专题35 导数中双变量与极值点偏移必刷100题(解析版)

专题35导数中双变量与极值点偏移必刷100题类型一:极值点偏移问题1-25题1．（1）设，且，证明：；（2）若函数，且m为非零实数，若存在，且，使得，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）双变量问题转化为单变量问题，通过构造函数来进行证明；（2）通过构造函数证明，再结合第一问的结论证明【详解】证明：（1）不妨设，则，等价于，设，令，，所以在上单调递减，，故，设，令，，所以在上单调递增，，故，故．（2）的定义域为，，因为为非零实数，所以，，即，令，，所以在上单调递减，不妨设，，，，由（1）得，所以，所以2．已知函数有且仅有两个极值点，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）原问题等价于有两个零点，且，（i）当时，在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，令，又，，由函数零点存在定理可得，即可求解；（2）由题意，，，即，，两式相减得，令，则，，，，要证：，即证：，只需证：，最后构造函数即可证明.（1）解：函数，，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，且，令，，（i）当时，，则在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意；（ii）当时，令，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以的最小值为，令，解得，又因为，，所以由函数零点存在定理可得，在区间和上各有一个零点，符合题意，所以的取值范围为；（2）证明：由（1）可知，，所以.，因为，是的两个零点，所以，，即，，两式相减得，令，则，，，所以，，，要证：，即证：，即证：，只需证：，令，，，，所以在上单调递增且，所以，则在上单调递增且，所以，从而得证．3．已知函数（为自然对数的底数），为的导函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若存在不相等的实数，，使得，证明：．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）先计算，再对求导得，分、、分别解不等式和即可得单调单增区间和单调递减区间；（Ⅱ）计算的单调性和最小值，可判断，由可得，构造函数，计算，再构造函数求导利用单调性判断即可得，代入即可求证.【详解】（Ⅰ）由得：，，当时，是常函数，不具有单调性；当时，由即可得，由即可得，当时，由即可得，由即可得，综上所述：当时，是常函数，没有单调区间；当时，的单调递区间是，的单调减区间是，（Ⅱ）当时，，由可得；由可得，所以在单调递增，在单调递减，因为存在不相等的实数，，使得，当时，，当趋近于时，趋近于，所以，所以，即两边同时取对数可得：，即，设，则，且，由可知，而，令，则，所以所以，所以在上单调递减，故，即，所以，，则有，即.4．已知函数.（1）求的单调区间与极值.（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大优值，无极小值；（2）证明见解析.【分析】首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；（2）首先由条件变形为，即，通过构造函数，，转化为极值点偏移问题，即可求解.【详解】（1）解：的定义域为，.当时，；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）证明：易知，，即，.不妨设，，.（1）可知，，当时，，当时，，设，，则，因为，，所以，在区间上单调递增，，所以，又因为，，所以，即，故.5．已知函数，其中，且.（1）讨论的单调性；（2）若直线恒在函数图像的上方，求实数的取值范围；（3）若存在，，使得，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）写出函数的定义域并求导，进而讨论参数a，最后求出函数的单调性；（2）将问题转化为不等式恒成立问题，进而求出a的范围；（3）构造函数，进而求出函数的单调性，然后将化到同一单调区间，最后得到答案.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，∴函数在上单调递增.②当时，在区间上，；在区间上，，∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，取，则，不符合题意.当时，令，则.问题转化为当恒成立时，求实数的取值范围.∵，∴在区间上，，单调递减；在区间上，，单调递增.∴的最小值为，∴只需，即，∴，∴.即实数的取值范围为.（3）由题意知，.构造函数（），则，∴，∴函数在区间上单调递减.∵，∴，∴.又，∴.由（1）知，当时在上单调递减，∴，即.6．已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，证明：.【答案】（1）时，递增；时，递减；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程变形为，设，，通过构造函数，，利用导数证明，再分和时，证明.【详解】解：（1），是减函数，是增函数，所以在单调递减，∵，∴时，，单调递增；时，，单调递减.（2）由题意得，，即，，设，，则由得，，且.不妨设，则即证，由及的单调性知，.令，，则，∵，∴，，∴，取，则，又，则，又，，且在单调递减，∴，.下证：.（i）当时，由得，；（ii）当时，令，，则，记，，则，又在为减函数，∴，在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，又，，∴，又，从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以，，又，，所以，，显然，，所以，，即，取，则，又，则，结合，，以及在单调递增，得到，从而.7．已知函数．若函数存在三个零点，分别记为，，．（1）求的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在定理即可得到答案；（2）要证，∵，∴，则，由函数的单调性可知，只需证明：即可.【详解】（1），令，得，．所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的极大值为，极小值为．若函数存在三个零点，则，所以，此时，，，故存在三个零点，所以，函数存在三个零点；（2）证明：要证，只需证因为函数存在三个零点，分别记为，，，由（1）知，故又时，单调递减，故只需证，又，所以，即．8．已知函数（，且）为单调减函数，的导函数的最大值不小于0．（1）求的值；（2）若，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由在上恒成立求得的一个范围，再由的最大值不小于0又得的一个范围，两者结合可得值．（2）由（1）知，因此中一个不大于1，另一个不小于1，不妨设，构造函数证明它在上，利用已知式可得与的不等关系，证得结论成立．【详解】（1）因为为单调减函数，所以恒成立，所以在上恒成立．由于当时，，所以，解得．因为，当时，的最大值为，由题意，，所以．综上，．（2）由（1）知，，所以．因为，为单调减函数，可设．令，．所以，所以在上单调递减，所以，所以，．因为，所以．因为为单调减函数，所以，即．9．已知函数()．（1）求函数的单调性；（2）设函数满足，若函数有两个不同的零点、且．①求实数的取值范围；②证明：．【答案】（1）在上单调递增；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）求导后分析导函数的正负即可.（2）①求出，再令，问题转化为寻求使得的极小值小于0即可②极值点偏移问题，构造对称函数即可证明.【详解】（1）由已知得函数的定义域为，则，∵时恒成立，∴在上单调递增，（2）∵，∴，其定义域为，①设()，∴，令，则，令，则，∴当时单调递减，当时单调递增，∴的极小值为，∵函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，∴需的极小值，即，∵当时，，令()，则，当时，∴在上单调递增，∴，∴在和上分别有个零点，∴当时在上有两个不等零点，即有两个不同的零点，∴实数的取值范围为，②由①知，∴，要证，即证，∵时单调递增，故而即证，又，即证，设函数，其中，由于，故，当且仅当时等号成立，∴在上单调递减，由于，因而，即，故而得证．10．已知函数有两个相异零点．（1）求a的取值范围．（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，由确定单调性，然后结合零点存在定理求出参数范围；（2）由（1）不妨设，首先把多个变量，的不等式变形为，构造函数，确定单调性后证得，这样利用在是递增，要证原不等式只要证，即证，构造函数，利用导数证明此不等式成立．