人工智能数学基础之概率论和数理统计

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FUTURE人工智能顶级实战工程师就业课程数学基础-概率论和数理统计主讲人：米老师IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE概率论的基本概念排列数从m个不同元素中取出n(n

≤

m)个元素(被取出的元素各不相同)，并按照一定的顺序排成一列(一般顺序是抽取出来的顺序)，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个排列。记作:A(m,n)m!nmm

n!A

m,

n

A

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FUTURE在一个盒子中有十个完全相同的球，其中每个球上编有一个

，球的

从0到9，求随机抽取3个球，可能出现的数字序列共有多少种?（备

虑数字的顺序，认为1、2、3和3、2、1是不一样的）。案例0341258967???IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE总共10个球，抽取3个球的排列数：第一步：从10个球中，获取一个球，有10种第二步：从剩下的9个球中，获取一个球，有9种第三步：从剩下的8个球中，获取一个球，有8种合并这3步，就共有10

*9

*

8种

，即

72010

3！10！

310解：A

72010

3！10！

10*9

*8

10A3IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE组合数从m个不同元素中取出n(n

≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。记作:C(m,n)m!nmm

n!n!m,

n

CC

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FUTURE在一个盒子中有十个完全相同的球，其中每个球上编有一个

，球的

从0到9，求随机抽取3个球，可能出现的数字组合共有多少?（备注：不考虑数字的顺序，认为1、2、3和3、2、1是一样的）。案例0341258967???IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE总共10个球，抽取3个球的组合数：抽取3个球的排列数为A(10,3)对于任意排列(a1,a2,a3)都有3*2*1种相同元素的排列存在其实组合就是在排列的基础上去掉相同元素后剩下的数量即：解：

12010

3！3！10！10C3

12010

3！3！10！3!3

10A3A3310

(3

3)!103！10！CIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE古典概率概率是以假设为基础的，即假定随机现象所发生的事件是有限的、互不相容的，而且每个基本事件发生的可能性相等。一般来讲，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的有b个，那么事件A出现的概率为：概率体现的是随机事件A发生可能的大小度量(数值)PA

a

a

bIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE在一个盒子中有十个完全相同的球，其中五个黑球，五个白球，求事件A={从盒子中获取一个球，颜色是黑色}的概率。案例?IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE10

2基本的事件总数：10抽取一个球是黑球的事件数：5解PA

5

1IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例

袋中有

a只白球，b

只黑球．从中将球取出依次排成一列，问第k

次取出的球是黑球的概率．解：

设

A=“第

k

次取出的球是黑球”从a

b

个球中将球取出依次排成一列共有(a

b)!种排法（样本点总数）．第k

次取出黑球，有取法b(a

b

1)!种，因此事件A所含样本点数为b(a

b

1)!．PA

b

(a

b

1)!

b．所以，a

b(a

b)!IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE假设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(n≤N)，求事件A={恰好有n个房间，其中各住一个人}的概率案例???IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE每个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有Nn种。恰好n个房间表示这n个房间其实是从N个房间中任意抽取出来的，也就是从N个房间中抽取n个方法的组合总共有C(N,n)种。对于n个房间来讲，n个人平均分配，那么总共有A(n,n)种入住方式。解PA

N!N

n

N

n!PA

N!N

n

N

n!n!N!

N

n!n!N

nCn

An

N n

N

nIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE生日问题北风某个班级有n个学生(n≤365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97PA

1N!N

n

N

n!N

365IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTUREBA1A2A3A4A5A6联合概率表示两个事件共同发生的概率，事件A和事件B的共同概率记作：P(AB)、P(A,B)或者P(A∩B)，读作“事件A和事件B同时发生的概率”P(A1,B)IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE条件概率事件A在另外一个事件B已经发生的条件下的发生概率叫做条件概率，表示为P(A|B)，读作“在B条件下A发生的概率”一般情况下P(A|B)≠P(A)，而且条件概率具有三个特性：1.非负性可列性可加性PBPA

|

B

PABIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例1

两台车床加工同一种零件共100个，结果如下合格品数次品数

总计5

35第一台车床加工数

30第二台车床加工数

50总

计设A={从100个零件中任取一个是合格品}B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的}35解：PA

