叠加定理定理最大传输量

叠加定理替代定理戴维南定理和诺顿定理根定理互易定理对偶原理第四章电路定理4-1叠加定理定理内容：

性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。所谓独立作用，指某一独立源作用时，其他独立源不作用(即置零)，即电流源相当于开路，电压源相当于短路。单独作用：不作用一个电源作用，其余电源不作用电压源（us=0)

短路电流源

(is=0)

开路举例说明：求所给电路中的i2。1节点1s221RR

R(

1

us

1

)u

i定理内容：由线性电阻、线性受控源及独立电源组成的电路中，每一元件的电流或电压可以看成是每一个独立电源单独作用于电路时，在该元件上产生的电流或电压的代数和。4-1叠加定理1s221RR

R(

1

us

1

)u

i2s222R11i

R

R

s

iR

R

R

u

u21=H11=H2电路体现出一种可叠加性。i2

H1us

H2is4-1叠加定理4-1

叠加定理使用叠加定理分析电路的优点：叠加性是线性电路的根本属性。叠加方法是分析电路的一大基本方法。通过它，可将电路复杂激励的问题转换为简单的单一激励问题，简化响应与激励的关系。例4-1：电路，求电压u3

的值。R12Ru310i14i1

6

siusi24A10V4-1

叠加定理解：这是一个含有受控源的电路，用叠加定理求解该题。对于电压

u3可以看作独立电压源和电流源共同作用下的响应。令电压源和电流源分别作用，但电路中受控源要保留，不能作为独立源进行分解。分解后的电路如图（a）、（b）所示，则电压u3

u34-1

叠加定理R1R2us1i2i10i1R1R2i12iu310i1

iS(a)电压源单独作用(b)

电流源单独作用4-1

叠加定理1R2Ru310i14i1

6

siusi24A10V=u3

+u3

u34+6对于（a）图：

i'

i'1

2

10

1A31 2u'

10i'

4i'

6V∴16+4对于（b）图：i-4

4

1.6A266+4i

4

2.4A根据KVL,有：u3

10i1

4i2

25.6V根据叠加定理，得3

33

u

u

u

6

25.6

19.6V4-1

叠加定理求：①is1

3A

is2

1②若网络N含有一电压源us,us单独作用s1求i

8A

is2

12A时ux

？4-1

叠加定理例4-2：

的线性电阻网络N，当is1

10A，is2

14A时，ux

100Vis1

10A，is2

10A时，ux

20VNxs1is

2i

时，ux

20V，其他数据仍有效，

＋u

－Ns1is

2i

＋

ux

－性，设k1is1

k2

s21其中

k

，为两个未知的比例系数。利用已知的条件，可知：10k1

14k2

100

k1

310k

10k

20

k

5

1

2

24-1

叠加定理解：电路有两个独立源激励，依据电路的叠加当iS1

3A,iS

2

12A时ux

3iS1

5iS

2

69V'

'1

2kk

，1k

，与第一问中的值是不一样的。由已知条件得：is1

is2

0,ux

20V,10k'

14k'

k'

u

1001 2 3 s10k'

10k'

k'

u

201 2 3 s①②③4-1

叠加定理网络N含有一电压源us，则：k

'i

k

'

i

k

'

u

u1

s1 2

s

2

3

s

x要注意，由于电路结构不同，这里的系数3

s又已知其他数据仍有效，即：k

'

u

20联立①②③式得：'1'k

3.33k

3.33

2s2所以，is1

8A时，有：s1

s

2

3

su

3.33i

3.33i

k

'

u

3.33is1

3.33is

2

20

88.67V4-1

叠加定理叠加定理的

：叠加定理只适用于线性电路；由于受控源不代表外界对电路的激励，所以做叠加处理时，受控源及电路的连接关系都要应保持不变；叠加是代数相加，要注意电流和电压的参考方向；由于功率不是电流或者电压的一次函数，所以功率不能叠加。当电路中含有多个独立源时，可将其分解为适当的几组，分别按组计算所求电流或者电压，然后再进行叠加。4-2