【详解】解：（1）当时，单调递减；当时，单调递增；由得，当时，，所以使得f使得，综上：（2）由（1）可知，，要证即证构造函数，则所以在单调递减，．故有因为在上单调递增，所以只需证即证构造函数，下面证在时恒成立即证构造函数在时恒成立因此在上单调递增，从而，在时恒成立在时单调递增成立，即成立．11．已知函数．（1）讨论在其定义域内的单调性；（2）若，且，其中，求证：．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）由（1）知函数的单调性，不等式不等式转化为，由于，，利用单调性不等式转化为故只需证明，即证，这样引入新函数，利用导数证明时，即得．【详解】（1）①当时，，则在区间上单调递增；②当时，，，在区间上单调递增；，，在区间上单调递减，（2）由（1）得：当时，在上单调递增，在上单调递减，∴，将要证的不等式转化为考虑到此时，，，又当时，递增，故只需证明，即证，设，则.当时，，递增，所以，当时，.所以，从而命题得证.12．已知函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）首先确定函数零点的区间，构造函数，利用导数判断函数的单调性，并得到在上恒成立，并利用单调性，变形得到.【详解】（Ⅰ），所以的图象在点处的切线方程为．（Ⅱ）令，解得，当时，在．上单调递增；当时，，在上单调递减．所以为的极大值点，不妨设，由题可知．令，，因为，所以，所以单调递减．又，所以在上恒成立，即在上恒成立．所以，因为，，又在上单调递增，所以，所以．13．设函数，.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）若，当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，分类讨论，确定的单调性，最大值，解相应的不等式可得；（2）变形为，在证的不等式中若或，不等式已经成立，因此只要证时不等式成立，首先引入函数，，，由导数确定出的单调性，要证的不等式为转化为证，，即证：，为此再引入新函数，，利用导数可证．【详解】（1）解：，当时，，令得：，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减.∴，由，得：，当时，，则对恒成立，∴在区间上单调递增，且，所以不符合.故：的取值范围为.（2）∵，∴，得：，若或，则结论显然成立.当时，，令，，，所以为单调递增函数，则，证：证：，而，所以等价于证：，即证：，，令：，，得：在区间上递增，在区间上递减，∴，因为，所以，所以，故原不等式得证.14．已知函数.其中为常数.（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得的单调性，从而得极值点个数，由此可得结论；（2）结合（1）求得函数有两个零点时的范围，设，则，，引入函数，由导数确定它是减函数，得，然后利用，再结合的单调性得出证明．【详解】（1），当时，，在上单调递增，不符合题意，当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以此时只有一个极值点．（2）由（1）知当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，函数取得最小值，当时，，，函数无零点，不合题意，当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，当时，，，又，所以在上只有一个零点，令，则，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一个零点.所以满足题意.不妨设，则，，令，则，，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，因为，所以，所以，又，，且在上单调递增，所以，故得证.15．已知函数，，其中.（1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围.（2）当时，若有两个零点，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意设，问题转化为方程，在有解，求导，分类讨论①若，②若，③若时，分析单调性，进而得出结论.（2）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证.【详解】解：（1）设，则由题设知，方程，在有解，而.设，则.①若，由可知，且，从而，即在上单调递减，从而恒成立，因而方程在上无解.②若，则，又时，，因此，在上必存在实根，设最小的正实根为，由函数的连续性可知，上恒有，即在上单调递减，也即，在上单调递减，从而在上恒有，因而在上单调递减，故在上恒有，即，注意到，因此，令时，则有，由零点的存在性定理可知函数在，上有零点，符合题意.③若时，则由可知，恒成立，从而在上单调递增，也即在上单调递增，从而恒成立，故方程在上无解.综上可知，的取值范围是.（2）因为有两个零点，所以（2），即，设，则要证，因为，，又因为在上单调递增，所以只要证明，设，则，所以在上单调递减，（2），所以，因为有两个零点，，，所以，方程即构造函数，则，，，记，则在上单调递增，在上单调递减，所以，且，设，，所以递增，当时，，当时，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，综上：.16．已知f（x）＝me2x﹣2x（x+1）ex，其中e为自然对数的底数，且函数f（x）恰有两个极值点x1，x2.（1）求实数m的取值范围；（2）求证：3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得导数，构造函数，将问题转化为值域的求解，利用导数处理即可；（2）构造函数，据此求得的范围，借助基本不等式求得的范围，即可证明.【详解】（1），函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则有两个变号零点，当时，，其，故此时有两个变号零点，满足题意；当时，，令，故可得，故当或时，，单调递减，当时，，单调递增.且当时，恒成立，当趋近于正无穷时，趋近于0，又趋近于负无穷时，趋近于正无穷；且，故当时，只有一个极值点，不满足题意；当时，有三个极值点，不满足题意；当时，有两个极值点，满足题意；当时，没有极值点，不满足题意.综上所述，（2）令，则，不妨设，由（1）可得：，令，则，故在单调递减.故当时，，即.令，则，又，故，又因为，且在单调递减，故，即.故，由（1）知，则故，即.综上可得：，.故3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8即证.17．已知函数.（1）若，求的最小值；（2）若，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）当时,,先求导可得,设,利用导函数可判断在上单调递增,由,即可判断的单调性,进而求解；（2）先求导可得,容易得到在上单调递增,由,即可判断在上单调递减,在上单调递增,设,则,,设,利用导函数可判断在上单调递增,则,即,则可得,即,进而由的单调性求证即可.【详解】（1）解:当时,,所以,设,则,所以在上单调递增,即在上单调递增,因为,所以当时,；当时,,因此在上单调递减,在上单调递增,所以.（2）证明:,则,所以在上单调递增,因为,所以当时,；当时,,因此,在上单调递减,在上单调递增,由,不妨设,则,,令,则，当时，，故,所以在上单调递增；所以当时，即时,，因此,又,所以,因为,,在上单调递增,所以,即,故.18．已知函数在内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a为常数.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1+x2＞2.【答案】（1）a＞1；（2）证明见解析.【分析】（1）转化问题为有两个变号零点,设,利用导函数可得在上单调递增,则,即转化问题为有两个变号零点,即,则,设,则直线y=a与在x∈（0,+∞）有两个交点,进而利用导函数求的最值,即可求解；（2）由（1）,若x1+x2＞2,则g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,构造函数F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,进而证明x∈（0，1）时F（x）＞0即可.【详解】（1）因为,由题意知x1，x2是导函数的变号零点,令,则,所以在上单调递增,又,所以,所以x1，x2是的两个零点,即,则,又令,则g（x1）=g（x2）,从而只需直线y=a与函数g（x）的图象在x∈（0,+∞）上有两个交点,由可得当时,；当时,,所以g（x）在（0,1）递减,在（1,+∞）递增,从而,所以a＞1.