80

,P(B),

P(

A

|

B).求：PA,

PAB,PB

35

,

PAB

30

,100

100

100100PA

B

30

PA

80

,IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例2

已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有解：设

A={

3个小孩至少有一个B={3个小孩至少有的概率．}}而8PAB

6PB

A

PAB

所求概率为867所以

PBA

8

678

8PA

1

PA

1

1

7PAIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE条件概率将条件概率公式由两个事件推广到任意有穷多个事件时，可以得到如下公式，假设A1，A2，....，An为n个任意事件(n≥2)，而且

P(A1A2...An)>0，则：PA1

A2

...

An

PA1

PA2

|

A1

...PAn

|

A1

A2

...An

1

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FUTURE例3

袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n

次都未取出黑球的概率．解：设B

取了n次都未取出黑球Ai

第

i

次取出白球

i

1，

2，

，

n则

B

A1

A2

An由乘法公式，

有IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTUREn

P

B

P

A

A

A

1

2n1

PA

PA

A

PA

A

A

PA1

2

1

3

1

2

n

1

2A

A

A

nn

1

1

2

3

2

3

4n

11IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例4

设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai

(i=1,2,3)表示事件“透镜第i

次落下打破”，以B

表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：P

(

B

)

P

(

A

1

A

2

A

3

)

P(

A

1

)P(

A

2

|

A

1

)P(

A

3

|

A

1

A

2)9

)

3

.10

200(1

1)(1

7

)(12

10IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE全概率公式样本空间Ω有一组事件A1、A2...An,如果事件组满足下列两个条件，那么事件组称为样本空间的一个划分。设事件{Aj}是样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0，那么对于任意事件B，全概率公式为:nPB

PAi

PB

|

Ai

i1A1BA2A3A4A5A6i

j

1,2

..,

n,

Ai

Aj

A1

A2...

An

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FUTURE例5

某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为

2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．解：

设

B

该小组在比赛中射中目标iA

选i级射手参加比赛i

1，

2，

3

4由全概率公式，有PB

4i

1ii

PA

P

B

A20

0.45

3

0.32

2

0.85

6

0.64

920

20

20

0.5275IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE贝叶斯公式设A1、A2...An是样本空间Ω的一个划分，如果对任意事件B而言，有P(B)>0，那么：A1BA2A3A4A5A6PAi

PB

|

Ai

nj

1jPA

P

B

|

AjiPBiPA

|

BP(B,

A

)PBPA

|

B

PB

|

APAIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE贝叶斯公式案例一座房子在过去20年里一共发生过2次狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼案，房子的主人养了一条时狗叫的概率估计为0.9，请求：在狗叫的时候发生

的概率是多少?PA

37

20*365PB730022PA

|

B

0.9

PAPB

|

A

P

B

P A

|

B

0.000583650021377300

20.9*B

盗贼

解：设A

狗叫IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE贝叶斯公式P(A)：在没有数据支持下，A发生的概率：先验概率或边缘概率。P(A|B)：在已知B发生后A的条件概率，也就是由于得自B的取值而被称为A的后验概率。P(B|A)：在已知A发生的情况下的概率分布：似然函数。PBPA

|

B

PB

|

APAIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例

6

用某种方法普查肝癌，设：A={用此方法判断被检查者患有肝癌}，D={被检查者确实患有肝癌}，已知PA

D

0.90PA

D

0.95,而且已知：PD

0.0004现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．退出前一页

后一页IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE解：

由已知，得P(D)

0.0004所以，由Bayes公式，得0.0004

0.950.0004

0.95

0.9996

0.10

0.0038PA

D

0.95,PA

D

0.90PAPD

A

PDA

PDPA

DPDPA

D

PDPAD

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FUTURE概率公式BA1A2A3A4A5A6PBPA

|

B

PAB

nPB

PAi

PB

|

Ai

i1PB

|

Ai

PAi

jP

A P

B

|

Ajnj

1iPA

|

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FUTURE事件的独立性给定A、B两个事件，如果概率存在P(A,B)=P(A)P(B)（A、B事件的

