2018年天津卷(理科数学)含答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分为第□卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第□卷1至2页，第II卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件儿B互斥，那么P（AUB）=P（A）+P（B）.•如果事件A,B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）.•棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.1V=—Sh•棱锥的体积公式3，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.⑴设全集为r集合A=｛xl0<x<2｝，B=⑷-1｝，则An（（?）=【b】{x0<x<1}(B)（A）｛x|0<x<{x0<x<1}(B)(C){x1〜x<2}(D){x|0<x<2}x+y<5,2x-y<4,<—x+y<1,(2)设变量x,尹满足约束条件〔y-0，则目标函数Z二3x+5y的最大值为【C】(A)6(B)19(C)21(D)45⑶阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值为【B】(A)1(B)2(C)3(D)4Ix-丄1<-(4)设xGR，贝y“22”是x3<1”的【A】充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件(5)已知a=log2eb=ln2c=log则a，b，c的大小关系为【D】(A)a>b>c(B)b>a>c(C)c>b>a(D)c>a>b(6)将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数A】「3兀5兀］^7~］(A)在区间44上单调递增碍冷］(C)在区间42上单调递增「3兀］「〒,兀］(B)在区间4上单调递减「可，2兀］(D)在区间2上单调递减兰-兰=1(a>0,b>0)(7)已知双曲线a2b2的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且〃1+d2=6,AE-BE则双曲线的方程为【AE-BEx2y2—=1(A)412x2y2—=1(B)124x2y2i—=1(C)39x2y2—=1(D)93(8)如图，在平面四边形ABCD中，AB丄BCAD丄CDZBAD=120。AB=AD=1若21325(A)16(B)2(C)16(D)3点E为边CD上的动点，则的最小值为【A】

第□卷注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。6+7i_TOC\o"1-5"\h\zi是虚数单位，复数1+2i4-i.(x_—厂)55在3x的展开式中，x2的系数为2.(11)已知正方体ABC。_aibicidi的棱长为1,除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分丄别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M_EFGH的体积为121YJ=1近x——1+t,2—=1近x——1+t,2—3—t2(t为参数)与该圆相交于A,B两(13)已知a'beR,且a一3b+6=0，则，且2a+-8b1的最小值为4f(x)=<(14)已知a>0，函数x2+2ax+a,x<0,、-x2+2ax-2a,x>0-若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是(4，8)(12)已知圆x2+y2—2x=0的圆心为C,1点，则△ABC的面积为2_三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步15)(本小题满分13分)在△ABC中，内角在△ABC中，内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=aC0S(B-却求角B的大小;(II)设a=2,c=3，求b和sin(2AB)的值.bsinA—acos(B——)asinB—acos(B——)6，得6，即n因为Be(0,n)bsinA—acos(B——)asinB—acos(B——)6，得6，即n因为Be(0,n)，可得b=36，可得tanB=^3.又n(II)解：在AABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=3，有b2=a2+c2—2accosB=7故b=x~bsinA—acos(B——)sinA=cosA=〒由6，可得'门.因为a<c,故口.因此sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cos2A—1=.7,74*311运3启所以sin(2A一B)-sin2AcosB一cos2AsinB-727214"(16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(i)解：随机变量X的所有可能取值为0，1,2，3.Ck•C3-kP(X=k)=43(k=o,1，2，3).C37所以，随机变量X的分布列为X0123P丄121843535353511218412随机变量X的数学期望E(X)-0X-5+1X15+2X15+3X35-牛(ii)解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BUC,且B与C互斥，由(i)知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)=

67所以，事件A发生的概率为7.（17）（本小题满分13分）如图，AD〃BC且AD=2BC,AD丄CD,EG^AD且EG=AD,cD^FG且CD=2FG,DG丄平面ABCD,DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；（II）求二面角E-BC-F的正弦值;（III）若点P在线段DG上，且直线BP（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方依题意，可以建立以D为原点，向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2,0,0）,B（1,2,0）,C（0，n-DC—0,[2y=0,»的法向量，则50—-即仁不妨令z=-1,可得"0=(1,0,-1).又MN=n-DE—0,〔2x+2z—0，J03>(1,--,1),可得MN-n—0，又因为直线MN乞平面CDE,所以MN〃平面CDE.20(II)解：依题意，可得BC=(―1,0,0),BE—(1,-2,2),CF=(0,—1,2).设n=(x设n=(x，y,z)为平面BCE的法向量，则5n-BC—0,n-BE—0,-x—0,x-2y+2z—0,不妨令z=1,得n=(0,1,1).,,,,「m-BC—0,(—x—0,人设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量，则5—-即门不妨令z=1,可得Im-CF—0,〔—y+2z—°，m=(0,2,1).因此有cos<m,n因此有cos<m,n>=m-n|m||n|3帀10于是sin<m,n>=<1010所以，二面角E—BC—F的正弦值为•10(III)解:设线段DP的长为(hw[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得BP—(-1,-2,h)易知，DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，故2h2+5BP2h2+5BPHDCcos<BP-DC>BPHDC由题意，可得：•=sin60°=-，解得h=3三[0,2].\h2+523所以线段DP的长为3.3(18)(本小题满分13分)设｛役｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn(n&N*),｛匕｝是等差数列.已知《=1,a—a+2a—b+ba—b+2b32，435，546.(I)求｛铁｝和｛孝的通项公式；