替代定理定理内容：在有唯一解的任意线性或者非线性网络中，若某一支路的电压为uk

、电流为ik

，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik

的独立电流源，替代后电路的整个（其他各支路）电压、电流值保持不变。U

1.5V，其中，R1R2us例4-3：已知电路试用替代定理求U1

。U

R3

34R

2U1

R5

24-2

替代定理解：设R3支路以左的网络为N。因为已知R3支路的电压及电阻，所以流过R3

的电流为：U

1.5

0.5AR3

3将R3支路用电流源代替，

。则替代后各支路电压电流值不变。由此可以得到：12U

0.5

2

0.5VNU1220.5A4-2

替代定理例4-4：在图所示电路中，已知N2

的VCR为u

i

2

，利用替代定理求

i1

的大小。N257.5u15V1i

1i14-2

替代定理。其VCR表达式为：解：假设11

左端电路为N1，则

N1

的最简3u2

Ai等效电路形式u

3i

6端口电压变量u和电流变量i应该同时满足N1

N2的VCR，因此有：u

i

2

u

3V

u

3i

6

i

1A4-2

替代定理15V7.553Vi115i

3

A4-2

替代定理根据题意，以us

3V的电压源替代

N2。求得：定理适用于线性和非线性网络，电路在替代前后要有“唯一解”。被替代的特定支路或端口与电路其他部分应无耦合关系或者控制与被控制的关系。因此，当电路中含有受控源时应保证其控制支路或被控制支路不能存在于被替代的电路部分中。替代不是等效，希望区分清楚。替代定理

：4-3

戴维南定理和诺顿定理在电路分析中，常常需要研究某一支路的电流、电压或功率是多少，对该支路而言，电路的其余部分可看成是一个有源二端网络，该有源二端网络可等效为较简单的电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路，以达到计算和分析简化的目的。戴维南定理和诺顿定理给出了这种等效的方法。这两个定理非常重要，是电路分析计算的有力工具。一、戴维南定理任何线性有源二端网络N，就其外特性而言，可以用一个电压源与电阻的串联支路等效置换，。Nuabi

uabRequoci4-3

戴维南定理和诺顿定理N0Req(a)(b)Nuoc电压

u

，如图(a)所示；oc串联电阻值等于有源二端网络所有独立源不作用时对应的网络N

在输0出端求得的等效输入电阻Req，如图(b)所示。这样的等效电路称为戴维南等效电路。4-3

戴维南定理和诺顿定理其中，电压源的电压值为该有源二端网络N的开路例4-5：求图示电路中电流

I

的大小。40K

10K10V4K20VabI解：将电流I流过的ab支路作为外电路，将ab端以左的电路用戴维南定理等效。先求ab端的开路电压uoc

，如图

(a)所示：4-3

戴维南定理和诺顿定理40K10K20Vabuoc10Vuoc40K

10Kab(b)

例题4-5等效电阻求解图eqR4-3

戴维南定理和诺顿定理(a)

例题4-5开路电压求解图容易求得：

uoc

18V用戴维南等效电路置换原ab端以左的电路部分，如图所示。得：ocu12VI8k4kb4-3

戴维南定理和诺顿定理再求Req

：将独立电压源短路，则ab端以左仅为两电阻的并联，如图(b)所示，则：Req

40KΩ

/a18

1.5mA4

8I

二、诺顿定理任何线性有源二端网络N，对其外特性而言，都可以用一个电流源与电阻的并联支路来代替。其中电流源电流值为有源二端网络输出端的短路电流

isc

，并联电阻值为该有源二端网络内所有独立源置零后对应的网络

N0在输出端求得的等效输入电阻

Req

。4-3

戴维南定理和诺顿定理Nuabi

ubiscReq

i

a诺顿定理示意图4-3

戴维南定理和诺顿定理诺顿定理是戴维南定理的推论，与戴维南定理互为对偶定理。uRuoc

isc

Reqi

oceq

sc应用戴维南和诺顿定理应注意：戴维南和诺顿定理只适用线性电路；戴维南等效电路与诺顿电路可以互相转换，

。转换时应根据等效原则，即端口处的VCR要相同。等效变换关系见式（a）。其中应特别注意开路电uoc压

参考极性和短路电is流c参考方向的对应关系；式（a）4-3

戴维南定理和诺顿定理sc

iiReq

uiuocRequ戴维南电路与诺顿电路等效变换图(3)当网络

含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。即该有源二端网络与外电路不能有耦合关系；(4)若求得N的等效电阻

