线性代数第一行列式

随着我国经济的高速发展，高等教育的日益普及，高校需要培养出大批应用型工程技术人员。大学数学系列课程“微积分”、“线性代数”和“概率论与数理统计”是大学理工、管理等专业的重要基础课程。数学作为科学的基础与工具，在大学数学基础课程中得到应有的重视。学习《线性代数》的背景第28页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五对于“线性代数”这门课程，其主要任务有两条：掌握线性代数最常用的工具性内容，即线性方程组、行列式和矩阵；了解如何把一些具体的数字对象抽象为数学结构，例如向量空间和欧氏空间。因此，希望通过“线性代数”的学习，能够较好地掌握前者而充分地理解后者。第29页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五要求多做习题，认真讨论问题、解决问题。要求这是由于数学基础课一般相对比较抽象，而且在中学阶段，学生的逻辑训练又不够，所以在学习线性代数时，如果不通过自己做习题、判别是否与对错以及改正错误这些过程的训练，是很难掌握它的基本内容的。第30页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五要求有些同学习惯于罗列事实加上一些逻辑推理，对于问题的提出和分析重视不够。我们应该把重点放在对一些基本对象的分析上，从而具有面对问题进行分析的能力。

要求重视分析，提高分析问题的能力。第31页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五要求要求对照考试大纲，弄清掌握与理解。多年来，随着研究生考试大纲的公布，线性代数没有什么变化，对照大纲，分清理解、掌握、学会等层次，抓住基本概念、基本技巧与基本结论。

第32页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五考试内容：

行列式的概念和基本性质

行列式按行（列）展开定理

考试要求：

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质

2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．第一章：行列式第33页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第二章：矩阵考试内容：

矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算

第34页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五考试要求：

1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．

2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．

4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．

5．了解分块矩阵及其运算．第35页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第三章：向量

第四章：线性方程组

第五章：矩阵的特征值及特征向量

第六章：二次型

其他第36页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五课程介绍全书内容分为：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型、线性空间与线性变换等六章。

其中一至五章符合教育部颁发的工科本科线性代数课程的教学基本要求。第六章较多带有理科色彩。第37页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第38页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第39页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入第40页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五方程组的解为由方程组的四个系数确定.第41页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即第42页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式第43页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第44页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第45页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第46页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.第47页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例1解第48页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.第49页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标第50页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五(2)对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．第51页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组

2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.第52页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五若记或第53页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五记即第54页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第55页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五得第56页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五得第57页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五则三元线性方程组的解为:第58页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例２

解按对角线法则，有第59页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例3解方程左端第60页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例4

解线性方程组解由于方程组的系数行列式第61页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五同理可得故方程组的解为:第62页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结第63页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题第64页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数的线性方程组,又得第65页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五故所求多项式为第66页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第67页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有一、概念的引入第68页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.

个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理二、全排列及其逆序数第69页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五

在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义

我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序第70页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定义

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.第71页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码个数即分别算出这个元素的逆序数，这些元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性第72页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，即算出这个排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1

求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;第73页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五32514于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;第74页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例2

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.第75页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五解当时为偶排列；当时为奇排列.第76页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.第77页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五2

排列具有奇偶性.3计算排列逆序数常用的方法有2种.1个不同的元素的所有排列种数为三、小结第78页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题分别用两种方法求排列16352487的逆序数.第79页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题解答解用方法116352487用方法2由前向后求每个数的逆序数.第80页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第81页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五一、概念的引入三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．第82页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列第83页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五二、n阶行列式的定义定义第84页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第85页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为第86页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例1计算对角行列式分析展开式中非零项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得解第87页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五即行列式中不为零的项只可能为例2

计算上三角行列式第88页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五分析展开式中非零项的一般形式是所以不为零的项只可能有解第89页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例3第90页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五同理可得下三角行列式第91页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例4

证明对角行列式第92页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕第93页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例5设证明证由行列式定义有第94页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第95页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五由于

所以故第96页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结第97页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题已知第98页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题解答解含的项有两项,即对应于第99页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第100页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第101页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如第102页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五二、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.第103页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与第104页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第105页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理2

阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.证明按行列式定义有第106页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而第107页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五定理3

阶行列式也可定义为其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例1

试判断和是否都是六阶行列式中的项.解下标的逆序数为所以是六阶行列式中的项.第108页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五下标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.第109页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例2

在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以前边应带正号.第110页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.第111页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例3

用行列式的定义计算第112页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五解第113页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五

1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的三种表示方法三、小结第114页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.第115页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.第116页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题解答证

设在全部阶排列中有个奇排列,个偶排列,现来证.

将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有故必有第117页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五行列式的定义排列的逆序数及奇偶性简单行列式的计算三角行列式的结论特别地，对角行列式的结论第118页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第119页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五一、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记第120页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五证明按定义

又因为行列式D可表示为第121页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五故证毕性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式变换两行得到的,第122页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五于是则有即当时,第123页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有故证毕第124页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五一、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.性质2

互换行列式的两行，行列式改变符号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.第125页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．第126页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明第127页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如第128页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如第129页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质1性质1性质1第130页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值第131页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五解第132页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第133页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第134页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第135页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第136页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五P12例题7第137页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例2

计算阶行列式解将第列都加到第一列得第138页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第139页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五P12例题8，例题9第140页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五P14例10证明第141页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五证明第142页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第143页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).

计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质第144页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五P15例题11

计算2n阶行列式第145页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题第146页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五思考题解答解第147页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第148页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五性质1性质1性质1第149页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n

阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则第150页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五例如一、余子式与代数余子式第151页，共178页，2022年，5月20日，18点40分，星期五在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余