(Il)设数列｛Sn｝的前n项和为Tn("&N*)(i)求Tn；为(7+b+2)件=土i-2(neN*)(ii)证明k=i(k+1)(k+2)n+2(I)解：设等比数列｛an｝的公比为q•由ai=ha3=a2+2,可得q2-q-2=0因为q因为q〉0，可得q=2，故an=2n_1，故设等差数列｛竽的公差为〃，由°4=b3+b5，可得々3d=4.由企=b4+2b6可得3bi+13d=16,从而bi=hd=h故bn=①所以，数列｛叮的通项公式为"n=2"-1，数列｛bn｝的通项公式为="，故=2n—1(II)(i)解：由(I)，有n1—2，故2X(1-2X(1-2n)T=E(2k-1)=E2k-n=^r-^-n=2n+1-n-2nk=1k=1(ii)证明：因为(T+b)b(2k+1-k-2+k(T+b)b(2k+1-k-2+k+2)kkk+2k-k•2k+12k+22k+1k+2(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)k+2k+1，，2n+22n+12n+2n(T+b)b.23222423工kk+2k=(—)+(—)++(—)=—2审w(k+1)(k+2)3243n+2n+1n+2所以，k=14k4k(19)(本小题满分14分)x2x2+=1设椭圆a2b2(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为3，点A的坐标为(b,0)，且坐标为(b,0)，且FB-AB=6忑(I)求椭圆的方程;(II)设直线1：y=k%(k〉0)与椭圆在第一象限的交点为F，且l与直线AB交于点Q.

1AQ二空sinZAOQ若4(O为原点)，求k的值.c25(I)解：设椭圆的焦距为2c,由已知有一=—,又由a2=b2+c2，可得2a=3b.由已知可a29得，=a,\ab\=\：2b，由|fb|-\ab\=6、」2，可得ab=6，从而a=3,b=2.所以，椭圆的方程为乂+22=194(II)解：设点P的坐标为(X],y1)，点Q的坐标为(x2，y2).由已知有y1>y2>0，故|pQ|sinZA°Q=y-y.又因为\aQ=殳,而ZOAB=严，故\aQ=\：2y.由12sinZOAB42IaQ=

両=IaQ=

両=sin4ZAOQ可得—y1=9y2．y=kx,6k由方程组\x2y2消去x,可得儿=<—.易知直线AB的方程为x+y-2=0，由方—^―=1,1V9k2+4TOC\o"1-5"\h\z〔94程组<yE消去X,可得y=Y~.由—y1=9y2，可得—(k+l)=3^9k2+4，两边x+y一2=0,2k+112111平方，整理得—6k2-—0k+11=0，解得k=，或k=-228111所以，k的值为或228(20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=lOgax，其中a>1.求函数h(x)=f(x)一xlna的单调区间；若曲线y=f(x)在点(S'f(^：1))处的切线与曲线y=g⑷在点(J'g①)处的切2lnlnax+g(x)=-线平行，证明12lna；证明当a工建时，存在直线/，使l是曲线y=/(对的切线，也是曲线y=g的切线.

(I)解由已矢口h(x)=ax-xIna有h'(x)=axIna-Ina令h'(x)二0，解得x=0.由a>1,可知当x变化时，h(x),h(x)的变化情况如下表:(y,0)0(0,+w)h(x)0+h(x)\极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(-^,0)，单调递增区间为(0,十^)•(II)证明：由fx)二axlna，可得曲线y二f(x)在点(xi'f(xi))处的切线斜率为axilna•1xlna11xlna可得曲线y二g(x)在点(x2'g("2))处的切线斜率为x2lna•ax]lna=因为这两条切线平行，故有1xlna2即x2ax1(lnaax]lna=因为这两条切线平行，故有1xlna2即x2ax1(lna)2-1两边取以a为底的对数，得lOgaX2+"1+2lOgalna二02lnlnax+g(x)二一，所以12lna(III)证明：曲线y二f(x)在点(x1'ax1)处的切线l]:y-g二ax*lna•(x-X1)y-logx=—1——(x-x)曲线y=g(在点(x2，lOgax2)处的切线l2：a2X2lna2要证明当a>建时，存在直线1，使l是曲线y=f⑷的切线，也是曲线y=gE的切线,只需证明当a-ee时，存在x1£'+")，x2£(0,+")，使得1]与12重合.ax1lna=一1，①xlna21即只需证明当aee时,方程组ax1一xax1lna=logx--^②1a2lna有解x—由①得2ax1(lna)212lnlnaax1一xax