（2）证明:由（1）知,0＜x1＜1＜x2,若不等式x1+x2＞2成立,则g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,则只需F（x）＞0,而,只需研究的符号,因为,,所以,所以,则,所以,即x1+x2＞2成立.19．已知函数有两个不同的零点，.（1）求a的范围；（2）证明：.【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）分类讨论参数的范围，利用导数得出单调性，结合函数的零点个数，得出的范围；（2）不妨设，由（1）可知，，结合函数的单调性，得出等价于，即，构造函数，，求出，即可得出结论.【详解】（1）当时，；在上单调递减，在上单调递增，，且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，则函数有两个不同的零点，，当时，或；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增结合可知，此时函数只有一个零点当时，或；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增结合，可知，此时函数只有一个零点，当a＝0时，f（x）＝xex只有一个零点x＝0，不合题意；综上，.（2）不妨设，由（1）可知，在上单调递减等价于，即由于，而则设，，则则函数在上单调递减，即，从而20．已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意，当时，，①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；②当时，若，；若，；故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）方法1：由得令，则，依题意有，即，要证，只需证（不妨设），即证，令，设，则，在单调递减，即，从而有.方法2：由得令，则，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，易知，故只需证，即证令，（），则==，（也可代入后再求导）在上单调递减，，故对于时，总有.由此得21．已知函数有两个极值点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：；（III）求证：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（III）见解析【分析】（Ⅰ）求出导函数．设，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小值，当函数有两个极值点时，求解的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，为的两个实数根，不妨设，要证，即证，而在上单调递减，所以即证，即证，即，，设，利用导数证明其单调性即可得证；（III）要证，只需证．设函数，，利用导函数判断函数的单调性转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ），．设，则．令，解得．当时，；当时，．．当时，，函数单调递增，没有极值点；当时，，且当时，；当时，．当时，有两个零点，．不妨设，则．当函数有两个极值点时，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，要证，即证，而在上单调递减，所以即证，即证，即，，设，则，令，则，当，则，即在上单调递增，在上单调递减，所以即，单调递增，，所以原不等式成立；（III）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，，为的两个实数根，，在上单调递减且，函数在，上也单调递减，．要证，只需证，即证．设函数，，则．设，则，在上单调递增，，即．在上单调递增，．当时，，则，，．22．已知.（1）当时，求的单调区间；（2）设，且，求证：.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析【分析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明函数在上单调递增，且，又，不妨设，则有；利用分析法得出要证，只需证明，其中，构造函数，利用导数证明其单调性，得出在的最小值大于4，即可证明.【详解】（1）当时，∴，令，解得或令，解得因此的单调增区间为，单调减区间为.（2）∵，令，则令，解得令，解得故函数在内单调递减，在内单调递增因此，则函数在上单调递增且，又，不妨设，则有；要证，只需证明，由的单调递增，只需证明，即：，即证明，其中.设，则故在上恒成立，则在上单调递增，故在上单调递增从而，即有在上恒成立，即有，从而有，证毕.23．函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）对分类讨论，利用导数证明单调性即可；（2）构造函数利用导数得出的极值点，根据极值点得出，再次构造函数，利用导数证明其单调性，根据单调性得出，结合得出，再由的单调性，即可证明.【详解】（1）函数，..对分类讨论：时，，可得：时，函数单调递减；时，函数单调递增.时，令，.时，，，则函数在上单调递减.且时，由，解得，..时，，∴函数在，上单调递减；在上单调递增.时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：即令∴可得函数在上单调递减，在上单调递增∴时，函数取得极小值即最小值，∵，∴设，∴函数在上单调递增，∴∴∵，，在上单调递增，∴∴24．已知函数有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．试题解析：（Ⅰ）．（Ⅰ）设，则，只有一个零点．（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．（Ⅲ）设，由得或．若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．25．已知函数.（1）证明：在上为增函数；（2）若，，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由题可知，利用导数可求最小值，即证；（2）由题可得，要证，只需证，，构造函数，利用导数即证.（1）由题意，，令，则，令，则，故在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数，∴，故，故在上为增函数.（2）由（1）知为增函数，且，故由，，可得，则.欲证：，只需证：，即证：，即证：.令，则，令，则，故为增函数，，故为增函数，，故，则，∴.类型二:消元解决双变量问题26-100题26．设函数，（1）求的单调区间；（2）设，求证：，恒有.（3）若，函数有两个零点，求证.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域，讨论、时，解不等式和即可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用导数证明出，即可证得结论成立；（3）分析得出要证明，由已知条件得出，要证明，分析得出等价于证明，令，构造函数，利用导数证明出，即可得出，进而可证得结论成立.（1）函数的定义域为，且，当时，由可得，由可得，因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，恒成立，此时的单调递增区间为，综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为.（2），，所以，因为，所以当时，，函数在区间上单调递减，当时，，，所以，其中，构造函数，其中，，则，所以函数在上单调递增，则，所以函数在上单调递增，，所以对于、，恒有；（3）因为，则，所以函数单调递增，且，要证，即证，即证，即证，因为函数有两个零点，由题意可得，上述两个等式作差得，下面先证明，只需证：，整理得，即证，设，不妨设，则，所以函数在上单调递增，所以，因为，所以，故原不等式成立.27．已知函数.（1）函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：（2）求证：当时，；（3）若有两个不同的零点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）在定义域内恒成立只需要在定义域内满足，对进行分类讨论；（2）取时，，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和产生联系；（3）由题知，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有，故想办法消去参数，只保留的关系，然后构造函数进行解决.