人教A版高中数学选修2 3全册配套课件

2.1离散型随机变量及其分布列2.1离散型随机变量及其分布列1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.能根据离散型随机变量的意义,求出某些简单的离散型随机变量的分布列.3.通过实例,能对两点分布、超几何分布有所理解,理解其公式的推导过程,并能简单地运用.1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与1231.离散型随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.(2)随机变量和函数都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.知识拓展随机变量与函数的关系

(3)所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.1231.离散型随机变量知识拓展随机变量与函数的关系(3)123【做一做1】下列随机变量中不是离散型随机变量的是(

)A.盒子里有除颜色不同,其他完全相同的红球和白球各5个,从中摸出3个球,白球的个数XB.小明答20道选择题答对的道数XC.某人早晨在车站等出租车的时间XD.某人投篮10次投中的次数X解析:选项A,B,D中的随机变量X的所有取值可以一一列出,因此是离散型随机变量.选项C中随机变量X可以取一个区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.答案:C123【做一做1】下列随机变量中不是离散型随机变量的是(1232.离散型随机变量的分布列

(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.用等式可表示为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,也可以用图象来表示X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;1232.离散型随机变量的分布列123归纳总结离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础.123归纳总结离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的123答案:A123答案:A123答案:D123答案:D1233.两点分布与超几何分布(1)两点分布列为:若随机变量X的分布列为两点分布列,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.1233.两点分布与超几何分布123为超几何分布列.若随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.123为超几何分布列.若随机变量X的分布列为超几何分布列,则123A.P(X=2) B.P(X=3)C.P(X≤2) D.P(X≤3)答案:B123A.P(X=2) B.P(X=3)123【做一做3-2】

在一次旅游目的地的投票选择中,令

如果选择安徽黄山的概率为0.6,请你写出随机变量X的分布列.分析本题考查的是两点分布,结合分布列的性质即可求解.解:根据分布列的性质,选择四川九寨沟的概率为1-0.6=0.4.则随机变量X的分布列为123【做一做3-2】在一次旅游目的地的投票选择中,令121.如何辨别一个变量是不是离散型随机变量剖析首先搞清离散型随机变量的含义,其次还要清楚除了离散型随机变量还有连续型随机变量,即如果随机变量可以取一个区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.对离散型随机变量来说,它所取的值可以按一定次序一一列出.辨别的关键是搞清随机变量到底取什么样的值,是在一个连续区间上取值,还是所有取值可以一一列出.121.如何辨别一个变量是不是离散型随机变量122.写离散型随机变量的分布列的步骤是什么剖析要写离散型随机变量的分布列,就要求出P(X=xi)(i=1,2,…,n),而P(X=xi)=pi,要求基本事件的概率就要用到等可能性事件的概率、排列组合、加法原理、乘法原理等知识和方法.一个分布列写的是否正确,一是看随机变量的取值,二是根据分布列的两条性质来检验.122.写离散型随机变量的分布列的步骤是什么12求离散型随机变量的分布列的步骤:(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i=1,2,…,n);(2)求出对应取值的概率P(X=xi)=pi;(3)列出表格.对随机变量的取值要分清是有限的还是无限的,若是无限的,后面要用省略号表示.随机变量的分布列与函数类似,可以有不同的给出方式,除了列表格,还可以用等式来表示,也可以用图象来表示.因此,可以针对不同的变量选择恰当的表示方式.12求离散型随机变量的分布列的步骤:题型一题型二题型三题型四题型五【例1】

指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号数X.(2)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数X.(3)某林场中的树木最高达30m,则此林场中树木的高度X.分析根据离散型随机变量的特征进行判定.题型一题型二题型三题型四题型五【例1】指出下列随机变量是不题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)是离散型随机变量.因为只要取出一张,便有一个号码,所以被取出的卡片号数X可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(2)是离散型随机变量.因为从10个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,所以所含白球的个数X可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(3)不是离散型随机变量,因为林场中树木的高度X是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,所以不是离散型随机变量.反思离散型随机变量的特征:(1)可用数值表示;(2)试验之前可以判断其出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值;(4)试验结果能一一列出.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)是离散型随机变量.因题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】