联合分布概率等于事件各自分布概率的积），则事件A和B相互独立。如果事件A、B相互独立，互不影响，那么存在P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例1

袋中装有

4个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：A={取出的球涂有红色}B={取出的球涂有白色}C={取出的球涂有黑色}则：2PA

PB

PC

PAB

PBC

PAC

1144PABC

1IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE由此可见PAB

PAPB,PBC

PBPC,PAC

PAPC.PABC

1

1

PAPBPC

4

8但是这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE3，

4，

52，

3，

4

2，

3，

5

2，

4，

5随

量及其分布随

量例

1

袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球．

3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为1，

2，

3

1，

2，

4

1，

2，

51，

3，

4

1，

3，

5

1，

4，

5S

取出的3只球中的黑球的个数。IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE记取出的黑球数为X，则X

的可能取值为1，2，3．因此，

X

是一个变量．但是，

X

取什么值依赖于试验结果，即

X

的取值带有随机性，所以， 称

X为随

量．X

的取值情况可由下表给出：样本点黑球数X样本点黑球数X1，

2，

331，

4，

511，

2，

422，

3，

421，

2，

522，

3，

521，

3，

422，

4，

511，

3，

523，

4，

51IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X

的一个确定的取值，因此变量X

是样本空间S上的函数：X

Xe

eS定义了随

量后，就可以用随

量的取值情况来刻划随机事件．例如e：Xe

2X

2表示至少取出2个黑球这一事件，等等．表示取出2个黑球这一事件；X

2IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE通常随量用大写的英文字母X、Y、Z、、、、等来表示．或希腊字母例2

掷一颗

，令则

X

就是一个随X：出现的点数．量．它的取值为1，2，3，4，5，6．X

4表示掷出的点数不超过4

这一随机事件；X

取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件．IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例3

上午8:00～9:00

在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y

就是一个随量．它的取值为0，1，…．Y

100表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；50

Y

100表示通过的汽车数大于50

辆但不超过100

辆这一随机事件．注意

Y

的取值是可列无穷个！IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例

4

观察某电子元件的

（单位：小时），令Z：该电子元件的

．则Z

就是一个随量．它的取值为所有非负实数．

Z

500表示该电子元件的

不超过500小时这一随机事件．Z

1000表示该电子元件的

大于

1000小时这一随机事件．注意

Z

的取值是不可列无穷个！IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例

5

掷一枚硬币，令：0X

1掷硬币出现正

面;掷硬币出现反量．面.则X是一个随说

明：在同一个样本空间上可以定义不同的随

量．IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例

6

掷一枚

，在例2中，定义了随

量X表示出现的点数．

还可以定义其它的随机变量，例如

可以定义：Y

1

出现偶数点等等．0

;出现奇数点数为6;点数不为6.0Z

1

点.IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE一、离散型随

量的分布律与性质1)离散型随

量的定义如果随 量

X

的取值是有限个或可列无穷个，则称

X

为离散型随

量．离散型随

量及其分布律IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE2)离散型随设离散型随量的分布律量X

的所有可能取值为x1

，

x2

，

，

xn

，

则称上式或X并设

PX

xn

pn

n

1, 2

,

xnPx1

x2p1

p2，，pn为离散型随量X

的分布律．IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE3)离散型随

量分布律的性质:⑴

对任意的自然数n，有pn

0;

1.

pnn⑵IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE8910具体写出，即可得X

的分布律：X

5

6

7P252

252

252252252252k

5，

6，

，

10.解：

X

的可能取值为

5，6，7，10C

5k

1C

4PX

k=——例

1

从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．求分布律一定要说明k

的取值范围！IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE-3

-1例

将

1

枚硬币掷

3

次，令X：出现的正面次数与

次数之差．试求：（1）X

的分布律；

(2)

P0.5

X

3.解：X

的可能取值为-3，-1，1，3．并且分布率为XPkP0.5

X

3

PX

1

3

.8IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例3设随 量

X

的分布律为n

1，

2，

试求常数c．

4

PX

n

c

1

n解：由分布率的性质，得

1

PX

nn1该级数为等比级数，故有4nc

1

n1

1

4

1

nc31

4n114

c

1

c所以

c

3

．IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE例

4

设

车在开往目的地的道

需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p汽车通过.以X

表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X

的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3pIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE解：以p