（1）函数定义域为，，当时，，不满足题设；当时，，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，解得.综上：的取值范围是.（2）证明：由（1）得，当时，当且仅当时等号成立，所以，结合对数的运算法则可得，所以.所以.（3）由题意，，两式相减得，即，故要证明，即证明，即证明，不妨设，令，，令，，所以在上单调递减，，所以在上单调递减，，在上成立，令，得，所以.28．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设,当时，满足，求证：．【答案】（1），上减；，上减，上增；（2）证明见解析．【分析】（1）求导分两种情况当时，当时，利用导函数的正负得到函数的单调性．（2）由得到，代入所求，化简得，令，，令，求导分析单调性，最值，即可得出结论．【详解】（1）函数，定义域为，，当时，，所以在上为减函数，当时，即，所以，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.综上，当时，，所以在上为减函数，当时，在上为减函数，在上为增函数.（2）由题意，由，得所以，将代入得：得，又，所以，设，，则所以在上是减函数，所以，即，又，所以.29．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象与函数的图象交于，两点，其中，求证：.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，结合导函数值的正负研究函数的单调性，即可求出单调区间；（2）证明不等式，先找两个式子之间的联系，将不等式转化为证明，再设，利用换元法减少参数数量来证明，即证，再构造函数，利用最值思想证得该不等式.【详解】（1），，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；的增区间为，减区间为.（3）证明：由，得，记，由，得，记，因为，所以，所以，所以，又，下面证：，设，则令，则，所以在上单调递增，故，即，所以，所以，故.30．已知函数．（1）讨论函数的单调性;（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，求证：．【答案】（1）见解析（2）证明过程见解析.【分析】（1）根据实数的正负性，结合导数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据零点的定义，结合指数的运算法则，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明即可.【详解】（1）由，可得，当时，，函数是实数集上的增函数，当时，令，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述：当时，函数是实数集上的增函数，当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；（2）由（1）可知：当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数有最小值，最小值为：，因为函数有两个不同的零点，不妨设，因为当时，，当时，，所以有，即，，因为函数有两个不同的零点，所以，因此令，构造函数，因为，所以，因此，所以当时，函数单调递减，故有，而，所以.31．已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分离参数得到，进而通过导数方法求出函数的最大值即可；（2）根据条件得到，进而整理为，进而求出的范围，再解出的范围，最后得到答案.【详解】（1）因为，所以对恒成立.设函数，则.令函数，因为在上单调递减，且.所以当时，，则；当时，，则.所以在上单调递增，在上单调递减，从而，故的取值范围为.（2）由，得，即，整理得.令，设函数，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以.因为，所以.因为方程组无解，所以中的等号不成立，所以.32．已知函数.（1）讨论的极值点的个数；（2）若函数有两个极值点，，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可求导函数，再通过分类讨论即得；（2）由（1）知，由题得需证明，构造函数，然后利用导函数求最值即可.【详解】（1）由题意得，，设，则，①当时，，单调递减，，故时，有唯一零点，在上有一个极值点；②当时，，单调递增，，故时，有唯一零点，在上有一个极值点.综上可得，当时，的极值点的个数为0；当时，的极值点的个数为2；当时，的极值点的个数为1.（2）证明：因为函数有两个极值点，由（1）可知.设，则，，当，时，显然成立；则，，，则，故，故，同理，两式相减得，则.而要证，只需证，即，因为，所以，故上式可化为，即令，则，上式即为.令，则，故为减函数，故，即，原命题得证.33．已知函数有三个不同的极值点，，，且.（1）求实数a的取值范围；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）3【分析】(1)由题意转化为有三个不同解，即有两个不同正根，分离参数得，结合的单调性及最小值即可求解；（2）由（1）知条件可化为，令，条件转化为，利用导数求出函数单调递增且即可求解.【详解】（1），原函数定义域为，由题意，则或，有两个不等于1的正实根，令，则，即当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，.（2）由题意三个极值点，可化为，令，，令，则，令，则，故单调递增，，，单调递增，，34．已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x＝1时的导数值等于0求得a的值；（2）把a＝1代入函数解析式，利用导数求出函数的单调区间，构造函数，由导数得到函数h（m）的单调性，在定义域内分m＜1，m＝1，m＞1得到h（m）的符号，从而得到f（m）与f（）的大小；（3）由函数f(x)有两个零点x1、x2，得到lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，进一步得到，lnx1+lnx2＝a（x1+x2），把证明x1x2＞e2转化为证lnx1+lnx2＞2，结合lnx1+lnx2＝a（x1+x2）转化为证明（x1＞x2），换元后利用导数得到证明．【详解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：，∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，∴，即a＝1；（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，∴，当0＜x＜1时，，f(x)单调递增，当x＞1时，，f(x)单调递减．令，则．又∵h（1）＝0，①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即；②当m＝1时，h（m）＝0，即；③当m＞1时，h（m）＜0即；（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x1、x2，∴lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，∴lnx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），∴，欲证明，即证lnx1+lnx2＞2，∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），∴即证，∴原命题等价于证明，即证：（x1＞x2），令，则t＞1，设（t＞1），，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，又∵g(1)＝0，∴g（t）＞g(1)＝0，∴，即．35．已知函数，.（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意知有解，分离可得有解，令，可得，利用导数求的最大值即可求解；（2）由题意知，是的两根，将，代入整理可得，所证明不等式为，令，问题转化为证明成立，利用导数证明单调性求最值即可求证.【详解】（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以；（2）由，是的不同极值点，知，是的两根，即，所以①，联立可得：②，要证，由①代入即证，即，由②代入可得③，因为，则③等价于，令，问题转化为证明④成立，而，在上单调递增，当，④成立，即得证.36．已知函数存在两个零点，.（1）求的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求，讨论时单调不合题意，时需，求出的范围，再讨论的范围，结合单调性以及零点存在定理即可求证的范围符合题意；（2）由（1）知：在和上分别有一个零点；不妨设，将零点代入整理可得，要证，只需证，令，构造函数，利用导数求最值即可求证，即得证.