Req

则戴维南等效电路不存在；若Req

0，则诺顿等效电路不存在。4-3

戴维南定理和诺顿定理T

等效变换关系直接计算

Req

。三、等效内阻

Req

的计算网络不含受控源：当有源二端网络N

独立源置零后，若网络

全是电阻元件而不含有受控源，可以直接利用前面章节中介绍的电阻串并联及4-3

戴维南定理和诺顿定理置零，受控源保持不变。然后对除源网络（记为N

）外加0一电压源u。设在该电压源作用下其端口电流为i，如图所示，则等效输入电阻定义为：eqRi

uiuN0加压法求等效电阻示意图网络含有受控源：1.外加电压法先将网络N

所有独立电源4-3

戴维南定理和诺顿定理i1K

1K10V例4-6：求图所示电路中ab端的戴维南等效电路。0.5iab4-3

戴维南定理和诺顿定理解：先求开路电压uoc因为题图电路为开路状态，端口电流为零，所以开路电压即为电压源电压，有uoc

10V再求等效电阻

Req。因含有受控源，用外加电压法。4-3

戴维南定理和诺顿定理将10V电压源作短路处理。受控电流源与电阻的并联电路可等效为受控电压源与电阻的串联形式。这样变换可使计算简单。在ab端施加一个电压为u的电压源，在该电压源作用下，端电流为i，1K1K500i。aubi4-3

戴维南定理和诺顿定理ba10V1500列写KVL方程，有：u

500i

2000i

1500ieqiR

u

1500∴戴维南等效电路图ab端的等效戴维南电路。4-3

戴维南定理和诺顿定理eqscRi

uoc短路电流

isc，

。则：ocNuababNisc开路电压短路电流法示意图应该特别注意开路电压参考极性与短路电流参考方向的对应关系，注意与外加电压法求解的区别。4-3

戴维南定理和诺顿定理2.开路电压短路电流法对于某线性有源二端网络N，若分别将其开路和短路，可求得两种情况下的开路电压uoc

与例4-7：求图所示电路中的电压u12214ii112V20Vabu1

1解：将ab端以左的电路用戴维南定理等效。4-3

戴维南定理和诺顿定理24i112Vab2

uocli，列写回路l的i1先求开路电压uoc

，方程。有：2i

2(i1

4i1)

12

2i11i

1Auoc

25i1

10V4-3

戴维南定理和诺顿定理isc224i112Vabiisc再求短路电流

。。因为2电阻被短路，所以电流i为零。列写KVL方程，有：i112

2i1i1

6Asci

i1

4i1

5i1

30A根据开路电压短路电流法有：eqscRi

30

3

uoc

10

1

4-3

戴维南定理和诺顿定理戴维南等效电路

，由此易求得：304Vu1

eqRuoc120Vi1a

ub1也可以用外加电压源法求例4-7的戴维南等效电路，求解过程请同学自行练习，此处从略。4-3

戴维南定理和诺顿定理例4-8：求图中ab端的戴维南等效电路。i02237A103uu02i0

ab解：为简化分析，先对电路进行必要的等效变换，如下图所示。注意图中对应u0

位置的变化。4-3

戴维南定理和诺顿定理0i2237V1u09u0uocab2i0i4-3

戴维南定理和诺顿定理先求开路电压

uoci0

00i(2

310u

35

V3

3i

56

Auoc

9u0

3i

49V列回路KVL方程，有：又

u0

7解得：所以有4-3

戴维南定理和诺顿定理Req。uoc已经is即c可。电路本题用开路电压短路电流法求得到，则只要求出短路电流。0i2

237V1u09u0ab2i0iiscim1m

2i4-3

戴维南定理和诺顿定理349Vab用网孔电流法求解。方程如下：6i1

3i2

2i0

9u0

7i0

i2eqsci

uoc3

33i1

5i2

9u0约束方程为：u049解得：

i2

isc

A所以：R戴维南等效电路。例4-8化简电路4-3

戴维南定理和诺顿定理4-4

根定理根定理也是电路理论中的一个重要定理。与KVL和KCL一样，它属于电路的拓扑约束，即根定理要求不

路要具有相同的连接形式，至于构成电路的具体元件则对定理的结论没有影响。根定理有两种表达形式。根定理I：具有b条支路、n个节点的任意集数网络N，在任意瞬间t，各支路电压与其支路电流乘积的代数和恒为零，即：bk

1

0ukik该定理对任何集

数电路都适用，它实质上是功率守恒的体现，说明各支路吸收的功率代数和为零，因此该定理也称为功率守恒定理。4-4

根定理1i1

...

ib

,

ib

,

u1

...

ub；i1

...根定理II：若两个网络N

和N由不同元件构成，但是它们有相同的拓扑结构图。设各支路电流、电压取关联参考方向，分别表示为：则在任意时间t，有：b

bk

kk

1uˆk

ikk

1

u

iˆ

04-4根定理由定理II可以看到，它表示不

路的对应支路电压与电流所应遵循的数值约束关系。这两种乘积都有功率的量纲，但并不是实际支路的功率，因此

也称定理II为拟功率守恒定理。根定理II比I更为重要，它将不同网络的支路电压和电流以数值形式结合了起来，因此应用更广泛。4-4

根定理注意：若支路电压，电流不是关联方向，则相应电流和电压的乘积项符号的正负要改变。不

路所对应的支路电流和电压参考方向和参考极性的取法应该严格保持一致。4-4根定理例4-9：电路如题图所示，N0为纯电阻电路，不含独立源和受控源。已知两次测量值为：1R2

