高中数学数列十种求通项及七种求及方法计划练习及

高中数学数列十种求通项及七种求及方法计划练习及高中数学数列十种求通项及七种求及方法计划练习及高中数学数列十种求通项及七种求及方法计划练习及高中数列知识点总结(一)等差数列的公式及性质等差数列的定义：anan1d（d为常数）（）；2．等差数列通项公式：ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:，公差:d，末项:实行：anam(nm)d．从而danam；nm3．等差数列的判断方法（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN)是等差数列．（2）等差中项法：数列是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．3）数列是等差数列anknb（其中是常数）。4）数列是等差数列SnAn2Bn（,其中A、B是常数）。等差数列的性质：1）当公差时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差；前n和Snna1n(n1)ddn2(a1d)n是关于n的二次函数且常222数项为0.2）若公差，则为递加等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当m时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2。

n

2p（4）若、等差数列，anb，1an2bn都等差数列。（5）在等差数列中，等距离取出若干也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,⋯,等差数列，公差md。（6）是公差d的等差数列，是前n和，那么数列Sk,S2kSk,S3kS2k,⋯成公差k2d的等差数列。7）数列是等差数列，d公差，是奇数的和，是偶数的和，是前n的和1）当数偶数，S2nn(anan1)，S偶S奇nd,S奇anS偶an1S奇a1a3a5na1a2n1nana2n12S偶a2a4a6na2a2nnan1a2n22）当数奇数2n-1，S2n-1S奇S偶(2n1)anS奇nanS奇nS奇S偶anS偶（n-1)anS偶n1(9)若a1>0，d<0，Sn有最大，可由不等式an0来an10确定n。若a1，，nan0来<0d>0S有最小，可由不等式an10确定n。（10）等差数列前n和An,Bn，二)等比数列的公式及性质等比数列的定义：比

