坐标一桥飞架数形天堑变通途-谈省略年高考数学卷对解析几何考查

坐标一桥飞 数形天堑变通谈年高考数学卷对解析几何的考教育考试院解析几何是什么究其本质就是用代数的方法研究图形的几何性质在命题实践中设计一道解析几何试题的时候到底应该是几何多一点还是代数多一点解析几何题的落脚点应该是什么？关于这些问题的从来没有停止过．下面谈谈的一些观点和做法也欢迎一线老师与交流探讨．１解析几何首先是几何

设Ｏ为原点点Ｂ与点Ａ关于ｘ轴对称直线交ｘ轴于点Ｎ．问ｙ轴上是否存在点Ｑ，使得∠＝∠ＯＮＱ若存在求点的坐标若不存在说明理由．分析首先本题要解决的几何问题为是否Ｑ角相等的问题明确几何问题）为方便代数化把问题等价转化为是否存在这里代数只 解决几何问题时 点， ｜ＯＭ｜几何问题到的工具学生在解答过程中首先要将几何图

ｙＱ

的性质用代数的语言来描述最终是通过坐标的

转化这里可能有不同的转化方向代数运算来研究几何图形的性质

几何是

即是否存在ｙＱ满足ｙ２几何问Ｑ思考的起点和终点也是问题的缘起和归宿Ｑ

代数化在具体解答过程中学生一般要经历这样 因为ｘＭ＝ｍＮ＝

ｍ２＋ｎ，个环节首先要搞明白试题要解决的是什么样的几何问题其次要弄清楚解决这个几何问题需，

１ 到了第一问的结论用到哪些代数条件再把几何问题代数化有时

１这个代数化过程不是很直观需要把几何问题化为另一个等价的几何问题后再进行代数化 所以ｙＱ＝２或ｙＱ

研究代数问题三步是利用已知的题设条件分析这些条件之间的联系研究并解决转化之后的代数问题最后要返回去解决几何问题．以年的高考数学试题为例体会一下这几个环节．试题年高考数学卷理科第

故在ｙ轴上存在点Ｑ坐标为２）或何问题）在阅卷过程中还发现一些考生并没有用第一问的结论而是直接进行转化．由题意Ｑ∠题）已知椭圆

ｘ２ｙａｂ的离心

∠ＯＮＱ”等价于存在ｘ轴上点满足Ｃ２＋ ＞ ＭＱ，其中点与点Ｎ关于原点对称”．（把几为点和点ｍｍ都在椭圆２上直线交ｘ轴于点 求椭圆Ｃ的方程并求点Ｍ的坐标ｎ

问题转化为另一个等价的几何问题）ＱＮ′⊥等价于几何问题代数在第问中若设１１２２，当ＡＢ不垂直于ｘ轴时，，ＤＥＢＭ２ｘ１１， ｘ２设直 的方程

２１２余下的工作就简单了当然不要求学生一定要用上面的方法解决而且这里涉及的平行截割定理多数学生也 有学过但学生不难得到ｋＢＭ

·３ 接下来他该怎么办呢？什么样的学生能做由 ＋ｙ

去呢首先他要能猜到答案是平行即ｋＢＭ Ａ＝ ２ 其次他要能想到证明 ＝１就是证

ｋＢＭ１＝０，因为直接计算ｋＢＭ是有一定难度的所以ｘＢ ２１ ２ｋ２１１

只要能想到证明ｋＢＭ １＝０，此后的问题就简单了．则直线ＰＢ的斜率为ｋＰＢ＝

高考数 卷的总体难度或许不算高其对学生的能力要求却不低就此题而言那么 的方程为 １，则 查的是学生的探索实践猜想证明和化归转化” ｙ１＝ｘｘＮ＝．的基本思想方法和能力所以上面这些是解决这Ｑ′·ＭＱ＝ｋ， ）Ｑ′·ＭＱ＝ｋ， ）ｙ ． 理 在意的是学生动手尝试探索实践

由此可见高考数学卷解析几何题的落脚点还是能力”！卷一贯秉持多想少算的 ｋＱ 能力和先猜再证的基本研究方法回溯近几·Ｑ所以ｙ解决转化之后的代数Ｑ故在ｙ轴上存在点使得∠ＯＱＭ＝返回去解决几何问题）２高考数学卷解析几何试题考查的落脚点解析几何首先是几何但不会就几何知识对学生提出过高要求更在意的是能力以今年高考数学卷的文科试题为例．试题２ 年高考数学卷文科第２０Ｃ２不过点的直线与椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，直线ＡＥ与直线ｘ＝３交于点Ｍ求椭圆Ｃ的离心率

的几何试题无不如此２０１４ｘ２求椭圆Ｃ的离心率为原点在椭圆线ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝２的位置关系并证明你的结论．分析这个问题的解决首先要求考生对位置关系能有个基本判断当然不一定一对但最起码要有一个努力的方向这样才会想到去计算圆心到直线的距离．设点，Ｂ的坐标分别为００若ＡＢ垂直于ｘ轴求直线ＢＭ的斜率；显然ｘ０≠０直线ＡＢ的方程０ｘｔ）０ｙ试判断直线ＢＭ与直线ＤＥ的位置系并说明理由