2K,Rˆ2

1K,u1

4V,

i1

2mA,

u2

2Vuˆ1

6V,

iˆ

4mA①②求：

第二次的电压

uˆ2

的值。1uN0R2

i11u2

uˆN0ˆ2uˆR2

1i2

iˆ2iˆ(a)(b)4-4

根定理解：虽然前后两次测量所用的电路参数有所改变，但是电路的结构却完全相同，因此可以用根定理将两个电路联系在一起。设网络N0有b条支路，则由

根定理II，得：b

b1

1 2

2

k

k

1

1 2

2

k

ku

iˆ

u

iˆ

u

iˆ

0

uˆ

i

uˆ

i

uˆ

i其中，因为N0

外部的电压源和电阻上电流和电压取非关联方向，所以①式中方程左右前两项前面符号取负。①4-4

根定理②uk

iˆ

i

Riˆ

i

(iˆ

R)

i

uˆk

k

k

k

k

k

k将式②代入式①，则有：u1

iˆ

u

iˆ

uˆ

i

uˆ

i1 2

2 1

1 2

2③4-4

根定理又因为网络为线性电阻网络，所以其包含b条支路的电流、电压应满足欧姆定律。设电流、电压都取关联方

于每条支路，应有：22i2

R将其代入③式并代入已知数据，有：14

4

2

uˆ2

6

2

uˆ

2

2

2

uˆ2

4V4-4

根定理由题图，应有4-5

互易定理互易特性是线性网络的重要性质之一。

网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，若同一激励所产生的响应不变,则网络是具有互易性的网络，称为互易网络。互易定理是对网络这种性质的概括。互易定理共有三种表达形式：11

2ˆi

i互易定理形式I：如图(a)所示,不含有独立源和受控源的线性网络N0

中，在

11

端接入电压源

us，设22端的短路电流

i2

为唯一激励

us

产生的响应。若将电压源移动至支路22，如图(b)所示，设支路11产生的响应为短路电流

iˆ

，则有4-5

互易定理N0u2i1i222'1'suN021iˆ2

iˆ2'1'us1

1uˆ1(a)(b)N0u2i1i222'1'su1N021iˆ2

iˆ2'1'us1uˆ1(a)(b)互易定理形式I示意图4-5

互易定理uˆ1

u2线性网络

N0中，在11

端接入电流源

i，s

设22端的开路电压u2为唯一激励

is

产生的响应。若将电流源移动至支路2，2

如图

(b)所示，设支路11产生的响应为开路电压uˆ1

，则有4-5

互易定理互易定理形式II：如图

(a)所示的不含有独立源和受控源的N0u22'1'is1

2N0uˆ12'1'1

2is(a)(b)N0u222'1'is1N0uˆ122'1'1is(a)(b)互易定理形式II示意图4-5

互易定理互易定理形式Ⅲ：如图(b)所示，而且在数值上有设支路

11

产生的响应为开路电压

uˆ1

，则在数值关系上有

uˆ1

i2如图(a)所示的不含有独立源和受控源的线性网络

N0

中，在11

端接入电流源

i，s

设22端的短路电流i2

为唯一激励is

产生的响应。若将电流源

is

换成电压源

us

移动至支路22is

，4-5

互易定理isN0uˆ122'1'1usN02i22'1'1(a)(b)isN0uˆ122'1'1usN02i22'1'1(a)(b)互易定理形式III示意图4-5

互易定理4-5

互易定理注意：互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源与某支路互易；互易定理不适用于含受控源的网络。互易前后激励与响应的参考方向和极性要保持一致;(4)互易定理可以与电路齐次特性结合使用：若互易后激励为原来激励的k倍，则互易后

的响应也为原来响应的k倍；（5）若网络含有多个独立电源时，分别考虑电源的单独作用，再配合叠加定理求出总响应。4-5

互易定理4-6

对偶原理回顾前面所学的内容，容易发现某些电路结构、变量、元件分析方法和定理等都具有明显的类比性质。例如，对于图示电阻元件在电流、电压取关联参考方向时，VCR的约束可表达为下面两个公式：i

u

R(G)i

uGu

iR

①②i

u

,

R

G在①式中，若将u

i,