高考数学复习导数题型练习题（含答案解析）

押/r/n第/r/n22/r/n题/r/n/r/n导数/r/n/r/n/r/n命题研究/r/n导数的应用也/r/n一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最/r/n值问题/r/n是高考考查的重点内容，有时也会考查导数的运算/r/n、/r/n导数的几何意义等/r/n，比较综合/r/n./r/n解题秘籍/r/n1/r/n．/r/n导数的几何意义的应用/r/n：/r/n（/r/n1/r/n）已知切点/r/nP/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，求/r/ny/r/n=/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n过点/r/nP/r/n的切线方程：求出切线的斜率/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n，由点斜式写出方程；/r/n（/r/n2/r/n）已知切线的斜率为/r/nk/r/n，求/r/ny/r/n=/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n的切线方程：设切点/r/nP/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，通过方程/r/nk/r/n=/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n解得/r/nx/r/n0/r/n，再由点斜式写出方程；/r/n（/r/n3/r/n）已知切线上一点/r/n(/r/n非切点/r/n)/r/n，求/r/ny/r/n=/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n的切线方程：设切点/r/nP/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，利用导数求得切线斜率/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n，再由斜率公式求得切线斜率，列方程/r/n(/r/n组/r/n)/r/n解得/r/nx/r/n0/r/n，最后由点斜式或两点式写出方程．/r/n（/r/n4/r/n）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由/r/nk/r/n=/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n求出切点坐标/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，最后写出切线方程．/r/n（/r/n5/r/n）/r/n①/r/n在点/r/nP/r/n处的切线即是以/r/nP/r/n为切点的切线，/r/nP/r/n一定在曲线上/r/n./r/n②/r/n过点/r/nP/r/n的切线即切线过点/r/nP/r/n，/r/nP/r/n不一定是切点．因此在求过点/r/nP/r/n的切线方程时，应首先检验点/r/nP/r/n是否在已知曲线上．/r/n2/r/n．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式/r/n（/r/n）在给定/r/n区间上恒成立/r/n．一般步骤为：/r/n（/r/n1/r/n）求/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n)/r/n；/r/n（/r/n2/r/n）确认/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n)/r/n在/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n内的符号；/r/n（/r/n3/r/n）/r/n作出/r/n结论，/r/n时为增函数，/r/n时为减函数．/r/n3/r/n．由函数/r/n的单调性求参数的取值范围的方法/r/n（/r/n1/r/n）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上/r/n(/r/n或/r/n)(/r/n在该区间的任意子区间内都不恒等于/r/n0)/r/n恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；/r/n（/r/n2/r/n）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是/r/n(/r/n或/r/n)/r/n在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；/r/n（/r/n3/r/n）若已知/r/n在区间/r/nI/r/n上的单调性，区间/r/nI/r/n中含有参数时，可先求出/r/n的单调区间，令/r/nI/r/n是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围/r/n./r/n4/r/n．