【详解】（1），①当时，，则在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当时，当时，，单调递减；当时，，在上单调递增，则，解得，注意此时，（i）当时，，此时，则在和上分别存在一个零点；（ii）当时，，设，，所以，，所以在单调递增，则，所以在单调递减，则，即，此时，则在和分别存在一个零点；综上，若有两个零点，则的取值范围为；（2）不妨设，由得：，两式相减得：，两式相加得：，要证，只需证，只需证，因为，所以只需证，即证，令，，，则，所以在单调递增，则，所以原不等式得证.37．已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）具体见解析.【分析】（1）对函数求导，根据导函数和原函数的关系得出单调区间；（2）先求出导函数，设，进而通过的符号得出的单调区间，再通过特值法和放缩法判断出零点的位置，进而得到的符号，从而得出原函数的单调区间和极值点，最后再通过放缩法证明问题.【详解】（1），，时，，时，，则函数在单调递减，在单调递增.（2），令，∵，则在R上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，且.令，，则时，，单调递增，∴，∴x>0时，，则，于是x>0时，.∴，∴时，，于是（x2唯一），使得.∴时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.则函数在处取得极小值，在处取得极大值.又∵，∴，∴，∴.38．已知函数，.（1）已知函数在区间上单调，求实数m的取值范围；（2）设，若，，，求整数m的最小值.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；（2）由题意得，，分析可得必有对求导，对m分类讨论即可得答案.【详解】解：（1），若函数在区间上单调递增，则在恒成立，所以，解得；若函数在区间上单调递减，则在恒成立，所以，解得，综上，实数m的取值范围为.（3）由题意得，，因为，所以，即，由，当时，因为，则不合题意；当时，由，得或（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，即，整理得，，设，，所以单调递增，，又因为，，所以，故整数m的最小值为3.39．已知函数，.（1）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；（2）设g(x)=f(x)+（a+1）x，证明：当-1<a<0时，在区间（a，0）上任取不等的两数m和n，总有.【答案】（1）定义域为，单调性见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据真数大于零，即可求出函数f(x)的定义域，再求出导数，根据分类讨论即可解出；（2）不妨设，原不等式可化为，从而可知函数f(x)在（a，0）上单调递减，由（1）中结论，即可证出．【详解】（1）由可得，所以函数f(x)的定义域为．，由可得或．当时，由解得，由解得；当时，由解得或，由解得；当时，恒成立；当时，由解得或，由解得．综上，当时，函数的增区间是，减区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数的增区间是，无减区间；当时，函数的增区间是和，减区间是．（2）不妨设，原不等式可化为，即所以函数在上单调递减，由（1）可知，当时，函数在上单调递减，故原命题得证．40．已知函数．（1）当，时，求的单调区间；（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；（3）设，若有两个相异零点，，求证：．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）当，时，求得导函数，利用导函数与单调性的关系进行求解；（2）利用导数与极值的关系转化为方程有两个不相等的正实数根，利用二次函数的图象和性质及韦达定理求得的取值范围，不等式有解，转化为，利用韦达定理的结论可以整理为关于实数的函数，进而利用导数进行研究求得其最大值即得的取值范围;（3）设的两个相异零点为，，设，将要证不等式，转化为，进一步可转化为，设上式转化为，然后构造函数，利用导数研究单调性进而证明即可.【详解】解：（1）当，时，，∴，∵，令，则或，令，则，∴的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）证明：由题可得，∵函数有两个不同的极值点，，∴方程有两个不相等的正实数根，于是有解得．∵不等式有解，∴．∴．设，，故在上单调递增，故，∴．故实数的取值范围为．（3），设的两个相异零点为，，设，欲证，需证．∵，，∴，，∴，．要证，即证，即，即，设上式转化为，设，∴，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴．41．已知函数．（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当，时，对任意，有成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）要先求出,利用分类讨论思想，讨论函数的单调性，结合零点存在定理可求答案；（2）先把转化为，然后求解函数的最值，构造函数，结合单调性可得b的取值范围．【详解】（1）定义域为，当时，；当时，，为增函数，取，，所以，故此时恰有一个零点；当时，令，，时，，所以在单调递减，时，，所以在单调递增；要使函数恰有一个零点，需要解得，综上，实数a的取值范围是或.（2）因为对任意，有成立，且所以.因为，所以，所以，当时，，当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为与，所以令则当时，，所以在上单调递增，故，所以，从而所以，即.令，则.当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，解得，所以b的取值范围是.42．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）实数，满足，求的最大值．【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为；（2）.【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负即可求解单调区间；（2）化简等式得，同构函数得，，即可代入求解最值.【详解】（1），的两根为和，所以当或时，；当时，；所以的单调增区间为和，单调减区间为．（2）由题意知，所以，因为，所以，令，，所以在单调递增，所以，，令，令，，所以当，，当，，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以最大值为．43．已知函数，．（1）曲线在处的切线方程；（2）设函数．①若在定义域上恒成立，求a的取值范围；②若函数有两个极值点为，，证明：．【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）先求导函数，计算和，再利用斜率和切点写直线方程即可；（2）①先化简整理即，再构造函数，利用导数求其最大值，即得；②求导函数，先说明讨论时不符合题意，得到，再利用，整理得，利用分析法只需证时，构造函数，利用导数判断单调性证明，即证结论.【详解】解：（1），则，，所以切线斜率为2，切点为（1，1），切线方程为y-1=2（x-1），在处的切线方程为；（2）①，，因为，，，在上恒成立，令，，时，，时，，；②，，设，则，当时，，在单调递增，故不可能有两根，即函数不可能有两个极值点，不符合题意，所以.有两个极值点，，可设，，，，要证，只需证，即证，即，即，设，，，即证函数，而，即在上递增，，故，所以成立.44．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，再对分两种情况讨论得解；（2）要证，等价于证明，令，则，等价于证明成立，设函数，求出函数最小值即得证.【详解】解：由题意得，①时，恒成立，所以，所以在单调递增.②时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增.综上，时，在单调递增.时，在单调递减，在单调递增.（2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，，不妨设，因为，，所以，，所以，要证，即证，等价于证明，而，所以等价于证明，也就是.（*）令，则，于是欲证（*）成立，等价于证明成立，设函数，求导得，所以函数是上的增函数，所以，即成立，所以成立.45．已知函数，，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为.