2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题-参考答案及评分标准

初中数学竞赛初赛试题答案第初中数学竞赛初赛试题答案第页（共7页）如图，是满足条件的一种填数字的方法．三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）X+yX+zX+yX+zy+z【解】•・•Xy■=2，•••11+1，①x+y2xy同理-=丄+1—，②3xz111=+・③4yz由①+②-③，得-=11+_'124，解得x=-.x2347由①+③-②，得2=11+—124，解得y=-y2435由②+③-①，得-=11+1，解得z=24.z342所以，7x+5y-2z=0.已知且=2，且=3，壬=4,求7x+5y-2z的值.10分20分（12）（本小题满分20分）从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线.△車**图①图②图③图④如果设原等边三角形边长为a,不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”例如，1第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为1a，所形成的图形的周长为4a•请填写下表：（用含a的代数式表示）■-第1次第2次第3次第n次生长后生长后生长后••••••生长后值．每个小等边三角形的边长1_a3所形成的图形的周长4a解】第1次第2次第3次第n次.生长后生长后生长后生长后每个小等边111(1)_a_a—a(-)na三角形的边长3927所形成的16644n图形的周长4a39a3n—110分20分（13）（本小题满分20分）已知m,n为正整数，关于x的方程x2-mnx+（m+n）=0有正整数解，求m,n的【解】设方程x2-mnx+（m+n）=0的两个根为a,a+卩=mn,a-0=m+n.由m,n,a,0均为正整数，不妨设a三0三1,m三n三1,于是，a+0-a0=mn-(m+n)．即(a-1)(0—1)+(m—1)(n—1)=2.10分当(a—1)(0—1)=2时，(m—1)(n—1)=0,有n=1.只有a=3,0=2,此时m=5；当(a—1)(0—1)=1时，(m—1)(n—1)=1,只有a=2,0=2,此时m=2,n=2；当(a—1)(0—1)=0时，有0=1,(m—1)(n—1)=2,得m=3,n=2.所以，m=5,Im=2,Im=3,n=1;或In=2;或In=2.20分（14）（本小题满分20分）已知点P是锐角△ABC内的一个点，且使PA+PB+PC最小，试确定点P的位置，并证明你的结论.解】如图，分别以AC,BC为边向外作正△ACB'，正△BCA',连接BB',AA'交于点P，则点P即为所求.5分证明如下：易证△BCB'A'CA.有ZB'BC=ZAA'C..•・ZBPA'=ZBCA'=60。.•・•ZAPB'与ZBPA'为对顶角,.ZAPB'=ZBPA'60。10分15分15分在PB'上可截取PD=AP，连接AD,CP，有△APD为正三角形.易证△APCADB'.可得CP=B'D.PA+PB+PC=PD+PB+B'D=BB'为定值.在厶ABC内任取一点M（不同于点P），连接MA，MB，MC．将厶AMC以点A为旋转中心逆时针旋转60o,AC与AB'重合，得△AGB有厶AGB'AMC.可得B'G=CM.连接GM，则△AGM为正三角形，有MA=MG..•・MA+MB+MC=MG+MB+B'G=BM+MG