过程．因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注第二章解析几何初步§2圆与圆的方程应用创新演练2.2圆的一般方程考点一考点二理解教材新知考点三把握热点考向第二章§2应用创新演练2.2考点一考点二理解教材新知考点高中数学必修二课件：圆的一般方程把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4.此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1.此方程表示一个点(－1,1)．问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝－1.由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程

称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F=01．圆的一般方程的定义x2＋y2＋Dx＋EyD2＋E2－4F>0D2＋E2－4F>01．圆的一般方程与标准方程可以互化1．圆的一般方程与标准方程可以互化2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的条件下才表示圆．2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，高中数学必修二课件：圆的一般方程[例1]判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．[思路点拨]

解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[例1]判断方程x2＋y2－4mx＋2my高中数学必修二课件：圆的一般方程高中数学必修二课件：圆的一般方程[一点通]

解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数是否相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．[一点通]解决这种类型的题目，一般先看高中数学必修二课件：圆的一般方程答案：A答案：A2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0.2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，x2的系数为2，y2的系数为1.∵2≠1，∴不能表示圆．(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，∵方程中含xy项，∴此方程不能表示圆．(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：D＝－2，E＝－4，F＝10.∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10＝20－40＝－20<0.∴此方程不能表示圆．法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆．(4)∵2x2＋2y2－4x＝0，∴x2＋y2－2x＝0，∴(x－1)2＋y2＝1.∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求高中数学必修二课件：圆的一般方程[例2]

已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．[思路点拨]

先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．[例2]已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(高中数学必修二课件：圆的一般方程则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.高中数学必修二课件：圆的一般方程高中数学必修二课件：圆的一般方程[一点通]

一般地，已知圆上的三个点的坐标或已知圆上的两点的坐标以及其他条件求圆的方程时，一般采用圆的一般方程求解．[一点通]一般地，已知圆上的三个点的坐标4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的

弦长等于6的圆的方程．4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F高中数学必修二课件：圆的一般方程整理得x2＋y2＋2x－3＝0，∴所求曲线方程即为x2＋y2＋2x－3＝0.将其左边配方，得(x＋1)2＋y2＝4，∴此曲线是以点C(－1,0)为圆心，2为半径的圆．如图.整理得x2＋y2＋2x－3＝0，

[例3]

如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，