（1）求的值；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意列方程组，解出的值；（2）把对任意，不等式恒成立，转化为，分别求出和，建立不等式，即可求出k的范围.【详解】解：（1）因为，所以，即，又，所以，由题意得，所以由得（2）由（1）得，对任意的，恒成立，所以，因为，令得，令得或.所以函数在上单调递减，在上单调递增.而，所以，而，当时，，故，所以实数的取值范围是.46．已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．【详解】（1）当时，，导数为，可得切线的斜率为，且，所以切线的方程为，即为；（2）证明：由题意可得，若，则，所以在递增，因此不存在，使得，所以；设，，则，令，，所以在递减，又，所以在恒成立，从而在递减，从而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因为，所以，因此要证，只需证明，即证，③设，，则，所以在上为增函数，又因为，所以，即③式成立.所以获证.47．已知函数.（1）求函数在定义域内的最值.（2）当时，若有两个不同的零点，，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）的定义域为，对求导，讨论、、时单调性即可求解；（2）根据已知条件可得，可得，不妨设，整理可得关于的方程，令，构造关于的函数，求导判断单调性即可求证.【详解】（1）函数的定义域为..当时，此时函数为增函数，无最值.当时，令，得或.①若，则，.由，得；由，得.所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以函数在定义域内有最大值，无最小值.②若，则，.由，得；由，得.所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以函数在定义域内的最大值为，无最小值.（2）由（1）知，当时，函数在定义域内的最大值为.因为有两个不同的零点，，所以，解得.不妨设，由题意知，，所以，即，即.设，则，所以当时，，此时单调递增，故，即，所以.令，则上式可化为，所以，所以，即，所以.又因为恒成立，所以.48．已知.（1）若，求的单调区间；（2）已知函数有两个极值点（），若恒成立，试求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【分析】（1）求出导函数，结合导数与函数单调性的关系即可求解.（2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，利用韦达定理得，故，然后分离参数只需恒成立，，从而令，，利用导数求出的最小值即可求解.【详解】（1）时，，所以，，得（舍）或，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是（2）由（1）得，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，则，故，要使恒成立，只需恒成立．即因为，，设，，，，，即所以，单调递减，当由题意，要使恒成立，只需满足，即所以实数的取值范围．49．已知函数（）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）首先求函数的导数，再分和求函数的导数；（2）首先由条件可知，变形后两式相除得，设，换元后，分别解出和，通过构造函数（），利用导数证明函数的单调性，再解抽象不等式，从而求得的最大值.【详解】（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，则，设，则，易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，∴，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；（2）依题意，，则两式相除得，，设，则，，，∴，，∴，设（），则，设，则，所以在单调递增，则，∴，则在单调递增，又，且∴，∴，即的最大值为.50．已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得，令，两式相除得，欲证，即证，即证，记，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令，代入化简得，，将不等式转化为，即证.记，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：的定义域为，.①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；（ii）若，则，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在两个零点，分别在，内.综上，实数的取值范围为.（2）证明：方法1：由题意得，令，两式相除得，变形得.欲证，即证，即证.记，，故在上单调递减，从而，即，所以得证.方法2：由题意得：由（1）可知，，令，则，则，两式相除得，，，欲证，即证，即证.记，，令，，故在上单调递减，则，即，∴在上单调递减，从面，∴得证，即得证.51．已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.【答案】（1）在上单调递增；（2）最大值为3.【分析】（1）对函数求导，然后分及讨论即可得的单调性；（2）设，由题意，，，则，设，判断函数的单调性，结合题意即可求得的最大值.【详解】解：（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，∴，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；（2）依题意，，则，两式相除得，，设，则，，，∴，，∴，设，则，设，则，∴在单调递增，则，∴，则在单调递增，又，即，而，∴，即的最大值为3.52．已知函数，.（1）讨论的零点个数；（2）若有两个极值点，，且，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求解出，然后根据、、分类讨论的取值正负，由此确定出的单调性，再结合分析的零点个数；（2）根据已知条件确定出满足的关系式，然后计算并将其转化为“”，故只需证明“”，通过构造函数并分析其单调性以及取值范围来完成证明.【详解】解：（1）函数的定义域为，，令，时，因为，，，所以在上单调递增，又，故有且只有个零点：时，，，在上单调递增，又，故有且只有个零点；时，有两正根，，，由于，所以，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；因为，，所以在上有个零点，且，，又，，且，，所以在，上各有个零点.综上所述，当时，有且只有个零点：当时，有个零点.（2）证明：由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点，满足，所以，，不妨设，则，则，，所以等价于，即，令，则所以在上单调递减，所以，所以.53．已知函（）有两个极值点，．（1）求的取值范围；（2）当时，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先求定义域为，求导可得，令，由函数有两个极值点，，则函数有两个零点，，再根据函数的性质即可得解；（2）由（1）知，当时，不妨设，则，，由，所以，考查函数，即可得解.【详解】（1）由题可知，函数的定义域为，，令，因为函数有两个极值点，，所以函数有两个零点，，，当时，，在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意．当时，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．注意到，所以当，即时，有唯一零点，不符合题意．当即时，，当即时，在上有唯一零点．，设，，则，所以在(0，1)上单调递减，所以，即．又，所以在上有唯一零点．此时有两个零点，符合题意．当，即时，在上有唯一零点．而，（易知），所以在上有唯一零点．此时有两个零点，符合题意．综上，的取值范围是．（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，不妨设，则，．因为，所以．设，，则，设，，则，所以在上单调递减，，即，所以在上单调递减．因为，所以，，即证得．54．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）先求解出，然后根据，进行分类讨论，由此确定出的单调性；（2）根据的结果化简，将其转化为关于的函数，再采用换元法令，构造关于的函数，分析其单调性并确定出其最大值，则的最大值可求.【详解】解：（1）．①当时，，则函数在单调递增；②当时，，其中，若，则，函数在单调递增；若，设方程的两根分别为，，则，．解得：，，则函数在，单调递增，在单调递减，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在，单调递增，在单调递减．（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，且，，所以，由（1）知，，则，，∵，∴，令，则，，则函数在时单调递减，则的最大值为．55．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：，，.【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）求出，令和可得答案.