指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)某超市5月份每天的销售额ξ.(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ.(3)某长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ.解:(1)是离散型随机变量.某超市5月份每天的销售额ξ可以一一列出,故为离散型随机变量.(2)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值ξ无法一一列出,不是离散型随机变量.(3)不是离散型随机变量,该水位检测站所测水位ξ在(0,29]这一范围内变化,不能一一列出,故不是离散型随机变量.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】指出下列随机变题型一题型二题型三题型四题型五【例2】

袋中装有编号为1~6的同样大小的6个球,现从袋中随机取3个球,设ξ表示取出3个球中的最大号码,求ξ的分布列.分析确定随机变量ξ的所有可能取值,分别求出ξ取各值的概率.题型一题型二题型三题型四题型五【例2】袋中装有编号为1~6题型一题型二题型三题型四题型五反思求离散型随机变量的分布列关键有两点:(1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率.所求是否正确,可通过概率和是否为1来检验.题型一题型二题型三题型四题型五反思求离散型随机变量的分布列关题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量X表示方程x2+bx+c=0的实根的个数(重根按一个计),求X的分布列.解:由题意,X的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b,c)|b=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6},元素总个数为36.X=0对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c<0,b=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6},元素个数为17;X=1对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c=0,b=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6},元素个数为2;X=2对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c>0,b=1,2,3,4,5,6,c=1,2,3,4,5,6},元素个数为17.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】设b和c分别是题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五分析已知随机变量X的分布列,根据分布列的性质确定a的值及相应区间的概率.题型一题型二题型三题型四题型五分析已知随机变量X的分布列,根题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思1.离散型随机变量的特征是能一一列出,且每一个值各代表一个试验结果,所以研究随机变量时,关键是随机变量能取哪些值.2.在求概率pi时,充分运用分布列的性质,既可减少运算量,又可验证所求的分布列是否正确.3.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.离散型随机变量的特征是题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】

若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为

.

题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】若离散型随机变题型一题型二题型三题型四题型五【例4】

某高二数学兴趣小组有7名同学,其中有4名同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3名同学参加高二数学“南方杯”竞赛,求这3名同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数ξ的分布列及P(ξ<2).分析该问题与抽取产品在本质上是一致的,从而可用超几何分布解决.题型一题型二题型三题型四题型五【例4】某高二数学兴趣小组有题型一题型二题型三题型四题型五反思超几何分布是一种很重要的分布,其理论基础是古典概型,主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型,其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数.题型一题型二题型三题型四题型五反思超几何分布是一种很重要的分题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】

设10件产品中有3件次品,7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件数ξ的分布列.解:随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.ξ=0表示取出的5件产品都是正品,题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】设10件产品中题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五易错点:对排列组合的概念理解不透而致错【例5】

有3名大学生要到四川、云南、贵州、甘肃四省中的任意一省工作.设到各省的大学生人数最多为X,求X的分布列.错解:由题意可知,到各省的大学生最多人数X的所有取值为1,2,3.当X=1时,表示四省中有3个省各有1名大学生;当X=2时,表示有2名大学生同时选择了一个省;当X=3时,表示3名大学生同时选择了一个省.题型一题型二题型三题型四题型五易错点:对排列组合的概念理解不题型一题型二题型三题型四题型五错因分析(1)没有理解好题意,本题指的是3名大学生从四省中选择工作,而不是四省分别选择大学生;(2)没有理解好排列组合的相关概念.题型一题型二题型三题型四题型五错因分析(1)没有理解好题意,题型一题型二题型三题型四题型五反思由本题可以看出,求离散型随机变量的分布列,必须要能正确地求出相应的事件个数,即正确地求出相应的排列组合数.掌握好排列组合知识,是学好分布列的基础与前提.题型一题型二题型三题型四题型五反思由本题可以看出,求离散型随2.2.1条件概率2.2.1条件概率1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式.2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题.1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式.条件概率(1)一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.(2)条件概率的性质:①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).条件概率人教A版高中数学选修23全册配套课件【做一做】

