国家开放大学电大《几何基础》期末题库及答案

最新国家开放大学电大《几何基础》期末题库及答案《几何基础》题库及答案一一、选择题【每小题4分，本题共20分）1.设 则d与3的夹角为（c・72M、B、C、D为直线上的互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（BA,DC）（A.小于零B.大于零C.等于零D.无穷大3.不重合的（ ）对对应元素确定唯一一个对合对应.A.3B.1C.4D.24.若点p在二次曲线『上，那么它的极线一定是r的（A.直径B.切线C.半径D.浙近线5.若(AB,CD)=-1.则A,B,C,D四点().A.调和共扼B.重合D.不共线得分评卷人C.等距二、填空題（每小题4分，本题共20分）等边三角形在仿射变换下变成 射影对应把矩形对角线变成 8. 8. 对对应点唯一确定两个点列间射影对应.9. 对不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体构成一条二次9. 几何公理体系的三个基本问题包括 三、计算踴（每小題10分，共30分）求过两直线x+2y+l=0与x+y=Q的交点和点(1,2,1)的直线方程.已知A(U2,3),B(5,-1,2).C(11,O,7),D(6,1,5).验证它们共线，并求(AB.CD)的值.求二阶曲线x,+2xy+2y:+4x+2(y+l=O的中心.四、证明题（每小题10分，共30分）证明：以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形.第14题图证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行线.证明：在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点•第16题图试题答案及评分标准（供参考）一、选择題（毎小题一、选择題（毎小题4分，本题共20分）TOC\o"1-5"\h\z】•A 2.B 3.D 4.B 5.A二、填空题（每小題4分，本题共20分）任意三角形任意四边形的对角线三两相容性（即无矛盾性）；独立性（即最少个数问题）；完备性三、计算题（每小题】0分，共30分）11-解两直线x+2y+l=0与z+，=0的齐次坐标形式分别为百+2小+小=0,小 3分交点为1 2 1=<l.h-l) 6分110于是，过点（M.-1）与点（1,2,1）的直线方程为石1311—=3x,—2x:+lxj=0 。分121 力少12.解因为1231235-12=0且5-12=0所以A,H,C,D四点共线・•11076 1 5 5分设c=a+a1b,d=a+a1b由C=A+2B,D=A+B得不=2,而=1所以(AB,CD)=-=2所以(AB,CD)=-=2 10分2一解因为A=(aQ于是 A1i=-'3,Aj2=1,Ass=1TOC\o"1-5"\h\z因此，中心坐标为(-3,1,1),或写成非齐次坐标(-3,1). 1。分四、证明题(每小题10分，共30分)证明如图，设_AB=?,BC=a,CA=6,则仃+5+艺=0 2分 A设局=成，茹=用，廿=7, F/则以5,7为边可作成一个三角形当且仅当尻+力+7=0. 分' D (在△ABD中 第14题图小=/+｝廿在ZXBCE中在Z\CAF中TOC\o"1-5"\h\zZ=6+|? 8 分以上三式相加得成+疗+1=友+否+才+?(4+5+3)=0于是三条中线构成三角形. 10分证明因为中心投影把汗上的影消线/投影到/上的无穷远直线〃.， 3分所以，二直线的交点的象为/上无穷远点， 6分两直线的象交于无穷远点，因此，两直线的象在/上平行. 10分证明若三点形ABC与ABC的对应边BC与B'C'的交点X,AC与A'C'的交点Y.AB与A'B'的交点Z共线， 3分考虑三点形XBB\YAA\由于XY与ABtA,B,交于Z, 6分由笛沙格定理知，三组对应边的交点C,C',O共线，于是AA',BB',CC'共点.…10分oo第16题图《几何基础》题库及答案二一、选择题（每小题4分，本题共20分）1.两个向量平行的充要条件是二者的对应分量（）•A.不成比例 B.二者内积为零C.成比例D,不一定点列之间的射影对应是由（）oA,四对对应点唯一确定 B.三对对应点唯一确定C.两对对应点唯一确定D.无限对对应点唯一确定若无穷远直线关于二次曲线jl的极点为无穷远点，则r与无穷远直线（）。A.不相切B.有两个不同交点C.相离D.相切极线上的点与极点（）.A,共辄B.不共貌C.可能不共辗D.不可判定下而（）具有仿射不变性.A.距离 B,平行C,角度 D.长度得分|评卷人二、填空題（每小題4分，本题共20分）仿射变换把三角形的中线变成 ・已知共线四点A、B、C、D的交比（CD,AB）=2,则（CA,BD）= 射影对应把三角形中线变成 不重合的 对应元素，确定唯一一个对合对应•公理法的结构包括 三、计算题（每小题10分，共30分）求使直线i+y—1=0的每个点不变，且把点（1,2）变成点（-1,3）的仿射变换•若直线的方程为1一，一1=0,2了+，一3=0,3了一，=0,61—1=0,求“山,以）.求点关于二阶曲线x?+xJ+x5-6xIxl+2x,x1+2xlX3=0的极线•得分|评卷人 四、证明题（每小题10分，共30分）证明过三角形的顶点且平行于对边的三条直线可做一个三角形•证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点tA=PSXQR,B=PRXQStC=PQXRS,证明Ai=BCXQR,B】=CAXRP，G=ABXPQ三点共线.第16题图试题答案第15题图第15题图10分10分一、 选择題(毎小題4分,本題共20分)C 2.B 3.D 4.A 5.B二、 填空题(每小炳4分，本題共20分)三角形的中线-1过頂点相交于对边的任意一条直线两对原始概念的列举,定义的叙述;公理的叙述;定理的叙述和证明.三、 计算題(毎小赠10分，共30分)解设所求的仿射变换为x/=a+aiix4-any, ， 3 分y/=b+atix+auy在直ftx+2y-l-0上任取两点(1,0),(-1.1),则所求的仿射变换把三点(1,2),(1,0).(-1.1).分别变成点(-1,3),(1,0).(-1,1),将这三对点代入仿射变换式得—l=a+an+2ait3=64-ajj+2anl=a+au0=6+a”—l=a—aii4-2flu1—b~at\+a”解得因此,所求的仿射变换式为x/==s—y+1