（/r/n1/r/n）求函数/r/n极值的方法：/r/n①/r/n确定函数/r/n的定义域．/r/n②/r/n求导函数/r/n．/r/n③/r/n求方程/r/n的根．/r/n④/r/n检查/r/n在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左/r/n正右负/r/n，那么/r/n在这个根处取得极大值；如果/r/n左负右正/r/n，那么/r/n在这个根处取得极小值；如果/r/n在这个根的左、右两侧符号不变，则/r/n在这个根处没有极值．/r/n（/r/n2/r/n）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，/r/n求导数/r/n，求方程/r/n的根的情况，/r/n得关于/r/n参数的方程/r/n(/r/n或不等式/r/n)/r/n，进而确定参数的取值或范围/r/n./r/n5/r/n．求函数/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在/r/n[/r/na/r/n，/r/nb/r/n]/r/n上最值的方法/r/n（/r/n1/r/n）若函数/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在/r/n[/r/na/r/n，/r/nb/r/n]/r/n上单调递增或递减，则/r/nf/r/n(/r/na/r/n)/r/n与/r/nf/r/n(/r/nb/r/n)/r/n一个为最大值，一个为最小值．/r/n（/r/n2/r/n）若函数/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在区间/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n内有极值，先求出函数/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在区间/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n上的极值，与/r/nf/r/n(/r/na/r/n)/r/n、/r/nf/r/n(/r/nb/r/n)/r/n比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．/r/n（/r/n3/r/n）函数/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在区间/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n上有唯一/r/n一个/r/n极值点时，这个极值点就是最大/r/n(/r/n或最小/r/n)/r/n值点．/r/n真题回顾/r/n1/r/n．（/r/n2021·/r/n浙江/r/n·/r/n高考真题）设/r/na/r/n，/r/nb/r/n为实数，且/r/n，函数/r/n（/r/n1/r/n）求函数/r/n的单调区间；/r/n（/r/n2/r/n）若对任意/r/n，函数/r/n有两个不同的零点，求/r/na/r/n的取值范围；/r/n（/r/n3/r/n）当/r/n时，证明：对任意/r/n，函数/r/n有两个不同的零点/r/n，满足/r/n./r/n(/r/n注：/r/n是自然对数的底数/r/n)/r/n【详解】/r/n(1)/r/n，/r/n①/r/n若/r/n，则/r/n，所以/r/n在/r/n上单调递增；/r/n②/r/n若/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n单调递减，/r/n当/r/n时，/r/n单调递增/r/n./r/n综上可得，/r/n时，/r/n在/r/n上单调递增；/r/n时，函数的单调减区间为/r/n，单调增区间为/r/n./r/n(2)/r/n有/r/n2/r/n个不同零点/r/n有/r/n2/r/n个不同解/r/n有/r/n2/r/n个不同的解，/r/n令/r/n，则/r/n，/r/n记/r/n，/r/n记/r/n，/r/n又/r/n，所以/r/n时，/r/n时