2018年文科数学全国三卷

2018年数学试题文（全国卷3）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求的・）1.已知集合a={x1x-1三0}，B={o，1，2}，则AdB=()A.{o}B.{1}C.{1,2}D.{o，1，2}2-(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是cos2a=))BC“4.若cos2a=))BC“4.若sina=3,7-9B.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的TOC\o"1-5"\h\z概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7函数f（x）=匹的最小正周期为（）1+tan2xA.巴B.巴C.“D.2“42下列函数中，其图像与函数y=inx的图像关于直线x=1对称的是（A.y=in(1-x)B.y=in(2-x)Cy=in(1+x)D,y=in(2+x)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2匕+y2=2上，则AABP积的取值范围是（）TOC\o"1-5"\h\zA.[2,6]B[4,8]C•卜2,3V2]D-[2^2,3V2]9.函数y=_x4+x2+2的图像大致为（）已知双曲线C：兰_22=1（a〉0,b〉0）的离心率为込，则点（4,0）到C的a2b2渐近线的距离为（）A•込B-2C-疸D-2运2AABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c-若AABC的面积为a+b2_C,4则c=（）A-巴B-更C-巴D-12346设a，b，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为久3，则三棱锥D_ABC体积的最大值为（）A-12方B-18爲C-24爲D-54^3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量a=（1,2），b=（2,_2），c=（1,力•若c〃（2a+b），则九二--某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异-为了解客户的评价，该公司准进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是2x+y+3三0，•若变量x，y满足约束条件Jx_2y+4三0，则z=x+丄y的最大值是x一2W0.'-已知函数f(x)=InC1_x2_x)+1，f(a)=4，则f(_a)=三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列｛a｝中，a=1,a=4a-n153⑴求｛a｝的通项公式；n⑵记s为｛a｝的前n项和•若S=63，求m-nnm18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m一种生产方式第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:n(ad附:n(ad-be匕(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819・（12分）如图，矩形abCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，m是仙上异于C,d的点.⑴证明：平面AMD丄平面BMC；⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD?说明理由.・（12分）知斜率为k的直线1与椭圆CX2+兰=1交于A，B两点•线段AB的中点为°43（1,m）（m〉0）-证明：k<-丄；2设f为c的右焦点，p为c上一点，且FP+FA+FB=0•证明：2FP=FA+FB・.（12分）知函数f（x）=ax2+x—1・ex求由线y=f（x）在点（0,-1）处的切线方程；证明：当a21时，f（x）+e20・二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按做的第一题计分.•［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）