把一枚硬币投掷两次,事件A={第一次出现正面},B={第二次出现正面},则P(B|A)等于(

)答案:B【做一做】把一枚硬币投掷两次,事件A={第一次出现正面},121.如何从集合角度理解条件概率剖析121.如何从集合角度理解条件概率122.P(B|A)与P(B)样本空间的区别剖析如果随机试验的样本空间为Ω,那么讨论P(B|A)的样本空间是A,而P(B)的样本空间为Ω(即找准样本空间是解决问题的关键).122.P(B|A)与P(B)样本空间的区别题型一题型二题型三题型四【例1】

一个盒子内装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从中取两次,每次任取1件,且不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).分析列出基本事件空间,利用古典概型求解.解:将产品编号为1号,2号,3号的看作一等品,编号为4号的产品看作二等品,以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的基本事件空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.因为事件A有9个基本事件,事件AB有6个基本事件,所以题型一题型二题型三题型四【例1】一个盒子内装有4件产品,其题型一题型二题型三题型四反思本题的方法是解条件概率题的常用方法,特别是当基本事件空间容易列出时可用此方法.题型一题型二题型三题型四反思本题的方法是解条件概率题的常用方题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

抛掷红、蓝两枚骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”.(1)求P(A),P(B),P(AB);(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时,则两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少?题型一题型二题型三题型四【变式训练1】抛掷红、蓝两枚骰子,题型一题型二题型三题型四解:(1)设x为掷红骰子所得到的点数,y为掷蓝骰子所得到的点数,则所有可能的事件与(x,y)一一对应,由题意作图(如图).显然,由图知,事件A所包含的基本事件个数为n(A)=12,事件B所包含的基本事件个数为n(B)=10,事件AB所包含的基本事件个数为n(AB)=5.∵n(Ω)=36,题型一题型二题型三题型四解:(1)设x为掷红骰子所得到的点数题型一题型二题型三题型四【例2】

某个学习兴趣小组有学生10人,其中有3人是三好学生.现已把这10人分成两组进行竞赛辅导,第一小组5人,其中三好学生2人.如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长,那么这名同学恰好在第一小组内的概率是多少?现在要在这10人中任选一名三好学生当组长,问这名同学在第一小组的概率是多少?分析本题实际上是一道简单的古典概型问题.在第二问中,由于任选的一名学生是三好学生,比第一问多了一个“附加的”条件,因此本题又是一个简单的条件概率题.题型一题型二题型三题型四【例2】某个学习兴趣小组有学生10题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少需答对其中的4道题才可通过;至少需答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】在某次考试中,要从2题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】

在一个袋子中装有10个质地完全相同的球,设有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球.从中依次摸出两个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.分析在第一个球是红球的条件下,分别求出第二个球是黄球和黑球的概率.再用互斥事件概率公式求得概率,也可用古典概型求概率.题型一题型二题型三题型四【例3】在一个袋子中装有10个质地题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个或若干个互不相容的较简单事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即可求得复杂事件的概率.题型一题型二题型三题型四反思若事件B,C互斥,则P(B∪C|题型一题型二题型三题型四【变式训练3】

有外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验为成功,求试验成功的概率.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】有外形相同的球分装在题型一题型二题型三题型四解:设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},R={第二次取出的球是红球},W={第二次取出的球是白球},事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥,故由概率的加法公式,得P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)=P(R|A)·P(A)+P(R|B)·P(B)题型一题型二题型三题型四解:设A={从第一个盒子中取得标有字题型一题型二题型三题型四易错点:基本样本空间理解不透彻而致错【例4】