圆心到直线距离

ｘ ）２＋ｘ ２｜２ 槡 ０２分 在第问中显然Ｄ，Ｅ分别为 又 ０２

ＡＭ的中点所以ＤＥ∥ＢＭ，即

０ｙ２０

００故

４４０ｘ２＋ｙ２＋００

此时直线与圆相切试题４ 高考数学卷理科第１９题）５ ｍｘ２＋（ｍ 若曲线Ｃ是焦点在ｘ轴上的椭圆ｍ的取值范围设ｍ＝４，曲线Ｃ与ｙ轴的交点为Ａ点位于点的上方直线ｙ＝ｋｘ与曲线交于不同的两Ｎ直线ｙ＝与直交于点Ｇ．求证Ｎ三点共线．

假设四边形 为菱形｛ｋ≠０ｍ≠０．ｘ＋４ｙ＝４，｛由消ｙ得２２ ．设１２分 设点Ｍ，Ｎ的坐标分别为１１

（，）（ ｘ２ ｘ１ｘ２≠０

１＋４２

很多学生能够计算出直线ＡＮ和ＡＧ的斜 所以ＡＣ的中点为Ｍ（４ｋｍ２，ｍ２． ｙ

ｋ＝ ｋ

因为Ｍ

的交点 ２

下面怎么办

所以直线ＯＢ的斜率 １ ｋ转化事实 可以把明ｋＡＮ ｋ

因为

≠所以ＡＣ与ＯＢ不垂直 即 ｙ２２ 所以四边形 不是菱形与假设

＋１

这个解答过程从一开头就相信它不是菱形 １ ＝

＝也只有相信它不是菱形的考生才能写出这个解ｘ１ｘ从这个角度看这个题与今年的文科第２０题是一脉相承的． 高考数学卷解析几何试题考查的是学生的科学素养高考数学卷中的解析几何试题要求学生经历猜想和假设转化和化归实验和论证”等问题研究的过程考查学生的科学素养．试题 ３高考数学卷理科第

答而如果觉得是然后去求点Ｂ的坐标那将历一个痛苦的过程说到这读者可能会有这样的疑问凭什么要求学生上来就能猜到答案其实，一个有科学素养的人在研究一个问题的时候关注的第一件事情就是这个问题的结果是否不存在问题研究的过程从来都是大胆猜想证明的过程要求学生先要猜出结果这是他她必须具备的科学素养题已知Ｃ是椭圆４点 是坐标原点

＋ｙ＝上的三

对于试题只要能猜得结果还可以有更简洁的解答过程：当点是的右顶点且四边形ＯＡＢＣ为菱形时求此菱形的面积；当点Ｂ不是Ｗ的顶点时判断四边 是否可能为菱形并说明理由

假设四边形ＯＡＢＣ是菱形 １１２２得ｘ２＋ｙ２＝ ｘ２分 对于第（Ⅱ）问的解决首先需要学

ｙ

２ 对这个问题的结果有一个正 对这个问题的结果有一个正确的判断就是这得．的四边形不可能是菱 给出的标．案是基于此

所以点Ａ，Ｃ满足关于ｘ轴对称或关于ｙ轴对称不可能关于原点对称 把数列与函数不等式融合以考查函数的相关性质和不等式证明的常用方法．考虑到文科理科考生在数学能力上的差异，课标卷在考查数列内容时一般命制不同的试题进行考查文科试卷以等差数列等比数主，侧重考查运算求解能力理科试卷则以一般

命制课标卷数列试题还可尝试从以下五个角度设计运用等差数列等比数列相关公式或ａｎ＝ＳｎＳｎ进行恒等证明以考查推理论证能力用数列知识解决实际生活问题以考查应用意识将数列内容与三角函数或函数的奇偶性或导数结合将数列内容与常用数列为主并要求将其转化为等差数列等比数列，逻辑用语结合构建新的数列与函数不等式侧重考查逻辑思维能力在考查形式及考查难度上课标卷对数列内容的考查一般以两道小题或一道大题的形式呈现分值一般为１０～分且大部分为中等题或容易题若以解答题形式考查一般将其解答题的第一题若未在解答题中考查一般则在选择题或填空题中将其设置为较难题．

等内容结合设计有梯度的设问以考查创新意识．参考文献１中民教育部普通高中数学课程标准实验［Ｓ］．人民教育２教育部考试中心年普通高等学校招生考试大纲的说明［Ｍ］．高等教育５上接第４８页与已知．最后还以本文最开始给出的试题１为例高水平的学生其实不计算也能猜得结果，两点无限接近长轴端点，要使得∠ＯＱＭ＝∠ＯＮＱ，则点Ｑ应使得△ＯＤＱ为等腰三角形时ｙ＝２从考后数据统计结果来看本题难度系数为其中第一问难度第二问难度３第一问起到了稳定考生情绪的作用，第二问达到了很好的区分效果．为了能够更加直观地看出本题的区分效果，下面把全体考生的数学成绩按升序排列后根据人数平均

从分组曲线来看本题的第二问对高分段考生Ｇ６和的区分作用明显难度分别为４结语几何好懂不好算代数好算不好懂坐标法把两者很好地结合起来但是在平面直角坐标系中，点的坐标是由几何作图得到的要将各种几何性质翻译成坐标运算需要求助于几何定理这里就体现了数形结合的数学思想方法这就是解析几何这门学科的精髓高考数学卷中的解析几何试题重点考查解析几何的本质特点要求