表示每盏信号灯X

的分布律为：Xpk0

1

2汽车通过的概率，则3

4p或写成P{X=k}=(1-p)kp，k

=0,1,2,3P{X=

4}

=

(1-p)4以

p

=

1/2

代入得：(1-p)

p

(1-p)2p(1-p)3p

(1-p)4Xpk01

20.5

0.25

0.1253

40.0625

0.0625IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE二、一些常用的离散型随

量1)Bernoulli分布如果随 量

X

的分布律为或PX

k

pk

(1

p)1k

,

k

0,1X

0

1P

1-p

p则称随 量

X

服从参数为

p的

Bernoulli分布．其中0

p

1

为参数记作

X

~

B1，

pIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTUREBernoulli分布也称作0-1

分布或二点分布．Bernoulli分布的概率背景进行一次Bernoulli试验，A是随机事件。设：PA

p

，PA

1

p

q设X表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．或者设X

01

若事件A发生若事件A不发生则

X

~

B1,

pIT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE2）二

项

分

布如果随 量

X

的分布律为k

knk

0，

1，

，

n

1

pPX

k

C

p

nk则称随

量X服从参数为n，

p的二项分布，记作

X

~

B

n

，

p其中n为自然数，0

p

1

为参数IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE说

明显然，当n=1

时X

~

B1，

p此时，X

服从Bernoulli

分布．这说明，Bernoulli

分布是二项分布的一个特例．IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE二项分布的概率背景进行n重Bernoulli

试验，A是随机事件。设在每次试验中PA

p

，PA

1

p

q令X

表示这n

次Bernoulli

试验中事件A发生的次数．X

~

Bn，

p则IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTUREkn失败，这种指定的方法共有C

种．现A

说明：设

Ai

{第

i

次试验

A

出现},则{X

k}

A1

Ak

Ak1

An

A1A2

Ak1

Ak2

An

A1A2

Ank

Ank1

An在n

次试验中，指定k

次出现A

成功，其余n

k

次出

q

1

p

nP{X

k}

Ck

pk

qnk

k

0，

1，

2，

，

n

所以IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTUREA

取出一件产品为次品,例5

一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件．试求下列事件的概率：B={取出的15件产品中恰有2件次品}C={取出的15件产品中至少有2件次品}解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是一15重Bernoulli试验．则

PA

0.1.所以，215PB

C

0.12

0.913PC

1

PC

0.1

0.914

1

C0

0.10

0.915

C115

15IT 教育 品牌EDUCATION

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FUTURE则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．设X表示该学生靠猜测能答对的题数,4

1

则

X

~

B

5，4PA

1例6一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测能答对4道题以上的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，A

答对一道题，则IT 教育 品牌EDUCATION

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A

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FUTURE45

4

4

所以P至少能答对4道题

PX

4

PX1

4

4

3

P1X5

5

C

4

164IT 教育 品牌EDUCATION

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A

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FUTURE二项分布的分布形态若

X

~

Bn，

p，

则由此可知，二项分布的分布率PX

k先是随着k

的增大而增大，达到其最大值后再随着

k

的增大而减少．这个使得PX

k达到其最大值的k0

称为该二项分布的最可能次数．PX

k

1

n

1p

kPX

k

1q

1

pkqIT 教育 品牌EDUCATION

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A

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FUTUREkq可以证明：如果n

1p不是整数，则k0

n

1p；如果n

1p是整数，则k0

n

1p

或n

1p

1

；q

1

p

1

n

1p

kPX

k

PX

k

1IT 教育 品牌EDUCATION

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A

BRIGHT

FUTURE例

7

对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令：X

表示300射

命中目标的次数．则由题意X

~

B300，

0.44．由于300

1

0.44

132.44，它不是整数IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE因此，最可能射击中次数为其相应的概率为k0

132.44

132168132132300PX

132

C0.560.44

0.04636IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE3）Poisson

分布如果随

量X

的分布律为k

0，

1，

2，

k!kPX

k

e其中

0为常数则称随 量

X

服从参数为λ的Poisson

分布．IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTUREPoisson

分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．例如，可以证明，总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE如果随

量X

的分布律为PX

k

ck

1,2,

.k!k其中

0

为常数

试确定未知常数c.例11

1,k!

c

k

1k!解：由分布率的性质有

ck

1

k

kk

1k!而1

e

1.