一个家庭中有两名小孩,假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭有一名小孩是女孩,问另一名小孩是男孩的概率是多少?题型一题型二题型三题型四易错点:基本样本空间理解不透彻而致错题型一题型二题型三题型四错因分析两种解法都把基本事件空间理解错了.正解:方法一:一个家庭的两名小孩只有4种可能:{两名都是男孩},{第一名是男孩,第二名是女孩},{第一名是女孩,第二名是男孩},{两名都是女孩}.由题意知这4个事件是等可能的,设基本事件空间为Ω,A=“其中一名是女孩”,B=“其中一名是男孩”,则Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},A={(男,女),(女,男),(女,女)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)}.题型一题型二题型三题型四错因分析两种解法都把基本事件空间理解题型一题型二题型三题型四反思在等可能事件的问题中,不管用哪种方法求条件概率,理解基本事件空间是关键.题型一题型二题型三题型四反思在等可能事件的问题中,不管用哪种2.2.2事件的相互独立性2.2.2事件的相互独立性1.理解相互独立事件的定义及意义.2.理解概率的乘法公式.3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解题.1.理解相互独立事件的定义及意义.事件的相互独立性(1)如果两个事件A,B中任一事件发生,不影响另一事件的发生,即P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.知识拓展1.对于事件A,B,如果A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,则称这两个事件为相互独立事件.而两事件互斥是指两个事件不可能同时发生.2.如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).事件的相互独立性【做一做】

甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(

)A.0.49 B.0.42C.0.7 D.0.91解析:记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,且A,B相互独立.答案:B【做一做】甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求概率的解题步骤是什么剖析(1)确定各事件是否为相互独立事件;(2)确定各事件是否同时发生;(3)先求每个事件发生的概率,再求其积.【示例】甲组3名男生,2名女生,乙组2名男生,3名女生.今从甲、乙两组中各选1名同学参加游园活动,求从甲组中选出1名男生,同时从乙组中选出1名女生的概率.应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求概率的解题步骤是什么解:第一步:确定事件是否是相互独立事件.记“从甲组中选1名男生”为事件A,“从乙组中选1名女生”为事件B,事件A,B相互独立.第二步:确定同时发生的事件.本例中所求概率为A,B同时发生的概率,即求AB发生的概率.第三步:先求每个事件发生的概率,再求积.解:第一步:确定事件是否是相互独立事件.记“从甲组中选1名男题型一题型二题型三题型四【例1】

下列事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?(1)1000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖.(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙中奖.(3)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,从“8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.分析利用相互独立事件的定义判断.题型一题型二题型三题型四【例1】下列事件中,哪些是互斥事件题型一题型二题型三题型四解:(1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖,即这两个事件不可能同时发生,故它们是互斥事件.(2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙没有影响,反之亦然,故它们是相互独立事件.题型一题型二题型三题型四解:(1)一张奖券不可能既中一等奖又题型一题型二题型三题型四反思判断两个事件相互独立的方法:(1)用定义,若P(AB)=P(A)P(B),则事件A和B相互独立.(2)有些事件没有必要通过概率的计算来判定其独立性.例如,有放回地抽取,掷一枚硬币3次等.由事件本身的性质也能直接判定是否相互影响,从而得出事件是否相互独立.题型一题型二题型三题型四反思判断两个事件相互独立的方法:题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?(1)A与B;(2)C与A.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】从一副扑克牌(去掉大题型一题型二题型三题型四解:(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红牌”,则抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件.以下考虑它们是否为相互独立事件:题型一题型二题型三题型四解:(1)由于事件A为“抽到K”,事题型一题型二题型三题型四(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张,抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与事件A不可能同时发生,A与C互斥.由于

,而P(AC)=0,所以A与C不是相互独立事件.又抽不到K不一定抽到J,故A与C不是对立事件.题型一题型二题型三题型四(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中题型一题型二题型三题型四【例2】

