第3部分 深化1 第3讲　开放创新题

6/6开放创新题《中国高考评价体系》指出命制结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规进行独立思考和判断，提出解决问题的方案，体现了高考试题的“应用性”，开放性和探究性问题在近几年的高考中多次考查.考点1结论开放型题结论开放型问题常见于含参的代数问题，参数的存在可能会导致表达式有不同的含义，另外，参数的不同取值也可能会带来不同的结果，因此结论开放，考查考生对概念深层次的理解．【例1】(1)(2021·江苏徐州期中)已知曲线C的方程为eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1(k∈R)，则下列选项不正确的有()A．当k＝5时，曲线C是半径为2的圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)xC．存在实数k，使得曲线C是离心率为eq\r(2)的双曲线D．“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”(2)(2021·新高考卷Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；③f′(x)是奇函数．(1)C(2)f(x)＝x2(答案不唯一)[(1)当k＝5时，曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示圆心为(0,0)，半径为2的圆，A正确；当k＝0时，曲线C的方程为eq\f(x2,9)－y2＝1，曲线C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)x，B正确；当曲线C是离心率为eq\r(2)的双曲线时，易知9－k＝－(k－1)，此时方程无解，故C错误；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则9－k＞k－1＞0，解得1＜k＜5，所以“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，D正确．故选C．(2)由f′(x)是奇函数可知f(x)是偶函数，又x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，此时不妨取f(x)＝x2，验证f(x1)f(x2)＝xeq\o\al(2,1)·xeq\o\al(2,2)＝(x1x2)2＝f(x1x2)．故f(x)＝x2正确．当然本题答案不唯一，如f(x)＝x4，x6，…，xeq\f(2,3)，xeq\f(4,3)，等等均可．]【点评】本题(1)利用一个含参的曲线方程进行设问，结论不唯一，这也是多项选择题的一般命题思路．我们只需按照各个选项的说明(条件)，结合不同曲线的方程特点，即可解决问题．本题(2)是结论多样性试题，可通过举例验证解答．考点2条件、结论同时开放题此类问题属于结构不良试题，结构不良试题所具有的条件或数据部分缺失或冗余，目标界定不明确，具有多种解题方法、途径，具有多种评价解决方法的标准，涉及的概念、规则或原理不确定等特征，使其在检测学生数学知识或方法的善用能力发展水平方面，进而落实高考数学创新性考查要求方面的作用显见．【例2】(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac＝eq\r(3)，②csinA＝3，③c＝eq\r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，________？[解]方案一：选条件①.由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2).由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b.于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c.由①ac＝eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2).由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b.于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq\f(π,6)，A＝eq\f(2π,3).由②csinA＝3，解得c＝b＝2eq\r(3)，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq\r(3).方案三：选条件③.由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2).由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b.于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c.由③c＝eq\r(3)b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点评】本题以条件部分缺失的三角形的存在性探究为情境型材料，创设学习关联情境，命制开放性的结构不良情境化试题．有解则体现为学生能够首先借助正弦定理和余弦定理，利用情境化试题已有的条件sinA＝eq\r(3)sinB和C＝eq\f(π,6)得出c＝b，进而基于情境化试题的求解导语“是否存在”快速得出最具性价比的解法，选择条件③，得出不存在△ABC的结论．这样的预设情境活动表明，本题能够基于信息获取、信息转化、知识整合、研究探索、批判性和创新思维考查学生的理性思维、数学应用、数学探索等学科素养和创新能力，检测学生数学知识或方法的善用能力发展水平，落实创新性考查要求．考点3操作实验型题此类问题多见于立体几何考题，将一个图形折叠、剪拼、堆放、拆合等的动态问题，都涉及对图形的分析和理解，需要考生在对平面图形有直观认识的基础上，进一步分析动态问题，需要考生有比较好的逻辑思维能力和空间想象能力．【例3】如图(1)，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF，得到如图(2)所示的四棱锥．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，垂足为K.设AK＝t，则t的取值范围是________．图(1)图(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[过F作FM⊥AB，交AB于M，连接FK(图略)，设FC＝x,0＜x＜1，则MF＝BC＝1，MB＝FC＝x，易知AK＜AD＝1，又AB＝2，所以K一定在M的左边，则MK＝2－t－x.在Rt△ADK中，DK2＝1－t2，在Rt△FMK中，FK2＝1＋(2－t－x)2.因为平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF＝AB，DK⊥AB，DK⊂平面ABD，所以DK⊥平面ABCF，所以DK⊥FK.在Rt△DFK中，DF＝2－x，DK2＋FK2＝DF2，所以1－t2＋1＋(2－t－x)2＝(2－x)2，化简得1－2t＋tx＝0，即t＝eq\f(1,2－x).因为0＜x＜1，所以eq\f(1,2)＜t＜1，所以t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]【点评】本题是一个动态的翻折问题，需要考生发现其中不变的垂直关系，从而得出相关变量间的关系，最终转化成函数的值域问题，考查空间想象能力，即根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断的能力．考点4方案设计型题方案设计型问题一般指有多种处理方式的问题或其中一个量有多种解的形式的问题，需要考生根据试题的特点，合理分析，选取最适当的方案进行解答，要求考生有较强的逻辑思维能力．【例4】(2021·百校联盟质量检测)双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平台64718170796982737560B电商平台60809777968776839496(1)作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；(3)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)由已知数据作出茎叶图如右：由茎叶图可知，B电商平台的销售更好，理由如下：①由茎叶图可知，A电商平台销售量的中位数为72，B电商平台销售量的中位数为85，因此B电商平台的销售更好；②由茎叶图可求得A电商平台销售量的平均数为72.4，B电商平台销售量的平均数为84.6，因此B电商平台的销售更好．(2)由题中数据可得2×2列联表如下：∴K2＝eq\f(20×8－482,8×12×10×10)≈3.333＜3.841，∴没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)由已知数据，得销售量前五名的店铺，销售量分别为97,96,96,94,87.设对应的店铺分别为a1，a2，a3，b1，b2，从中选取三个店铺共有10种情况，如下：(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，