，/r/n，/r/n则/r/n在/r/n单调递减，/r/n单调递增，/r/n，/r/n./r/n即实数/r/n的取值范围是/r/n./r/n(3)/r/n[/r/n方法/r/n一/r/n]/r/n【最优解】：/r/n有/r/n2/r/n个不同零点，则/r/n，故函数的零点一定为正数/r/n./r/n由/r/n(2)/r/n可知有/r/n2/r/n个不同零点，/r/n记较大/r/n者为/r/n，较小者为/r/n，/r/n，/r/n注意到函数/r/n在区间/r/n上单调递减，在区间/r/n上单调递增，/r/n故/r/n，又由/r/n知/r/n，/r/n，/r/n要证/r/n，只需/r/n，/r/n且关于/r/n的函数/r/n在/r/n上单调递增，/r/n所以/r/n只需证/r/n，/r/n只需证/r/n，/r/n只需证/r/n，/r/n，/r/n只需证/r/n在/r/n时为正，/r/n由于/r/n，故函数/r/n单调递增，/r/n又/r/n，故/r/n在/r/n时为正，/r/n从而题中的不等式得证/r/n./r/n[/r/n方法二/r/n]/r/n：分析/r/n+/r/n放缩法/r/n有/r/n2/r/n个不同零点/r/n，不妨设/r/n，由/r/n得/r/n（其中/r/n）．/r/n且/r/n．/r/n要证/r/n，/r/n只需证/r/n，即证/r/n，/r/n只需证/r/n．/r/n又/r/n，所以/r/n，即/r/n．/r/n所以/r/n只需证/r/n．而/r/n，所以/r/n，/r/n又/r/n，所以/r/n只需证/r/n．/r/n所以/r/n，原命题得证．/r/n[/r/n方法三/r/n]/r/n：/r/n若/r/n且/r/n，则满足/r/n且/r/n，由（/r/nⅡ/r/n）知/r/n有两个零点/r/n且/r/n．/r/n又/r/n，故进一步有/r/n．/r/n由/r/n可得/r/n且/r/n，从而/r/n．．/r/n因为/r/n，/r/n所以/r/n，/r/n故/r/n只需证/r/n．/r/n又因为/r/n在区间/r/n内单调递增，故/r/n只需证/r/n，即/r/n，注意/r/n时有/r/n，故不等式成立．/r/n2/r/n．（/r/n2021·/r/n天津/r/n·/r/n高考真题）已知/r/n，函数/r/n．/r/n（/r/nI/r/n）求曲线/r/n在点/r/n处的切线方程：/r/n（/r/nII/r/n）证明/r/n存在唯一的极值点/r/n（/r/nIII/r/n）若存在/r/na/r/n，使得/r/n对任意/r/n成立，求实数/r/nb/r/n的取值范围．/r/n【详解】/r/n（/r/nI/r/n）/r/n，则/r/n，/r/n又/r/n，则切线方程为/r/n；/r/n（/r/nII/r/n）令/r/n，则/r/n，/r/n令/r/n，则/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n单调递减；当/r/n时，/r/n，/r/n单调递增，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，当/r/n时，/r/n，画出/r/n大致图像如下：/r/n所以当/r/n时，/r/n与/r/n仅有一个交点，令/r/n，则/r/n，且/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，则/r/n，/r/n单调递增，/r/n当/r/n时，/r/n，则/r/n，/r/n单调递减，/r/n为/r/n的极大值点，故/r/n存在唯一的极值点；/r/n（/r/nIII/r/n）由（/r/nII/r/n）知/r/n，此时/r/n，/r/n所以/r/n，/r/n令/r/n，/r/n若存在/r/na/r/n，使得/r/n对任意/r/n成立，等价于存在/r/n，使得/r/n，即/r/n，/r/n，/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n单调递减，当/r/n时，/r/n，/r/n单调递增，/r/n所以/r/n，故/r/n，/r/n所以实数/r/nb/r/n的取值范围/r/n./r/n3/r/n．（/r/n2021·/r/n北京/r/n·/r/n高考真题）已知函数/r/n．/r/n（/r/n1/r/n）若/r/n，求曲线/r/n在点/r/n处的切线方程；/r/n（/r/n2/r/n）若/r/n在/r/n处取得极值，求/r/n的单调区间，以及其最大值与最小值．