已知甲袋中装有大小、形状、质地相同的3个白球和2个红球,乙袋中装有1个白球和4个红球.现从甲、乙两袋中各摸一个球,试求:(1)两球都是红球的概率;(2)恰有一个是红球的概率;(3)至少有一个是红球的概率.分析判断基本事件的构成,及各事件间的关系,选择合适的公式计算.题型一题型二题型三题型四【例2】已知甲袋中装有大小、形状、题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求复杂事件的概率,应先列出题中涉及的各事件,并用适当的符号表示,再理清各事件之间的关系,最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.题型一题型二题型三题型四反思求复杂事件的概率,应先列出题中涉题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

甲、乙两人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为(1)2人都译出密码的概率;(2)2人都译不出密码的概率;(3)恰有1人译出密码的概率;(4)至多有1人译出密码的概率;(5)至少有1人译出密码的概率.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】甲、乙两人独立地破译题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】

某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.分析把所求事件分解成几个独立事件或互斥事件.题型一题型二题型三题型四【例3】某项选拔共有四轮考核,每轮题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求相互独立事件同时发生的概率时,可运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简单化.题型一题型二题型三题型四反思求相互独立事件同时发生的概率时,题型一题型二题型三题型四【变式训练3】

如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为(

)A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,用K,A1,A题型一题型二题型三题型四答案:B题型一题型二题型三题型四答案:B题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于此类题目,应先搞清楚各事件之间的关系,再利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解.题型一题型二题型三题型四反思对于此类题目,应先搞清楚各事件之2.2.3独立重复试验与二项分布2.2.3独立重复试验与二项分布1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式.2.理解n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题.3.了解二项分布与超几何分布的关系.1.掌握独立重复试验的概念及意义,理解事件在n次独立重复试验121.独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.知识拓展独立重复试验的特征:(1)每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变;(2)各次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立;(3)每次试验只有两个可能的结果:事件发生或者不发生.121.独立重复试验12【做一做1】

独立重复试验应满足的条件是(

)①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结果;③每次试验中,事件发生的机会是均等的;④每次试验发生的事件是互斥的.A.①② B.②③

C.①②③ D.①②④解析:由独立重复试验的定义知①②③正确.答案:C12【做一做1】独立重复试验应满足的条件是()122.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布,简记为X~B(n,p),并称p为成功概率.122.二项分布123.两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n(每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生),试验结果有n+1种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.从而二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.123.两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A12答案:C12答案:C如何理解二项分布与超几何分布的关系剖析由古典概型得出超几何分布,由独立重复试验得出二项分布,这两个分布的关系是:在产品抽样检验中,如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,如果采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.在实际工作中,抽样一般都采用不放回方式,因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布,但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值,计算相对复杂,而二项分布的计算可以查专门的数表,所以,当产品总数很大而抽样数不太大时,不放回抽样可以认为是有放回抽样,计算超几何分布可以用计算二项分布来代替.如何理解二项分布与超几何分布的关系【示例1】

(1)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件产品中,不放回地任取3件,则其中恰好有2件次品的概率为

.(用式子表示即可)

(2)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件产品中,有放回地任取3件,则其中恰好有2件次品的概率为

.(用式子表示即可)

【示例1】(1)在产品抽样检验中,从含有5件次品的100件【示例2】

某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品中任意连续地抽取2件,其中次品数ξ的概率分布列为,请完成此表.【示例2】某厂生产的电子元件,其次品率为5%,现从一批产品解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,抽样数不大,则可用二项分布来解.所以ξ的分布列为答案:0.9025

0.095

0.0025解析:由于本题中工厂生产的电子元件数量很大,从中抽取2件时,题型一题型二题型三题型四【例1】

某人射击5次,每次中靶的概率均为0.9,且每次射击是否击中目标相互之间没有影响.求他至少有2次中靶的概率.分析本题考查独立重复试验的概率.解答本题的关键是对“至少有2次中靶”这一事件的理解.它包含2次、3次、4次、5次中靶,且每一类情况之间都是互斥的,而每次射击是否击中目标相互之间没有影响,故可用互斥事件的概率公式和n次独立重复试验的概率公式计算.题型一题型二题型三题型四【例1】某人射击5次,每次中靶的概题型一题型二题型三题型四