11所以

c

e

k!

k

0

k

kIT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE例

12

设随 量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知PX

1

PX

2试求PX

4．解：随 量

X

的分布律为k

0，

1，

2，

k!kPX

k

e由已知PX

1

PX

2IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE得e

2

1e

1!2!由此得方程

2

2

0得解

2

．另一个解

0

不合题意，舍去所以，4!2

4PX

4e

2e

223

0.09022IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTUREnPoisson

定理设在Bernoulli

试验中，以pn

代表事件A

在试验中发生的概率，它与试验总数n

有关．如果limnpn

0nke

kk！n1

pkknp

n令：npn

nk

kn

n

nnk则证明：则

C

p

1

p

nkn

n

k！

n

1

n

nn

1n

2n

k

1

k

IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE

nk

k

n

1

nn

n

k!

n

2

1

1

1

1

n

k

1

对于固定的k，有n

nklim1

nn

e

k

kn

n

nnk所以，limC

p

1

p

n

nkknn

n

nnn

n

2

1

n1

1

lim

1

lim1

k

1

limk!

n1

kek！IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTUREPoisson定理的应用

由Poisson

定理，可知若随

量X

~

Bn，

p，则当n比较大，p比较小时，

np令：k

knnk1

p则有

PX

k

C

p

kek!IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE例13设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．解：设X为600次射击命中目标的次数,则

X

~

B600，

0.012．取

600

0.012

7.2．PX

3

1

PX

3

1

PX

0

PX

1

PX

22

7.22

1

e

7.2

0.9745

7.2e

7.2e

7.2IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE例

14

保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内

时，家属可从保险公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内

的概率为0.001，求保险公司亏本的概率；保险公司获利不少于10万元的概率.解：设此类被保人一年内

的人数为

X

，则

X~

b

(2500，0.001）.IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE（1）P(保险公司亏本)

P(25

2

X

0)（2）P(保险公司获利不少于10万元)

P(25

2

X

10)

1

P(

X

12)

1

k2500k12k

0

.(0.001)

.(0.999)2500k12

1

k

02.5kk!

e2.5

0.000002.

P(

X

7)k!7k

2.5

e

2.5

0.995753.k

0IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE4）几

何

分

布若随 量

X

的分布律为PX

k

qk

1

p

k

1，

2，

其中p

0，q

0，p

q

1

则称随．量X

服从参数为p的几何分布IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE几何分布的概率背景在Bernoulli试验中，PA

p,PA

q

1

p试验进行到A

首次出现为止．令：X表示所需试验次数则X

服从参数为p的几何分布．即PX

k

qk

1

p

k

1，

2，

IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE5）超

几

何

分

布如果随 量

X

的分布律为PX

kk

0，

1，

，

minM，

n

C

CCnNk

nkM N

M其中N，M，n均为自然数．则称随

量X

服从参数为N，

M，

n的超几何分布．IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE超几何分布的概率背景一批产品有N

件，其中有M

件次品，其余N-M件为正品．现从中取出n

件．令

X：取出

n

件产品中的次品数． 则

X

的分布律为PX

kk

0，

1，

，

minM，

n

C

CCnNk

nkM N

M此时，随

量X

服从参数为N，

M，

n的超几何分布IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE1)

定义

如果对于随

量X

的分布函数F(x)，存则称

X

为连续型随

量，其中函数

f(x)称为X

的概率密度函数,简称概率密度.F

(

x)

在非负函数f

(x)，使得对于任意实数x，有xf

(t

)dt,连续型随一、连续型随量及其概率密度量的概念与性质IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE定义1.在区间I