/r/n【详解】/r/n（/r/n1/r/n）当/r/n时，/r/n，则/r/n，/r/n，/r/n，/r/n此时，曲线/r/n在点/r/n处的切线方程为/r/n，即/r/n；/r/n（/r/n2/r/n）因为/r/n，则/r/n，/r/n由题意可得/r/n，解得/r/n，/r/n故/r/n，/r/n，列表如下：/r/n增/r/n极大值/r/n减/r/n极小值/r/n增/r/n所以，函数/r/n的增区间为/r/n、/r/n，单调递减区间为/r/n./r/n当/r/n时，/r/n；当/r/n时，/r/n./r/n所以，/r/n，/r/n./r/n4/r/n．（/r/n2021·/r/n全国/r/n·/r/n高考真题）已知函数/r/n．/r/n（/r/n1/r/n）讨论/r/n的单调性；/r/n（/r/n2/r/n）从下面两个条件中选一个，证明：/r/n只有一个零点/r/n①/r/n；/r/n②/r/n．/r/n【详解】/r/n(1)/r/n由函数的解析式可得：/r/n，/r/n当/r/n时，若/r/n，则/r/n单调递减，/r/n若/r/n，则/r/n单调递增；/r/n当/r/n时，若/r/n，则/r/n单调递增，/r/n若/r/n，则/r/n单调递减，/r/n若/r/n，则/r/n单调递增；/r/n当/r/n时，/r/n在/r/n上单调递增；/r/n当/r/n时，若/r/n，则/r/n单调递增，/r/n若/r/n，则/r/n单调递减，/r/n若/r/n，则/r/n单调递增；/r/n(2)/r/n若选择条件/r/n①/r/n：/r/n由于/r/n，故/r/n，则/r/n，/r/n而/r/n，/r/n而函数在区间/r/n上单调递增，故函数在区间/r/n上有一个零点/r/n./r/n，/r/n由于/r/n，/r/n，故/r/n，/r/n结合函数的单调性可知函数在区间/r/n上没有零点/r/n./r/n综上可得，题中的结论成立/r/n./r/n若选择条件/r/n②/r/n：/r/n由于/r/n，故/r/n，则/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n，/r/n而函数在区间/r/n上单调递增，故函数在区间/r/n上有一个零点/r/n./r/n当/r/n时，构造函数/r/n，则/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n单调递减，/r/n当/r/n时，/r/n单调递增，/r/n注意到/r/n，故/r/n恒/r/n成立，从而有：/r/n，此时：/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n取/r/n，则/r/n，/r/n即：/r/n，/r/n而函数在区间/r/n上单调递增，故函数在区间/r/n上有一个零点/r/n./r/n，/r/n由于/r/n，/r/n，故/r/n，/r/n结合函数的单调性可知函数在区间/r/n上没有零点/r/n./r/n综上可得，题中的结论成立/r/n./r/n5/r/n．（/r/n2021·/r/n全国/r/n·/r/n高考真题）已知函数/r/n./r/n（/r/n1/r/n）讨论/r/n的单调性；/r/n（/r/n2/r/n）设/r/n，/r/n为两个不相等的正数，且/r/n，证明：/r/n./r/n【详解】/r/n(1)/r/n的定义域为/r/n．/r/n由/r/n得，/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n；当/r/n时/r/n；当/r/n时，/r/n．/r/n故/r/n在区间/r/n内为增函数，在区间/r/n内为减函数，/r/n(2)/r/n[/r/n方法/r/n一/r/n]/r/n：等价转化/r/n由/r/n得/r/n，即/r/n．/r/n由/r/n，得/r/n．/r/n由（/r/n1/r/n）不妨设/r/n，则/r/n，从而/r/n，得/r/n，/r/n①/r/n令/r/n，/r/n/r/n则/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n在区间/r/n内为减函数，/r/n，/r/n从而/r/n，所以/r/n，/r/n由（/r/n1/r/n）得/r/n即/r/n．/r/n①/r/n令/r/n，则/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n在区间/r/n内为增函数，/r/n，/r/n从而/r/n，所以/r/n．/r/n又由/r/n，可得/r/n，/r/n所以/r/n．/r/n②/r/n由/r/n①②/r/n得/r/n．/r/n[/r/n方法二/r/n]/r/n【最优解】：/r/n变形为/r/n，所以/r/n．/r/n令/r/n．则上式变为/r/n，/r/n于是命题转换为证明：/r/n．/r/n令/r/n，则有/r/n，不妨设/r/n．/r/n由（/r/n1/r/n）知/r/n，/r/n先证/r/n．/r/n要证：/r/n．