题型一题型二题型三题型四

题型一题型二题型三题型四

题型一题型二题型三题型四

题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:①3位病人都被治愈的概率为0.93;②3人中的甲被治愈的概率为0.9;③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.其中正确结论的序号是

.(把正确结论的序号都填上)

题型一题型二题型三题型四【变式训练1】一位病人服用某种新药题型一题型二题型三题型四解析:①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率,其概率为0.93,故①正确;由独立重复试验中,事件A发生的概率相同,故②正被治愈,可分为甲、乙被治愈,丙未被治愈或甲、丙被治愈,乙未被治愈,其概率为0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.9=2×0.92×0.1,故⑤错误.答案:①②④题型一题型二题型三题型四解析:①中事件为3次独立重复试验恰有题型一题型二题型三题型四【例2】

在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率;(2)设这4名考生中选做第15题的考生数为ξ个,求ξ的分布列.分析(1)设出事件,利用相互独立事件的概率公式求解.(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可.题型一题型二题型三题型四【例2】在一次数学考试中,第14题题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思本题考查了互斥事件至少有一个发生的概率,相互独立事件的概率以及二项分布的有关知识.解答此类题目的关键在于分清各知识点的内在区别与联系.题型一题型二题型三题型四反思本题考查了互斥事件至少有一个发生题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

某公司安装了3台报警器,它们彼此独立工作,且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时,下列事件的概率:(1)3台都未报警;(2)恰有1台报警;(3)恰有2台报警;(4)3台都报警;(5)至少有2台报警;(6)至少有1台报警.分析本题考查独立重复试验的概率.在发生险情时,我们将每台报警器是否报警看成做了1次试验,那么一共做了3次试验,并且它们彼此是独立的.在每次试验中,如果把“报警”看做成功,“未报警”看做失败,那么每次试验成功的概率都是0.9.如果令X为在发生险情时3台报警器中报警的台数,那么X~B(3,0.9).题型一题型二题型三题型四【变式训练2】某公司安装了3台报警题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】

某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.分析(1)第三个路口首次遇到红灯,表示前2个路口是绿灯,第三个路口是红灯.(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2个红灯.题型一题型二题型三题型四【例3】某学生在上学路上要经过4个题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思在解含有相互独立事件的概率题时,首先要把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积.这两个步骤做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了.如果某些相互独立事件符合独立重复试验模型,就可将这部分用独立重复试验的概率计算公式解答.这就是解决含有相互独立事件的概率题的基本思路.题型一题型二题型三题型四反思在解含有相互独立事件的概率题时,题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点:对对立事件理解不当致错【例4】

9粒种子分种在3个花盆内,每个花盆放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个花盆内至少有1粒种子发芽,则这个花盆不需要补种;若一个花盆内的种子都没发芽,则这个花盆需要补种.假定每个花盆至多补种一次,求需要补种的花盆数目的分布列.题型一题型二题型三题型四易错点:对对立事件理解不当致错题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思有些问题从表面看不是n次独立重复试验问题,但经过转化后可看作n次独立重复试验问题,从而将问题简化.由此可看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用.题型一题型二题型三题型四反思有些问题从表面看不是n次独立重复2.3

离散型随机变量的均值与方差2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值2.3.1离散型随机变量的均值1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平解决一些相关的实际问题.1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的分121.离散型随机变量的均值(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.121.离散型随机变量的均值12知识拓展1.定义中给出了求离散型随机变量均值的方法,我们只研究有限个随机变量的均值的情况.2.随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身所固有的一个数字特征.它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.3.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.因为E(aX+b)=aE(X)+b,所以随机变量X的线性函数Y=aX+b的均值等于随机变量X的均值的线性函数.此式有如下几种特殊形式:(1)当b=0时,E(aX)=aE(X),此式表明常量与随机变量乘积的均值等于这个常量与随机变量的均值的乘积;(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,此式表明随机变量与常量和的均值等于随机变量的均值与这个常量的和;(3)当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的均值等于这个常量.12知识拓展1.定义中给出了求离散型随机变量均值的方法,我们12答案:D【做一做1-2】