（2）即证明：,设，可得为上的减函数，可得，从而得证.【详解】解：（1）由，则，，，令，解得；令，解得.所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（2）证明：，要证明.即证明：.即证明：.令，，且.，所以函数在上单调递减，则，由，则，所以，即：，，成立.56．设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的方程有两个实根，设为，（），证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求得切点处的斜率，从而写出切线方程；（2）由函数导数求得函数单调区间，分别取在点的切线方程及在处的切线方程为与的交点横坐标为，分别证得，，从而证得.【详解】解：（1）由于，又，故在点的切线斜率，因此所求切线方程，即．（2）由于，故时，，单调递减，时，，单调递增，由图易知，，，由（1）可知，在点的切线方程为，设与的交点横坐标为，且即，下证．由于在单调递减，故只需证明即可．设（）．，故，，函数单调递减，，，函数单调递增，因此，即．又在处的切线方程为，设与的交点横坐标为，，即，下证．由于在单调递增，故只需证明即可，设，，函数在单调递减，，即．综上易知，，即．57．已知，（1）求在处的切线方程及极值（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解．（3）的两个零点为，且为的唯一极值点，求证：【答案】（1）切线方程为；极小值为，无极大值；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；（3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）所以定义域为，，，，所以切线方程为；，令，解得；令，解得；所以在区间上单调递减，在上单调递增．时有极小值为，无极大值；（2）等价于，，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得，即，所以在上递减，在上递增，且，所以的最大整数解为；（3）证明：，得，当，；，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即，，而要证，只需证，即证，即证，由，只需证，令，则，令，则，故在上递增，，故在上递增，，．58．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，对分和两种情况讨论；（2）根据题意，得，两式相减得，即，令，构造函数即可证明.【详解】解：（1）因为，所以，当时，对任意的成立当时，令，得；令，得综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.证明：（2）当时，方程，即为.根据题意，得，两式相减得，即，故，所以，即，令，则，设，则，因为，所以，所以在区间上单调递增.又当时，，所以当时，，即，所以当时，即.59．已知函数有最小值M，且.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当取得最大值时，设，有两个零点为，证明：.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据题意，对参数b分类讨论，通过导数验证函数是否有最小值，并求得最小值满足的关系，即可证明不等式.（2）当取得最大值时，,代入函数，分别表示两个零点满足的关系，将问题等价转化为，消去参数m，以进行换元，将问题转化为函数的最值问题，从而证明不等式.【详解】（Ⅰ）有题意当时，，在上单增，此时显然不成立；当时，令，得，此时在上单减，在上单增，，即，所以.所以的最大值为1.（Ⅱ）当取得最大值时，,.的两个零点为，则；，即不等式恒成立等价于.两式相减得，带入上式得.令，，，所以函数在上单调递减，，得证.60．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：.【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，再按的正负分类讨论，分区间确定的正负情况；（2）当时，不等式变形为二元的对数式与齐二次分式形式，故采取整体元构造函数法，令，构造新函数，求导研究单调性，证明即可.【详解】解：（1）的定义域为，且，则，当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减.综上可知：当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是.（2）由，，，由于，所以.设，故：，令，则，由于，故，则在上单调递增，故，即：所证不等式成立.61．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式即可得解；（Ⅱ）求函数导数，根据导数的正负即可得单调区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，转化为恒成立，再求的导数，讨论单调性求最值即可.【详解】（Ⅰ）∵，定义域是，∴，，，故切线方程为，即；（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得，令，解得，故在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是，即的最大值是，∵，∴，令，解得或，若，，不等式恒成立，则时，恒成立，①当即时，在上单调递增，此时，令，得；②当时，即时，在递减，在递增，此时，令，解得，不符合题意；③当即时，在递减，故，令，解得，不符合题意综上，实数的取值范围是．62．已知函数(为常数).（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，设的两个极值点，，求的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为.【分析】（1）先求解出，然后分类讨论与的大小关系，由此确定出的单调区间；（2）根据是的两个极值点可求得的值，再利用的值将化简成，然后通过构造新函数并分析其定义域结合单调性求解出其值域，则的取值范围可求.【详解】解：（1），，当，由，解得，即当时，，单调递增；由解得，即当时，，单调递减；当时，，即在上单调递增；当时，，故，即在上单调递增.综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为.（2）由题意得，为的两个零点，由（1）得，故设，由且得，则，得.在上单调递减，故.故最小值为.63．已知函数（），.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，若函数有两个极值点，（），求证：.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）先对函数求导，并对参数的取值范围分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可；（Ⅱ）先确定存在极值点的条件，再利用韦达定理对进行化简，然后构造函数求其最大值并比较即可得出结论.【详解】解：（Ⅰ）函数（）的定义域为，，当时，，∴函数在上单调递增；当时，令，，显然这两个图象有一个交点.不妨令，则当时，，即，∴函数在上单调递减；当时，，即，∴函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）证明：，则，此时，是方程的两根，且，解得.由韦达定理得，，∴.令（），则.令，则.∵，∴，∴函数在上单调递减，∴.∵，∴，∴，∴.64．已知函数，为的导数.（1）设函数，求的单调区间；（2）若有两个极值点，①求实数a的取值范围；②证明：当时，.【答案】（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析.【分析】（1）首项求，并且得到函数的解析式，并求，讨论和求函数的单调区间；（2）①有两个极值点，所以有两个零点，根据（1）的单调性，可知，并求出函数的极小值，讨论，并结合零点存在性定理求的取值范围；②首先判断，并根据是的两个零点，并转化和，构造函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式.