/r/n令/r/n，/r/n则/r/n，/r/n在区间/r/n内单调递增，所以/r/n，即/r/n．/r/n再证/r/n．/r/n因为/r/n，所以/r/n．/r/n令/r/n，/r/n所以/r/n，故/r/n在区间/r/n内单调递增．/r/n所以/r/n．故/r/n，即/r/n．/r/n综合可知/r/n．/r/n[/r/n方法三/r/n]/r/n：比值代换/r/n证明/r/n同证法/r/n2/r/n．以下证明/r/n．/r/n不妨设/r/n，则/r/n，/r/n由/r/n得/r/n，/r/n，/r/n要证/r/n，/r/n只需证/r/n，两边取对数得/r/n，/r/n即/r/n，/r/n即证/r/n．/r/n记/r/n，则/r/n./r/n记/r/n，则/r/n，/r/n所以，/r/n在区间/r/n内单调递减．/r/n，则/r/n，/r/n所以/r/n在区间/r/n内单调递减．/r/n由/r/n得/r/n，所以/r/n，/r/n即/r/n．/r/n[/r/n方法四/r/n]/r/n：构造函数法/r/n由已知得/r/n，令/r/n，/r/n不妨设/r/n，所以/r/n．/r/n由（/r/nⅠ/r/n）知，/r/n，/r/n只需证/r/n．/r/n证明/r/n同证法/r/n2/r/n．/r/n再证明/r/n．令/r/n．/r/n令/r/n，则/r/n．/r/n所以/r/n，/r/n在区间/r/n内单调递增．/r/n因为/r/n，所以/r/n，即/r/n又因为/r/n，所以/r/n，/r/n即/r/n．/r/n因为/r/n，所以/r/n，即/r/n．/r/n综上，有/r/n结论得证．/r/n押题冲关/r/n1/r/n．（/r/n2022·/r/n天津/r/n·/r/n一/r/n模）已知函数/r/n，/r/n./r/n(1)/r/n若曲线/r/n在点/r/n处的切线的斜率为/r/n4/r/n，求/r/na/r/n的值；/r/n(2)/r/n当/r/n时，求/r/n的单调区间；/r/n(3)/r/n已知/r/n的导函数在区间/r/n上存在零点/r/n./r/n求证：当/r/n时，/r/n./r/n【解析】/r/n(1)/r/n函数/r/n的定义域为/r/n，/r/n由/r/n，可得/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n所以/r/n./r/n(2)/r/n由（/r/n1/r/n）得/r/n，/r/n，/r/n①/r/n当/r/n时，令/r/n，解得/r/n或/r/n，/r/n令/r/n，解得/r/n./r/n所以，函数/r/n的单调递增区间为/r/n和/r/n，单调递减区间为/r/n./r/n②/r/n当/r/n时，/r/n，所以，函数/r/n的单调递增区间为/r/n，/r/n③/r/n当/r/n时，令/r/n，解得/r/n或/r/n，/r/n令/r/n，解得/r/n，/r/n所以，函数/r/n的单调递增区间为/r/n和/r/n，单调递减区间为/r/n./r/n(3)/r/n因为导函数/r/n在区间/r/n上存在零点，则/r/n，/r/n由（/r/n2/r/n）可知/r/n在/r/n上单调递减，在/r/n单调递增，/r/n所以/r/n在/r/n上的最小值为/r/n，/r/n设/r/n，/r/n，/r/n，/r/n令/r/n，因为/r/n，/r/n所以，/r/n在/r/n上单调递减，/r/n又/r/n，所以/r/n在/r/n上单调递减，/r/n又因为/r/n，/r/n所以/r/n，即/r/n，/r/n所以当/r/n时，/r/n./r/n2/r/n．（/r/n2022·/r/n福建/r/n·/r/n模拟预测）已知函数/r/n./r/n(1)/r/n当/r/n时，求函数/r/n的极值；/r/n(2)/r/n若曲线/r/n有/r/n，/r/n两个零点/r/n./r/n（/r/ni/r/n）求/r/n的取值范围；/r/n（/r/nii/r/n）证明：存在一组/r/n，/r/n（/r/n），使得/r/n的定义域和值域均为/r/n./r/n【解析】/r/n(1)/r/n函数定义域是/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n，则，令，解得/r/n，/r/n列表可知/r/n1/r/n+/r/n0/r/n－/r/n单调递增/r/n1/r/n单调递减/r/n的极大值为/r/n，无极小值；/r/n(2)/r/n（/r/ni/r/n）解：由题意可知，/r/n有两解，即/r/n有两解，/r/n设/r/n，则，令，解得/r/n（/r/n舍去），/r/n列表可知，/r/n+/r/n0/r/n－/r/n单调递增/r/n极大值/r/n单调递减/r/n，/r/n因为/r/n有两个零点，所以/r/n，解得/r/n，/r/n当/r/n时，有/r/n，可得/r/n，/r/n令/r/n，有，/r/n时，/r/n．