设一随机变量ξ的均值为E(ξ)=3,则E(10ξ+2)=(

)A.3 B.5 C.30 D.32解析:E(10ξ+2)=10E(ξ)+2=32.答案:D12答案:D122.两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p.(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.知识拓展若离散型随机变量X服从参数为N,M,n(n≤N,M≤N,n,m,N∈N*)的超几何分布,则【做一做2】

一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击3次中靶次数X的均值为(

)A.0.8 B.0.83 C.3 D.2.4解析:射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布,即X~B(3,0.8),则E(X)=3×0.8=2.4.答案:D122.两点分布、二项分布的均值121.求随机变量ξ的均值的一般步骤是什么剖析(1)写出ξ的分布列,在求ξ取每一个值的概率时,要联系概率的有关知识,如古典概型的概率,相互独立事件的概率等;(2)由分布列求E(ξ);(3)如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,根据它们的均值公式计算.121.求随机变量ξ的均值的一般步骤是什么12【示例】

将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,求A邮箱的信件数ξ的分布列及均值.分析(1)确定ξ的所有可能取值;(2)计算出ξ取每一个值时的概率;(3)列出分布列;(4)利用E(ξ)的公式计算E(ξ).12【示例】将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,求A邮122.随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系剖析随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.122.随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系题型一题型二题型三题型四【例1】

根据历次比赛和训练记录,甲、乙两名射手在同样的条件下进行射击,成绩的分布列如下:试比较甲、乙两名射手射击水平的高低并预测两名射手比赛的结果.题型一题型二题型三题型四【例1】根据历次比赛和训练记录,甲题型一题型二题型三题型四解:设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1,X2,则E(X1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3,E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1,这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高,从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如果两人进行比赛,甲赢的可能性较大.题型一题型二题型三题型四解:设甲、乙两射手射击一次所得的环数题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

袋中有4个红球,3个黑球.今从袋中随机取出4个球,设取到一个红球记2分,取到一个黑球记1分,试求得分ξ的均值.解:取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,相应的概率为题型一题型二题型三题型四【变式训练1】袋中有4个红球,3个题型一题型二题型三题型四【例2】

某市出租车的起步价为6元,行驶路程不超出3km时,车费为6元,若行驶路程超出3km,则按每超出1km收费3元计费(不足1km按1km计算).设出租车行车路程X是一个随机变量,司机所收车费为Y(单位:元),则Y=3X-3.已知出租车在一天内行车路程可能取的值有(单位:km)200,220,240,260,280,300,它们出现的概率分别为0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12.求出租车行驶一天所收车费的均值.分析先求出E(X),再利用E(Y)=E(3X-3)求E(Y).解:E(Y)=E(3X-3)=3E(X)-3=3×(200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12)-3=3×250-3=747.反思本题利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,将求E(Y)的问题转化为求E(X)的问题,避免了求Y的分布列的麻烦,简化了运算.题型一题型二题型三题型四【例2】某市出租车的起步价为6元,题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

已知随机变量X的分布列为(1)试求E(X);(2)若Y=2X-3,求E(Y).题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知随机变量X的分布题型一题型二题型三题型四【例3】

某运动员的投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮一次时命中次数ξ的均值;(2)求重复投篮5次时,命中次数η的均值.分析第(1)问中ξ只有0,1两个结果,服从两点分布;第(2)问中η服从二项分布.题型一题型二题型三题型四【例3】某运动员的投篮命中率为p=题型一题型二题型三题型四解:(1)投篮一次,命中次数ξ的分布列为,则E(ξ)=p=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布,即η~B(5,0.6).则E(η)=np=5×0.6=3.反思对服从二项分布或两点分布的随机变量求均值,只要利用相应公式即可,但要准确判断问题中的变量是否服从二项分布、两点分布.题型一题型二题型三题型四解:(1)投篮一次,命中次数ξ的分布题型一题型二题型三题型四答案:2题型一题型二题型三题型四答案:2题型一题型二题型三题型四易错点:分不清试验是不是独立重复试验【例4】