解丄丄与x轴的交点分别为 5=1口2=，3=0，0=¥， 5 分于是 "1，2，厶，4)= 1。分 (y-D(O-|)15解将点的坐标及a“(ij=l,2,3)的值代入极线方程(auNi +ai3、3)Hi+(azi3h+a2：y：+a23^j)x2+(a3j>i+^323*2=0 即 (1+3+l)x)+(—3—1+1)12+(1—14~l)xs=0 整理即得所求极线方程1。分5xi—3x2+x3=0. 1。分四、证明题（每小题10分，共30分）证明如图，3分第14题图设~AB=^tBC=atCA=b,则tf+6+?=0 3分第14题图设EF.FD.DE依次姑过ZiABC三个顶点A,B,C且平行于 对边的三条直线，则AB.DE,BC士EF,CAJJJiFD,……7分于是~EF=^BC=^HjFD=^AC=^btEF+FD4-ED=yBC+yAC4-= + =如，以诙，有,証为边可作成一个三角形. 证明如图所示，若三点形ABC与A'B'C'的对应边BC与B'C'的交点X,AC与A'C'的交点Y.AB与A'B'的交点Z共线，考虑三点形X8B',YAA', 5分由于XY与AB,A'B‘都交于Z,由笛沙格定理，三组对应边的交点C,C',O共线，于是 分16.证明在ZSABCR^PQR中，AP.BQ.CR共点S, 5 分..・由笛沙格定理，对应边的交点C,=ABXPQ.B|=CAXRP,A,=BCXRQH点共线• 第】6畛图《几何基础》题库及答案三一、选择题(每小題4分，本題共20分)1-设4= .则 ).A,(3,1,6} B.(-3,1,-6}G{一3，_1,_6} D.{3,-1,6)2.( )在射影对应下不变.A＞交比 B.角度C面积 D.长度3-若两个一維基本图形成射影对应.则对应四元素的交比().A・等于】 B.不等C.相等 D.等于_]TOC\o"1-5"\h\z设(CA,DB)-2,则(AC,BD)=( ).A-° a-1C1 D.2给定无三线共点的()直线.可决定唯 条二级曲线.A.三条 B.四条C-五条 D,不定二、壊空题(每小題4分，本題共20分)设a=(l,-3,x}^=<-2,6,2},若4〃勇则z= •仿射变换把正方形变成 •由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过 •二阶曲线就是两个 对应直线交点的全体•V轴上的无穷远点的齐次坐标为 •三、计算题〈每小题10分，共30分〉求使三点(0.0).(1,1).(1.-1)的对应点分别为(1.2).(-1,3),(2,4)的仿射变换式•求过两直线[1.0,1],[1,2,1]的交点与点“|一戏+“3=°的连线的坐标•已知点A和点B的齐次坐标分别为和(1,0,1),求直线AB上一点C,使(ABC)=-1.EC=A+^B,求岀A.四、证明题(每小题10分，共30分)证明以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形•设八ABC,D是BC边的中点，E是AB上任意一点.连结EC交AD于。，连结BO交AC于F.利用完全四线形定理证明EF//BC.证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点,第16题图试题答案及评分标准(供參考)一、 选择题(每小题4分，本题共20分)1.B2.A3.C4.B5.C二、 填空题(每小题4分，本题共20分)

-1平行四边形中心射影线束(0,L0)三、计算题(每小题10分，共30分)解将每对对应点分别代人仿射变换公式，1=a+a||+aIZ3=6+a”+。222・a+a“一54=64-a：i—a”MW_3_~~2代人仿射变换式.得所求的彷釦变换式1 321 32x~~2y 2分財'"■2+板了_万、娅 的交点为-=(-2.0.2).財'"■2+板了_万、娅 的交点为-=(-2.0.2).1 2 1点(-2,0.2)与点的姓线方程为N。 it-r>—2 0 2N。 it-r>—2 0 2—C2.4.2J—0.于足,所求连线的坐标为[2,4,2]或[1,2,1丄 分TOC\o"1-5"\h\z13.制li]x■■―.y= ,A（x,y）=（3,—1）,B（x，3»）=（1.0）, 3分 设C=（x.y）.W利用（ABC）-签.则 6 分 制得工_2,子弓=一1,解得》-一£.即C-(2.-y),C点的齐次坐标为(2,-y.l). 因为C—$A+｝人，所以A=l. 10分四、证明题（每小题10分，共30分）14.证明如图，设~AB=t,BC=it9CA=b9则d+B+3=0 3 分第14题图设E,F,D分别为AABC三边AC.AB.BC第14题图FE=|BC=|a,DF=|cA=|6,ED=|AB=|?,… 7分 ►——►—►1—►1—►1—►111110分FE+DF+ED=yBC+yCA+jAB=j5+y6+jf=j(a+6+?)=0,即，以中位线EF,FD,ED为边