/r/n时，/r/n，可得函数/r/n的减区间为/r/n，增区间为/r/n，/r/n有/r/n，可得/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n./r/n所以存在/r/n，/r/n，使得/r/n，所以/r/n；/r/n（/r/nii/r/n）证明：因为/r/n，令，解得/r/n，/r/n列表可知，/r/n+/r/n0/r/n－/r/n单调递增/r/n极大值/r/n单调递减/r/n在/r/n上单调递增，在/r/n上单调递减，/r/n①/r/n若/r/n，则/r/n在/r/n上单调递增，因此/r/n，/r/n，由上可/r/n知取/r/n，/r/n，此时/r/n，/r/n，所以当/r/n时，存在一组/r/n，/r/n符合题意；/r/n②/r/n若/r/n，则/r/n在/r/n上单调递减，所以/r/n，/r/n，/r/n所以/r/n，即/r/n，不符题意；/r/n③/r/n若/r/n，/r/n/r/n在/r/n上单调递增，在/r/n上单调递减，/r/n所以/r/n，由/r/n得/r/n，/r/n又因为/r/n，所以/r/n，/r/n即/r/n，/r/n，所以当/r/n时，存在一组/r/n，/r/n符合题意；/r/n综上，存在一组/r/n，/r/n符合题意/r/n./r/n3/r/n．（/r/n2022·/r/n湖南/r/n·/r/n雅礼中学二模）已知函数/r/n，且正数/r/na/r/n，/r/nb/r/n满足/r/n(1)/r/n讨论/r/nf/r/n（/r/nx/r/n）的单调性；/r/n(2)/r/n若/r/n的零点为/r/n，/r/n，且/r/nm/r/n，/r/nn/r/n满足/r/n，求证：/r/n./r/n（/r/n其中/r/n……/r/n是自然对数的底数）/r/n【解析】/r/n(1)/r/n令/r/n，则由题可知/r/n，/r/n即/r/n，所以/r/n，即/r/n，/r/n因为/r/n/r/n，/r/n令/r/n，则/r/n，且对称轴/r/n，/r/n，易得当/r/n时，/r/n在/r/n单调递减，在/r/n单调递增，/r/n当/r/n时，/r/n在/r/n单调递减；/r/n(2)/r/n，/r/n由/r/n且/r/n知/r/n在/r/n单调递增，在/r/n单调递减，/r/n又/r/n，令/r/n，则/r/n，即/r/n，/r/n由（/r/n1/r/n）知/r/n，/r/n，/r/n即有/r/n，/r/n，/r/n两式相减得/r/n，/r/n即/r/n，整理得/r/n./r/n4/r/n．（/r/n2022·/r/n重庆八中模拟预测）已知函数/r/n./r/n(1)/r/n若/r/n在/r/n单调递增，求/r/na/r/n的取值范围/r/n./r/n(2)/r/n若/r/n，且/r/n，求/r/na/r/n./r/n【解析】/r/n(1)/r/n解：因为/r/n定义域为/r/n，/r/n若/r/n时/r/n，所以/r/n在/r/n单调递增，满足条件；/r/n若/r/n时，令/r/n，则/r/n，所以当/r/n时/r/n，即/r/n在/r/n上单调递增，又/r/n，/r/n，/r/n所以/r/n，当/r/n时/r/n，即/r/n，所以/r/n在/r/n上单调递减，/r/n当/r/n时/r/n，即/r/n，所以/r/n在/r/n上单调递增，不符合题意，/r/n综上可得/r/n(2)/r/n解：若/r/n，由（/r/n1/r/n）可知/r/n，/r/n在/r/n上单调递减，在/r/n上单调递增，且/r/n，所以/r/n的最小值为/r/n，/r/n令/r/n，则/r/n，/r/n所以当/r/n时/r/n，当/r/n时/r/n，/r/n故/r/n在/r/n上单调递增，在/r/n上单调递减，所以/r/n，/r/n由/r/n，所以当且仅当/r/n，即/r/n时条件成立，所以/r/n5/r/n．（/r/n2022·/r/n江苏/r/n·/r/n南京市第一中学三模）已知函数/r/n．/r/n(1)/r/n证明：/r/n；/r/n(2)/r/n若/r/n，证明：/r/n．/r/n【解析】/r/n(1)/r/n解：因为/r/n，/r/n所以/r/n，/r/n所以函数/r/n在/r/n上单调递减，/r/n所以/r/n，即/r/n./r/n(2)/r/n解：由（/r/n1/r/n）/r/n知/r/n，故/r/n，/r/n所以/r/n，/r/n所以，令/r/n，则/r/n，/r/n下面用数学归纳法证明/r/n./r/n①/r/n当/r/n时，/r/n，故成立；/r/n②/r/n假设/r/n时，/r/n，/r/n即/r/n成立，/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n由于/r/n所以，当/r/n时，不等式成立/r/n./r/n综上/r/n①②/r/n，不等式/r/n成立/r/n./r/n考前预测/r/n（/r/n限时/r/n：/r/n30/r/n分钟）/r/n1/r/n．