【详解】解：（1）依题意，的定义域为，且，则.①当时，在上恒成立，单调递减；②当时，令得，，所以，当时，，递减；当时，，递增.综上，当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为.（2）①因为有两个极值点，所以有两个零点.由（1）知，时不合；当时，.（i）当时，，没有零点，不合；（ii）当时，，有一个零点，不合；(ⅲ)当时，.，设，，则.所以，即.所以存在，使得.又因为，所以存在，使得.的值变化情况如下表：x+0-0+极大值极小值所以当时，有两个极值点.综上，a的取值范围是.②因为，，所以.因为是的两个零点，所以，.所以，.记，则，所以在上单调递增.又因为，所以，即.65．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知为函数的两个极值点，求的最大值．【答案】（1）在和单调递增，单调递减；（2）.【分析】（1）当时，求出导函数，利用导数求单调区间；（2）先由为函数的两个极值点，得到，令，则由，求出；对于换元后得到利用导数判断单调性，求出最大值即可.【详解】定义域为.（1）当时，令，当时，；当时，，∴在和单调递增，单调递减．（2）由题得，因为为函数的两个极值点，则为方程的两个实根，∴，所以∴，∴，所以令，则有，∴，∴对于，令则当时，有；当，有，所以在为增函数，时为减函数，所以所以y有最大值为．66．已知函数(aR)．（1）讨论函数的单调性；（2）若，为函数的两个极值点，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，根据的解的情况分类讨论得单调性；（2）由（1）知，化简，不等式化为，再由不妨设，转化为只要证这个不等式可利用（1）中的结论证明．【详解】（1），令当即时，，在上单调递增；当即或时，①当时，在上单调递增；②当时，令，+0-0+递增极大值递减极小值递增综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知时有两个极值点，且，不妨设，要证即证，即，设由（1）知当时，在上单调递增，，则在上单调递减，.原式得证.67．已知函数.（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若使有两个不同的零点，证明：.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）当时对求导，证明时，即可.（Ⅱ）设函数，根据函数的单调性判断与的关系，根据恒成立，确定的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出，得到，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，因为，所以，（Ⅱ）设函数，则，令，当时，当时，，当时，，得，所以当时，在上为单调递增函数，且，所以有，可得．当时，有，此时有两个零点，设为，且.又因为，，所以，在上，为单调递减函数，所以此时有，即，得，此时不恒成立，综上．（Ⅲ）若有两个不同的零点，不妨设，则为的两个零点，且，，由（Ⅱ）知此时，并且在，为单调递增函数，在上为单调递减函数，且，所以，，因为，，，且图象连续不断，所以，，所以，因为，综上得:.68．已知函数.（1）求函数的最大值；（2）若关于的方程有两个不等实数根，证明：.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【分析】（1）先求函数的导数，判断含的单调性，再求函数的最大值；（2）首先方程变形为，再构造函数，判断函数的单调性，转化为有两个实数根，，再利用分析法，转化不等式证明为，转化为证明，利用换元转化为证明.【详解】（1）解：因为，所以.令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）证明：方程可化为.设，显然在上是增函数，又，所以有，即方程有两个实数根，.由（1）可知，则有，所以的取值范围为.因为方程有两个实数根，，所以，则，要证，即证.，需证.需证.不妨设，令，则，即要证.设，则，所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.69．已知函数在和时取极值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，由的两根是可求得；（2）由韦达定理得，，同时注意，化简，从而转化为的函数，由及有两不等实根得的范围，再利用导数求得函数的取值范围．【详解】解：⑴∵，∴，∵在和时取极值，∴，∴，是的两个不等实根，∴，，解得，经检验，符合题意.⑵由⑴知，，∴∵，是的两个不等实根，∴，，∴，，∴设，∵，∴，①又，是的两个不等实根，∴△=，得，②由①②知，而，设，则，，由二次函数的性质可知在上恒成立，则在上恒成立，则在上单调递减，而，，故的取值范围为.70．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；（2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解.【详解】（1）由题意知，因为，所以，，所以所求切线方程为，即；（2）由（1）知，因为是的两个不同的极值点，所以，是方程的两个根，可得，，，易得，所以，，，，因为可得，所以，在单调递减，，所以在上单调递减，，从而的取值范围为.71．已知函数若关于的方程有两个正实数根且.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）对求导，判断的单调性，作出的图象，所求的值使得与的图象有两个横坐标大于的交点即可；（2）由，两式相加相减可得，由（1）知，构造函数，，对其求导判断单调性，再结合可得，要证不等式等价于即，证明其显然成立即可求证原不等式成立,【详解】（1），由可得；由可得或，所以在和单调递减，在单调递增，所以的极小值，的极大值，所以的图象如图所示：若有两个正实数根，则与的图象有两个横坐标大于的交点，由图知：，（2）由题意可得，，两式相加可得：①，两式相减可得：②，所以，即③，将③代入①可得，因为，由图知，设，，则，所以在单调递减，所以，即，因为，所以，因为在单调递减，所以，即，要证，只需证，即证，因为，，所以显然成立，故72．已知函数有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）记的两个零点分别为，，求证：(为自然对数的底数).【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求解出，然后根据对进行分类讨论：、；当时，根据零点个数直接判断即可，当时，先分析单调性，然后分析最小值的取值正负以及根据零点的存在性定理判断零点个数，由此确定出有两个零点时的取值范围；（2）通过等式变形，将待证明的问题转化为“当时，”，通过构造新函数，利用导数分析其单调性确定出最值，由此完成证明.【详解】解：（1）的定义域为，①当时，恒成立，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②当时，，且当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，从而的最小值为．（i）若，即，此时至多有一个零点，不符合题意：（ii）若，即，∵在上单调递增，，，根据零点存在性定理得，在内有且只有一个零点又∵在上单调递减，且，考虑的正负，令，，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴，，根据零点存在性定理得，在内有且只有一个零点．所以，当时，恰有两个零点，符合题意．综上得，．（2）由条件得，，∴要证，即证，即证，即证，即证①，设，不妨设，由知，证①式，即转化为证明：当时，，设，则，∴当时，恒成立，即在上单调递增，∴当时，，所以成立．73．已知函数．（1）若，，试证明：当时，；（2）若对任意，均有两个极值点，．①求应满足的条件；②当时，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析.【分析】（1）求出导数，求出其最小值，由最小值大于0，从而证明出结论．（2）①首先有两个不等的实根，再用导数研究的性质，求导，利用的正负确定的单调性及最小值点，在时，计算出，，，由零点存在定理可得存在两个零点，即有两个极值点；当时，可取，此时没有零点极值点；②由①知，，为的两个实数根，由于，可判断出两零点一正一负，即，且在递减，下面先证，只需证明，注意到得，从而，再证；由函数单调性得，问题转化为只需证明，即证明，这再用导数加以证明．【详解】（1）证明：，，，，，令，解得．可得：时，函数取得极小值即最小值，∴，∴函数在当时单调递增，∴．∴当时，．（2）①，．设，则，