23．［选修4—5：不等式选讲］(10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|•⑴画出y=f(x)的图像；⑵当x£［0+)，f(x)wax+b，求a+b的最小值.参考答案一、选择题答案：C解答：TA二｛xIx-1>0｝二｛xIx>1｝，B二｛0,1,2｝，・：Ap|B二｛1,2｝•故选C.答案：D解答：(1+i)(2-i)二2+i-i2二3+i，选D.答案：A解答：根据题意，A选项符号题意；答案：B解答：cos2a=1—2sin2a=1——=7.故选B.99答案：B解答：由题意p=1-0.45-0.15=0.4•故选B.答案：C・・・f・・・f(x)的周期T=竺=兀2sinxtanxf(x)-1+tan2xcosxsinxcosx.1._===sinxcosx=sin2xfsin2xsin2x+cos2x21+cos2x故选C7•答案：B解答：f(x)关于x=i对称，则f(x)=f(2-x)=ln(2-x)•故选B・8•答案：A解答：由直线x+y+2=0得A(—2,0),B(0,-2)，-IAB1*22+22二2迈，圆(x-2)2+y2=2的圆心为(2,0)，•：圆心到直线x+y+2二0的距离为三+三=2迈，・••点P到直线x+y+2=0的距离的取值范围为叙+12迈-迈<d<2、辽+^2，即空2<d<3迈，•：S=丄丨ABI・dg[2,6]・AABP29•答案：D解答：当x二0时，y=2，可以排除A、B选项；又因为y，=-4x3+2x=-4x(x+¥)(x-吕)，则f'(x)>0的解集为Y,-2)u(0,込，f(x)单调递增区间为yJ和(o,込；广(x)<02222的解集为(-2,0)U(2,+8)，f(x)单调递减区间为(-2,0)，(至,+8)•2222结合图象，可知D选项正确・10・答案：D解答：由题意e二C二迈，则b二1，故渐近线方程为x土y=0，则点(4,0)到渐aa近线的距离为d=匕期=2^2・故选D.11•答案：C解答：nnnS二a2+加—c2二型竺C二1abcosC，乂S=1absinC，故tanC=1，AABC442AABC2C=L.故选C.412•答案：B解答：如图，AABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为AABC的重心,由S=9\3，得AB=6，取BC的中点H，••AH=AB-sin60°=3\'3，…AG――AH—2J3，aabc3••・球心O到面ABC的距离为d-$42—(2朽)2-2，•:三棱锥D-ABC体积最大值V—-x9爲x(2+4)—18屈・D-ABC3二、填空题13•答案:12解答：2a+b—(4,2)，丁c//(2a+b)，•:1x2—入x4—0，解得入—1・14•答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15•答案:3解答：由图可知在直线x-2y+4-0和x-2的交点(2,3)处取得最大值，故z-2+1x3-3・316•答案：—2解答：f(—x)—ln(1+x2+x)+1(xeR)f(x)+f(—x)—lnG-1+x2—x)+1+ln(J1+x2+x)+1—ln(1+x2—x2)+2—2，•:f(a)+f(—a)—2，•:f(—a)——2・三、解答题17•答案:(1)a—2n—1或a—(—2)n—1;(2)6・解答:(1)设数列｛a｝的公比为q，•:q2=a=4，•:q=±2・na3••a=2n-i•或a=(—2)n—1•nn(2)由(1)知，S==2n—1或S=1+(—2)n=][1—(—2)n]，n1—2n1+23•:S=2m—1=63或S=1[1—(—2)m]=63(舍)，mm3•m=6.18．解答：第一种生产方式的平均数为x1=84,第二种生产方式平均数为7=74.7•2x>r,所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种…••第二12种生产方式的效率更高.由茎叶图数据得到m=80，•列联表为n(ad—be)40(15x15—5x5)2K2===10>6.635(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)20x20x20x20,e•有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19．解答：(1)・••正方形ABCD丄半圆面CMD，•:AD丄半圆面CMD，•:AD丄平面MCD・・CM在平面MCD内，•••AD丄CM，乂・M是半圆弧CD上异于C,D的点，•：CM丄MD・乂・AD^DM=D，•:CM丄平面ADM，•CM在平面BCM内，平面BCM丄平面ADM・(2)线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：连接BD,AC交于点O，连接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；「•OP//MC，•••OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，二MC//平面PDB.20．解答：(1)设直线1方程为y=kx+1，设A(x,y),B(x,y),1122y=kx+1<x2y2联立消y得(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0，——^―=1TOC\o"1-5"\h\zI43则A=64k212-4(412-12)(3+4k2)>0，得4k2+3>12…①，且-8kt，6t，且x+x==2，y+y=k(x+x)+2t==2m，123+4k21^2'1/3+4k2•m>0，•：t>0且k<0・由①②得4k2+3>(3+4k2)2，16k2•k>或k<-・22k<0，…k<—・2(2)FP+Fa+FB=0,FP+2FM=0,•••M(1m)，F(1,0)，•:P的坐标为(1,-2m)・由于P在椭圆上，23．23．两式相减可得匸£=-3.f，x-x4y+y1212又x+x=2，y+y=，…k=-1，12122直线/方程为y-1=-(x-1)，消去y得28x2-56x+1=0，x=1,2IFAI+1FBI=J(x-1)2+y2+J(x-1)2+y2=3，*11*221FPI=(I-I)2+(-—-°)2=，••-1FAI+1FBi=21FPI.21．ex解答：(1)由题意：f(x)=a2+x-1ex(2ax+1)ex-(ax2+x-1)ex-ax2+2ax-x+2(ex)2J(ex)2・••广(0)=2=2，即曲线y=f(x)在点(o,-1)处的切线斜率为2，•:y-(一1)=2(x-0)，艮卩2x-y-1=0；2)证明：由题意：原不等式等价于：2)证明：由题意：原不等式等价于：ex+1+ax2+x-1>0恒成立；令g(x)=ex+1+ax2+x-1，••g'(x)=ex+1+2ax+1，g〃(x)=ex+1+2a，・a>1，…g〃(x)>0恒成立，…g'(x)在(-也+Q上单调递增，・g/(x)在(-8,+Q上存在唯一x使g/(x)=0，00••ex0+1+2ax+1=0，即ex0+1=-2ax-1，且g(x)在(x)上单调递减，在(x,+Q0000上单调递增，.Ig(x)>g(x)・0

又g(x)=exo^i+ax2+x—1=ax2+(1—2a)x—2=(ax+l)(x—2)，0000000gr(—丄)=e1—a—1，•a>1，…0<e1—a—1<e—1，…x<——，…g(x)>0，得a0a0证.综上所述：当a>1时，f(x)+e>0-22．解答：(l)©O的参数方程为Ix二co号，•••©O的普通方程为x2+y2=1，当[y=sin0a=90°时，直线：l:x=0与0O有两个父点，当az90°时，设直线l的方程为y=xtana—，由直线l与OO有两个交点有学0-Q<1，得tan2a>1，•1+tan2atana>1或tana<—1，•:45°<a<90°或90°<a<135°，综上ae(45°,135°)-(2)点P坐标为(x,y)，当a=90°时，点P坐标为(0,0)，当a丰90°时，设直线l的方程为y=kx-迈，A(x,y),B(x,y)，•Ix2+*=L①有1122Iy=kx-近②2j2k•x+x=121+k2y1+y2-2%''21+k2x=1+k2-近2j2k•x