对数函数 典型例题

创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日例1求下列函数的界说域y=log?(x2-4x-5);y=log](16-4x)一4TOC\o"1-5"\h\zy=国父+-3).解：(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故界说域为{xIx<-l,或x>5}.(2)令得故所求界说域为{xI-Kx<0,或0<x<2}.(3)令，得故所求界说域为{xIx<-1-,或-1-<x<-3,或xN2}.说明求与对数函数有关的界说域问题首先要考虑，真数年夜于零.底数年夜于零不即是1,若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零.例2求下列函数的单调区间.(1)y=log2(x-4)；(2)y=log0．5x2．解：(1)界说域是(4,+8),设t=x-4，当x>4时，t随x的增年夜而增年夜，而y=log2t,y又随t的增年夜而增年夜，・・(4,+8)是y=log2(x-4)的递增区间.(2)界说域{x|x£R,且xW0},设t=x2,则y=log05t当x>0时，t随x的增年夜而增年夜，y随t的增年夜而减小,.(0,+8)是y=log0产的递加区间.当x<0时，t随x的增年夜而减小，y随t的增年夜而减小,・・(-8,0)是y=l0go产的递增区间.例3比力年夜小：(1)logo71.3和log。J.8.(2)(lg)17和(lgn)2(n>1).log23和log?log35和log64.解：(1)对数函数y=logo,7x在(0,+8)内是减函数.因为1.3<1.8,所以10go71.3>log。71.8.(2)把lgn看作指数函数的底，本题归为比力两个指数函数的函数值的年夜小，故需对底数lgn讨论.若l>lgn>0,即l<n<10时，y=(Ign)x在R上是减函数，所以(Ign)i-2>(Ign)2；若lgn>l,即n>10时，y=(Ign)2在R上是增函数，所以(Ign)i-7>(Ign)2.(3)函数yEog/和yEc^x当x>l时，y=log/的图像在y=log5x图像上方.这里x=3,所以log23>log53.log?和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为Iog35>log33=l=log66>log64,所以logsSAloge21.评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第(3)小题，可直接利用例2中的说明获得结论.例4已知函数f(x)=log(a-ax)(a>l),(1)求f(x)的界说域、值域.(2)判断并证明其单调性.(3)解不等式4(X2-2)>f(x).解：(1)要使函数有意义，必需满足丁ax>0,即3〈a.因为a>l,所以x<l；又因为0<a-ax<@,所以f(x)=log(a-ax)(a>l)的值域为(-8,1)(2)设々<气<1,则a"Ya<a(因为a>l).所以a—a>a-a>0,所以log(a-a)>log(a-a),即f(x1)>f(x2).所以f(x)这(-8,1)上的减函数.(3)设y=log(a-ax),贝Ua-ax=ay,ax=a-ay,x=log(a-ay),所以f-i(x)=log(a-ax)(x£(-8,1)),f(x)=f-i(x)．由f-i(x2-2)>f(x)有f(x2-2)>f(x)，且f(x)为(-8,1)上的减函数,所以x2-2<x,x<1,解得-1<x<1.评析知道函数值年夜小关系和函数单调性,要研究自变量取值范围，应直接用单调性得关于x的不等式，但要注意单调区间．例5已知f(x)=2+log3x,x£[1,9],求y=[f(x)12+f(x2)的最年夜值，及y取最年夜值时，x的值.分析要求函数y二[f(x)]2+f(x2)的最年夜值，要做两件事,一是要求其表达式；二是要求出它的界说域,然后求值域．解：Vf(x)=2+log3x,/.y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=(logx+3)2-3．3V函数f(x)的界说域为[1,9],••要使函数y二：f(X)]2+f(X2)有界说，就须AO<logx^l3/.6^y=(log3x+3)2-3^13••当x=3时，函数y二[f(x)]2+f(X2)取最年夜值13.说明本例正确求解的关键是：函数y二：f(x)]2+f(X2)界说域的正确确定.如果我们误认为[1,9]是它的界说域.则将求得毛病的最年夜值22.其实我们还能求出函数y二[f(x)]2+f(X2)的值域为[6,13].例6(1)已知函数yEogs(X2-4mx+4ni2+m+)的界说域为R,求实数m的取值范围；(2)已知函数y=log[x2+(k+1)x-k+(a>0,且a#l)的值域为R,求实数k的取值范围.点拨：题(1)中，对任意实数x,X2-4mx+4ni2+m+>0恒成立；题(2)中，X2+(k+1)x-k+取尽一切正实数.解：(1)*.*x2-4mx+4m2+m+>0对一切实数x恒成立，A=16m2-4(4m2+m+)=-4(m+)<0,根口一耀十1**昭-1>0.（2）yeR,・.X2+（k+1）x-k+可取尽一切正实数.△=（k+1）2—4（-k+）三0,・・k2+6kN0,・・・kN0,或kW-6.评析本题两小题的函数的界说域与值域正好错位.（1）中函数的界说域为R,由判别式小于零确保；（2）中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.例7求函数y=log05（-x2+2x+8）的单调区间.分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2<x<4）的单调性相反.W.V-x2+2x+8>0,•・-2<x<4,•・原函数的界说域为（-2,4）.又「函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2,1］上为增函数，在［1,4）上为减函数，J函数y=log05（-x2+2x+8）在（-2,1］上为减函数，在［1,4）上为增函数.评析判断函数的单调性必需先求出函数的界说域，单调区间应是界说域的子集.例8已知a>0且aWl,f(logx)=a2-1,(x-x0.a(1)求f(x);(2)判断f(x)的奇偶性和单调性；(3)对f(x)，当x£(-1,1)时，有f(1-m)+f(l-m2)<0,求m的取值范围.分析先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第(3)小题.解：(1)令t=logx(t£R),则x=曲，且f(t)=(at-@t),/.f(x)=(@x-@x)(x£R).Vf(-x)=(@x—@x)=-f(x),且x£R,/.f(x)为奇函数.a>l时，ax为增函数，而且注意到，.二这时，f(x)为增函数.0<a<1时，类似可证f(x)为增函数.・・・f(x)