记/r/n，/r/n为/r/n的导函数．若对/r/n，/r/n，则称函数/r/n为/r/n上的/r/n“/r/n凸函数/r/n”/r/n．已知函数/r/n，/r/n．/r/n（/r/n1/r/n）若函数/r/n为/r/n上的凸函数，求/r/n的取值范围；/r/n（/r/n2/r/n）若函数/r/n在/r/n上有极值，求/r/n的取值范围．/r/n【详解】/r/n（/r/n1/r/n）/r/n，/r/n若函数/r/n为/r/n上的凸函数，则/r/n，即/r/n，/r/n令/r/n，/r/n，则当/r/n时，/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n；当/r/n时，/r/n；/r/n当/r/n时，/r/n单调递减；当/r/n时，/r/n单调递增，/r/n，/r/n，解得：/r/n，/r/n的取值范围为/r/n./r/n（/r/n2/r/n）/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上有极值，/r/n在/r/n有变号零点，/r/n，令/r/n，则/r/n，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n；/r/n①/r/n当/r/n，即/r/n时，/r/n，/r/n在/r/n上单调递增，/r/n．即/r/n，/r/n在/r/n无零点，不合题意；/r/n②/r/n当/r/n，即/r/n时，则/r/n，使得/r/n，/r/n当/r/n时，，/r/n，/r/n单调递减，/r/n又/r/n，当/r/n时，/r/n，/r/n在/r/n上无零点；/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n单调递增，/r/n又/r/n时，/r/n，/r/n在/r/n上有零点，且在零点左右两侧/r/n符号相反，即该零点为/r/n的变号零点/r/n，/r/n在/r/n上有极值；/r/n综上所述：/r/n的取值范围为/r/n./r/n2/r/n．已知函数/r/n./r/n（/r/n1/r/n）当/r/n时，求曲线/r/n在点/r/n处的切线方程；/r/n（/r/n2/r/n）求函数/r/n在/r/n的最小值/r/n./r/n【详解】/r/n解：（/r/n1/r/n）当/r/n时，/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n又/r/n得切点/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n所以切线方程为/r/n，即/r/n；/r/n（/r/n2/r/n）/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n令/r/n，/r/n∴/r/n由/r/n，得/r/n，所以/r/n在/r/n上为单调增函数/r/n又/r/n，/r/n所以/r/n在/r/n上恒成立/r/n即/r/n在/r/n恒/r/n成立/r/n当/r/n时，/r/n，知/r/n在/r/n上为减函数，从而/r/n当/r/n时，/r/n，知/r/n在/r/n上为增函数，从而/r/n；/r/n综上，当/r/n时，/r/n；当/r/n时/r/n./r/n3/r/n．已知函数/r/n（/r/n1/r/n）当/r/n时，求在/r/n处的切线方程；/r/n（/r/n2/r/n）若/r/n在定义域上存在极大值，求实数/r/n的取值范围/r/n./r/n【详解】/r/n解：（/r/n1/r/n）/r/n时，/r/n定义域是/r/n，/r/n(/r/n)/r/n所以/r/n，/r/n，切线方程为/r/n即/r/n（/r/n2/r/n）/r/n的定义域是/r/n，求导得/r/n(/r/n)/r/n记/r/n，/r/n①/r/n当/r/n时，令/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n单调递减，/r/n当/r/n时，/r/n单调递增；/r/n有极小值没有极大值/r/n./r/n②/r/n当/r/n时，/r/n，/r/n(/r/n负根舍去/r/n)/r/n，/r/n当/r/n时，/r/n单调递减，/r/n当/r/n时，/r/n单调递增；/r/n有极小值没有极大值/r/n./r/n③/r/n当/r/n时，令/r/n得/r/n，则/r/n在/r/n恒/r/n成立，/r/n于是/r/n在/r/n恒/r/n成