高等数学课件：第八章 重 积 分2

基本积分公式

(k是常数)说明：不定积分的概念与性质[不定积分的概念与性质熟记不定积分的概念与性质基本积分表(2)换元积分法自己添加!换元积分法小结常见的凑微分类型有换元积分法小结换元积分法利用直角坐标系计算二重积分小结思考题作业利用极坐标系计算二重积分doubleintegral二重积分的换元法﹡第二节二重积分的计算法第九章重积分(1)

积分区域为：其中函数X－型在区间上连续.二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分X型区域的特点:计算截面面积(红色部分即A(x0))＊二重积分的计算法应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线有:＊二重积分的计算法先对y后对x的二次积分称为累次积分.(2)

积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即二重积分的计算法其中函数在区间上连续.Y型区域的特点:特殊地如D是上述矩形域,得即等于两个定积分的乘积.注D为矩形域:则则a≤x≤b,c≤y≤d二重积分的计算法abdc

计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:但可作出适当选择.二重积分的计算法(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.二重积分的计算法例解

积分域既是X型又是Y型法一所围平面闭区域.两曲线的交点二重积分的计算法？先对x后对y的积分法二二重积分的计算法二重积分的计算法例其中D是由直线x=2,y=x及双曲线xy=1围成的闭区域。例其中D是由曲线,直线y=x，y=2围成的闭区域。例其中D是由y=1,x=0,围成的曲边闭区域。又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.二重积分的计算法1990年研究生考题,填空,3分解二重积分的计算法练习交换积分次序交换积分次序的步骤

(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法例

D：对称性质设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.oxyD1性质1则D1为D在第一象限中的部分,二重积分的概念与性质坐标y为奇函数则如果函数f(x,y)关于这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数二重积分的概念与性质例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及

解

求所围成的立体的体积.二重积分的计算法?还有别的做法吗如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数oxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则为偶函数则设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,二重积分的概念与性质性质2如果函数f(x,y)关于x和y为奇函数如果函数f(x,y)关于x和y为则偶函数则设区域D关于原点对称,将D分为关于原点对称的两部分D3+D4，性质3设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域?二重积分的概念与性质则设区域D关于y=x对称,二重积分的概念与性质例计算为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考题,选择,3分D1是D在第一象限的部分,练习二重积分的概念与性质D1D2D3D4记I=则I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而I2=是关于x的偶函数,关于y的奇函数.

所以D