上的原函数全体称为

f

(x

)d

x

,其中—被积函数;—被积表达式.则上的不定积分,

记作积分号;积分变量;若

C(C

为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,

e

x

d

x

e

x

Cx

2

d

x

13

s

i

n

x

d

x

x

3

Cc

o

s

x

C六、不定积分(以下为补充内容)IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE不定积分的性质性质1设

函

数

f

(

x

)

及

g

(

x

)

的

原

函

数

存

在

，

则

[

f

(

x

)

g

(

x

)

]

d

x

f

(

x

)d

x

g

(

x

)

d

x设

函

数

f

(

x

)

原

函

数

存

在

，

k

为

非

零

常

数

，

则性质2(

k

0)推论:

若

k

f

(

x

)

d

x

k

f

(

x

)

d

x则ni

1

f

(

x

)d

x

k

i

f

i

(

x

)d

xIT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTUREd

x(

1

)基本积分表从不定积分定义可知:d

f

(

x

)d

x

f

(

x

)

或

d

f

(

x

)d

x

f

(

x

)

d

x

d

F

(

x

)

F

(

x

)

C

F

(x

)

d

x

F

(x

)

C

或(

2

)利用逆向思维(

1

)

k

d

x

k

x

C(k

为常数)x

d

x

(

2

)

Cx

11

1x(

3

)

d

x

ln

x

C(

1)(

ln

x)

1xIT

教育

品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE或

a

r

c

c

o

t

x

C

a

r

c

t

a

n

x

C

1

x

2d

x(

4

)

c

o

s

2

xd

x(

8

)t

a

n

x

C

a

r

c

s

i

n

x

C

或

a

r

c

c

o

s

x

C1

x

2d

x(

5

)(

6

)

c

o

s

x

d

x

s

i

n

x

C(

7

)

s

i

n

x

d

x

c

o

s

x

C

s

i

n

2

xd

x(

9

)x

d

x

co

t

x

C

s

e

c

2

x

d

x

csc

2IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE

sec

x

t

a

n

x

d

x

sec

x

C

csc

x

co

t

x

d

x

c

s

c

x

C(

10

)(

11

)

e

xd

x

e

x(

1

2

)

C

a

x

d

x

(

1

3

)

Cln

aa

xx

1

Cx1(

1

5

)x

Cd

x

2x1

d

x

(

1

4

)2IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE例1.求解:

原式

=x

d

x

(

2

)

Cx

11

1(

1)3

4

x

d

x

1

43

13

3

x

C3

4

1x

CIT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE例2.

求解:

原式

=

[(2

e

)

x

(2

e

)

x

5

2

x

]

d

xd

x

5

2

x

d

x

a

x

d

x

(

1

3

)

Cln

aa

x(2

e

)

xl

n

(

2

e

)

52

xln

2

C

ln

2

1ln

2

e

xx

5

C

2IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTUREbanf

(

x

)

d

x

limf

(

i

)

x

ii

1

0积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和[

a

,

b

]

称

为

积

分

区

间注意：积分变量的变化区间是积分区间.引例1.曲边梯形面积引例2.变速直线运动的路程IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTUREba牛顿–莱布尼茨公式定理则

函数,例1

求解x当x

0时，1

的一个原函数是ln

|

x

|,dx12例2

求

12

ln

|

x

ln1

ln

2

ln

2.(2cos

x

sin

x

1)dx.201x0

3

22.解原式

2sin

x

cos

x

xxf

(x

)d

x

F

(b

)

F

(a

).(牛顿-莱布尼茨公式)1

1

dx.2IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE1020f

(

x)

0.f

(

x)dx

1.由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：f

(x)x30P{

x1f

(x)x0x1x2f

(

x)dx.

(

x1

X

x2

}

F

(

x2

)

F

(

x1

)x2

x2

)1x前两个条件是概率密度的充分必要条件10IT 教育 品牌EDUCATION

TO

CREATE

A

BRIGHT

FUTURE若f

(x)在点x处连续，则有F

(

x)

f

(

x).40xf

(

x)

lim

F

(

x

x)

F

(

x)x0即x

lim

P{

x

X

x