anqq0n2,且nN*an1，q称为公2.通项公式：ana1qn1a1qnABna1q0,AB0qnmanan实行：anamqnm，从而得qam或qnmam等比中项:数列是等比数列an2an1an14.等比数列的前n项和公式：5.等比数列的判断方法（1）定义：对任意的n,都有an1qan或an1q(q为常数，an0)an为等比数列2）等比中项：an2an1an1（an1an10）为等比数列3）通项公式：anABnAB0为等比数列（4）前n项和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数为等比数列等比数列的性质若m+n=s+t(m,n,s,t),则anamasat.特其他,当n+m=2k时,得anamak2注：a1ana2an1a3an2{k}{an}(2)数列,为等比数列,则数列an,{kan},,{kanbn}，bn(k为非零常数)均为等比数列.且公比分别为1/q，q，qk，q1·q2，q1/q2.数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列,公比为qk若是是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列若为等比数列,则数列，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列（当q=－1且k为偶数时不成立）。(6)若为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比数列{a1，则为递加数列(7)①当时，0{an}为递减数列，则a0，则{a}为递减数列1n②当0<q1时，{a10，则{an}为递加数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摇动数列.(8)在等比数列中,当项数为2n(nS奇q1.)时,S偶(9)若是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm3．求数列通项公式的常用方法一、公式法例1已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。解：an1n两边除以2n1，得an1an3an1an3，2an322n12n2，则2n12n2故数列{2nn}是以2121为首项，以2为公差的等差数列，aa123由等差数列的通项公式，得2n1(n1)2，因此数列{an}的an3通项公式为an(3n1)2n。22二、累加法anan1f(n)例2已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此数列{an}的通项公式为ann2。例3已知数列{an}满足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。解：an13an231两边除以3，得n1n2n1，nn1an1an13333则an1an213n13n33n1三、累乘法anf(n)an1例4已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。解：因为an12(n1)5nan，a13，因此an0，则aann12(n1)5n，故ananan1La3a2a1an1an2a2a1[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!因此数列{an}的通项公式为an32n15n(n1)2n!.例5（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。解：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)①因此an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.则an1(n1)an(n2)故an1n1(n2)an四、待定系数法（重点）例6已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)④将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x,则x1,代入④式得an15n12(an5n)例7已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。解：设an1x2n1y3(anx2ny)⑥将an13an52n4代入⑥式，得3an52n4x2n1y3(anx2ny)整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x，则x5，代入⑥式得an152n123(an52n2)4y3yy2⑦例8已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)⑧将an12an3n24n5代入⑧式，得2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，则2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn22yn2z等式两边消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，3x2xx3，代入⑧式，得解方程组2xy42y，则y10xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)⑨五、对数变换法例9已知数列{an}满足an123nan5，a17，求数列{an}的通项公式。解：因为an123nan5，a17，因此an0，an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2⑩设lgan1x(n1)y5(lganxny)11○六、迭代法例10已知数列{an}满足an1an3(n1)2n，a15，求数列{an}的通项公式。解：因为an1an3(n1)2n，因此anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1七、数学归纳法例11已知an1an21)2，a18，求数列{an}的通项公8(n(2n1)(2n3)9式。（其他方法呢）解：由an1an(2n1)2(2n3)2及a19，得8(n1)8a2a18(11)8822411)2(213)2992525(2a3a28(21)24834821)2(223)225254949(2a4a38(31)48848031)2(233)249498181(2由此可猜想an(2n1)221，往下用数学归纳法证明这(2n1)个结论。（1）当n1时，a1(211)2218，因此等式成立。(211)9（2）假设当nk时等式成立，即ak(2k1)221，则当nk1(2k1)时，ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，当nk1时等式也成立。依照（1），（2）可知，等式对任何nN*都成立。八、换元法例12已知数列{an}满足an11(14an124an)，a11，求数列16{an}的通项公式。解：令bn124an，则an1(bn21)24故an11(bn211)，代入an11(14an124an)得24161(bn211)1[141(bn21)bn]241624即4bn21(bn3)2因为bn124an0，故bn1124an10则2bn1bn3，即bn11bn3，可化为bn131(bn3)，222九、不动点法例13已知数列{an}满足an121an24，a14，求数列{an}的4an1通项公式。解：令x21x24，得4x220x240，则x12，x23是函数f(x)21x244x14x1的两个不动点。因为21an242an124an121an242(4an1)13an2613an2an1321an24321an243(4an1)9an279an34an1十、倒数法a11，an12an，求an2求数列前n项和的常用方法一、公式法利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)2na12d2、等比数列求和公式：Snna1qn)a1(q1)a1(1anq(q1)1q1q3、Snn14、k1kn(n1)2nk21Snn(n1)(2n1)k165、Snnk31n(n1)]2[k12[例1]求xx2x3xn的前n项和.[例2]n*Sn的最n1S＝1+2+3+⋯+n，n∈N,求f(n)大.二、位相减法（等差乘等比）[例3]求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1[例4]求数列2,22,23,,2n,前n的和.2462n解：由可知，{通与等比数列{

2n2n12n

}的通是等差数列{2n}的}的通之Sn2462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①222232n12462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②Sn2223242n12（设制错位）①－②得1222222n(12)Sn22223242n2n1（错位相减）212n2n12n1∴Sn4n22n1三、倒序相加法n和公式所用的方是推等差数列的前法，就是将一个数列倒来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以获取n个(a1an).[例5]求：3Cn15Cn2(2n1)CnnCn0(n1)2n明：SnCn03C1n5Cn2(2n1)Cnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①..把①式右倒来得Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn13Cn1Cn0（反序）又由CnmCnnm可得Sn(2n1)Cn0(2n1)Cn13Cnn1Cnn⋯⋯⋯⋯..⋯⋯②..①+②得2Sn(2n2)(Cn0Cn1Cnn1Cnn)2(n1)2n（反序相加）∴S(n1)2nn[例6]求sin21sin22sin23sin288sin289的解：Ssin21sin22sin23sin288sin289⋯⋯⋯⋯①.将①式右反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21⋯⋯⋯⋯②..（反序）又因