某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行.每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为(1)求选手甲可进入决赛的概率;(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ,试写出ξ的分布列,并求ξ的均值.题型一题型二题型三题型四易错点:分不清试验是不是独立重复试验题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四错因分析(1)甲答3题进入决赛指的是甲全部答对该3题,甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2道题,答错1道题,第4题答对.只有前3次答题事件满足独立重复试验.同理答5题进入决赛指的是前4题答对2道题,答错2道题,第5题答对.只有前4次答题事件满足独立重复试验,不是对全部进行独立重复试验.(2)甲答4题结束比赛,指答对前3题中的2道题,第4题答对进入决赛,或前3题中有2道题答错,第4题答错.甲答5题结束比赛,指答对前4题中的2道题.题型一题型二题型三题型四错因分析(1)甲答3题进入决赛指的是题型一题型二题型三题型四反思正确理解事件发生的情况是解决本题的关键.题型一题型二题型三题型四反思正确理解事件发生的情况是解决本题2.3.2离散型随机变量的方差2.3.2离散型随机变量的方差1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求方差和标准差.2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利用公式求它们的方差.1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列求121.离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)D(aX+b)=a2D(X).121.离散型随机变量的方差12知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平均水平.在实际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度,这就需要求出方差.12知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上描12【做一做1-1】

已知ξ的分布列为则D(ξ)等于(

)A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0解析:E(ξ)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,则D(ξ)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.245+0.027+0.338=0.61.答案:B【做一做1-2】

若随机变量ξ的方差D(ξ)=1,则D(2ξ+1)的值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5解析:D(2ξ+1)=4D(ξ)=4.答案:C12【做一做1-1】已知ξ的分布列为12【做一做1-3】

已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差为

.

解析:由条件知,x=0.5.E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,所以D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.答案:3.5612【做一做1-3】已知随机变量X的分布列如下表所示,则X122.两点分布、二项分布的方差(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).122.两点分布、二项分布的方差求离散型随机变量的方差的步骤是什么剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③求出随机变量的方差.【示例】

编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的学生的个数是X,求D(X).求离散型随机变量的方差的步骤是什么人教A版高中数学选修23全册配套课件题型一题型二题型三题型四【例1】

袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、均值和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.(2)运用E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ)求a,b.题型一题型二题型三题型四【例1】袋中有20个大小、形状、质题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要能正确求出每一个结果出现的概率.题型一题型二题型三题型四反思求离散型随机变量的均值或方差的关题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

袋中有大小、形状、质地相同的3个球,编号分别为1,2,3.从袋中不放回地每次取出1个球,若取到的球的编号为奇数,则取球停止.用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为

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题型一题型二题型三题型四【变式训练1】袋中有大小、形状、质题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+b=1,解得a=0.2,b=0.2.则XA,XB的分布列分别为题型一题型二题型三题型四解:由题意,得0.1+a+2a+0.题型一题型二题型三题型四先比较它们的均值:E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,所以,它们的均值相同,再比较它们的方差:D(XA)=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,D(XB)=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.题型一题型二题型三题型四先比较它们的均值:题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列分别为(1)求a,b的值;(2)计算ξ,η的均值与方差,并依此分析甲、乙的技术状况.分析本题考查分布列性质,均值与方差的应用,比较技术水平、机器性能、产品质量,通常要同时考虑均值和方差.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】甲、乙两名射手在一次题型一题型二题型三题型四解:(1)由离散型随机变量分布列的性质,得a+0.1+0.6=1,解得a=0.3;同理0.3+b+0.3=1,解得b=0.4.(2)E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2;D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.由于E(ξ)>E(η),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.题型一题型二题型三题型四解:(1)由离散型随机变量分布列的性题型一题型二题型三题型四【例3】

A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别为(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值.题型一题