sinx

cos(90

x),sin2x

cos2

x

1①

+

②

得（反序相加）2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89S＝四、分法求和有一数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列合适翻开，可分几个等差、等比或常的数列，尔后分求和，再将其合并即可.[例7]111，⋯求数列的前n和：11,a4,a27,,an13n2[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n和.解：akk(k1)(2k1)2k33k2k∴Snnk(k1)(2k1)＝n(2k33k2k)k1k1将其每一翻开再重新合得Sn＝nk3nk2n23kk1k1k1（分）五、裂法求和是分解与合思想在数列求和中的详尽用.裂法的是将数列中的每（通）分解，尔后重新合，使之能消去一些，最达到求和的目的.通分解（裂项）如：（1）anf(n1)f(n)（2）sin1tan(n1)tanncosncos(n1)（3）an111（4）an(2n)2111n(n1)nn1(2n1)(2n1)12(2n12n1)（5）an12)1[11]n(n1)(n2n(n1)(n1)(n2)(6)ann212(n1)n11111n(n1)nn(n1)nnn1(nn,则Sn(nn[例9]2221)21)2求数列11223nn1的前n和.,1,,1,[例10]在数列{an}中，ann11n21nn1，又bnan2an1，求数列{bn}的前n的和.[例11]求：cos0111cos1cos1cos1cos2cos88cos89sin21解：设S111cos1cos1cos2cos88cos89cos0∵sin1tanntan(n1)cosncos(n1)（裂项）∴S111cos1cos2cos88cos89cos0cos1（裂项求和）＝1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}sin111cos1＝sin1(tan89tan0)＝sin1cot1＝sin21∴原等式成立六、合并法求和针对一些特其他数列，将某些项合并在一起就拥有某种特其他性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，尔后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵

cosncos(180n)（找特别性质项）Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）0[例13]数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.解：S2002＝a1a2a3a2002由a11,a23,a32,an2an1an可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,⋯⋯a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62∵a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60（找特别性质项）∴S2002＝a1a2a3a2002（合并求和）＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002＝a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5[例14]在各均正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的.解：Snlog3a1log3a2log3a10由等比数列的性mnpqamanapaq（找特别性质项）和数的运算性logaMlogaNlogaMN得Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)（合并求和）＝

(log3

a1

a10)

(log3

a2

a9)

(log3

a5

a6)＝

log39

log3

9

log3910七、利用数列的通项求和先依照数列的结构及特色进行解析，找出数列的通项及其特色，尔后再利用数列的通项揭穿的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求1111111111之和.n个1解：由于1111199991(10k1)k个19k个19（找通项及特色）∴1111111111n个1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n1)9999（分组求和）＝1(10110210310n)1(1111)99n个1＝110(10n1)n91019＝1(10n1109n)81[例16]已知数列n：an8(n1)(anan1)的值.(n,求{a}1)(n3)n1数列练习一、选择题1.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A.1B.2C.222.已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.33.公差不为零的等差数列的前n项和为.若是a3与a7的等比中项,S832,则等于A.18B.24C.60D.90.4设是等差数列的前n项和，已知a23，a611，则等于A．13B．35C．49D．635.已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝（A）－2（B）－1（C）1（D）2226.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和A.90B.100C.145D.1907.等差数列的前n项和为，已知am1am1am20，S2m138,则（A）38（B）20（C）10（D）9.8.设是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则的前n项和=A．n27nB．n25nC．n23nD．n2n4433249.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空题1设等比数列的公比q1，前n项和为，则S4．2a42.设等差数列的前n项和为，则，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前n项积为，则，，，T16成等比数列．T123.在等差数列中,a37,a5a26,则a6____________.4.等比数列{}的公比,已知=1，an2an16an，则{}的前4项和=.数列练习参照答案一、选择题【答案】【解析】设公比为q,由已知得a1q2a1q82a1q42,1.B即q22,又因为等比数列的公比为正数，因此q2,故a1a212,选Bq222.【解析】∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da