函数的单调性知识点和题型归纳

函数的单调性知识点和题型归纳函数的单调性知识点和题型归纳函数的单调性知识点和题型归纳函数的单调性知识点和题型归纳编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:●高考明方向1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：1、《名师一号》P16问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么①⇔f(x)在[a，b]上是增函数；⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．2、《名师一号》P16问题探究问题2单调区间的表示注意哪些问题单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16高频考点例1规律方法(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2)导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f′(x)，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：《名师一号》P17高频考点例2规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增)函数，为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用《名师一号》P17特色专题(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．二、例题分析： （一)函数单调性的判断与证明例1.（1）《名师一号》P16对点自测1判断下列说法是否正确(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()(2)函数f(x)＝eq\f(1,x)在其定义域上是减函数．()(3)已知f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．()答案：√×√例1.（2）《名师一号》P16高频考点例1（1）(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝(x＋1)答案：A.例2.（1）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝eq\f(ax,x＋1)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x1＋1)－eq\f(ax2,x2＋1)＝eq\f(ax1x2＋1－ax2x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(ax1－x2,x1＋1x2＋1)∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意：《名师一号》P17高频考点例1规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1.《名师一号》P16高频考点例2（1）求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；y＝x－|1－x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1.))作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.（1）《名师一号》P16高频考点例2（2）求函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的单调区间．解析:令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.∴函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意：《名师一号》P17高频考点例2规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.（2）(补充)答案：增区间：；减区间：练习:答案：增区间：；减区间：（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例1.（1）《名师一号》P17特色专题典例(1)已知函数f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0【规范解答】∵函数f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.例1.（2）《名师一号》P17特色专题典例(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为()A．(2,6)B．(－1,4)C．(1,4)D．(－3,5)【规范解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例1.(1)《名师一号》P17特色专题典例(3)已知函数满足对任意的实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))C．(－∞，2]\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，2))【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，))由此解得a≤eq\f(13,8)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8))).例2.(1)（补充）如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[答案][－eq\f(1,4)，0][解析](1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－eq\f(1,a)，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－eq\f(1,a)≥4，解得－eq\f(1,4)≤a<0.综上所述－eq\f(1,4)≤a≤0.例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6a若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±eq\r(2a)，当x<－eq\r(2a)和x>eq\r(2a)时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－eq\r(2a)<x<eq\r(2a)时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－eq\r(2a)，eq\r(2a))，从而eq\r(2a)＝2，∴a＝2.变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，则a的取值范围是[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.例2.(3)（补充）若函数上单调递减，则实数的取值范围是 （）A．[9，12] B．[4，12] C．[4，27] D．[9，27]答案：A温故知新P23第9题若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 《计时双基练》P217基础7《计时双基练》P217基础8、108、设函数在区间上是增函数,那么的取值范围是答案:10、设函数（2）若且在区间内单调递减,求的取值范围.答案:（五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f(x)为减函数，f(||)<f(1)，所以||>1，则|x|<1且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．练习：是定义在上的增函数，解不等式答案：温故知新P12第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2.《计时双基练》P216培优4函数的定义域为，且对一切都有，当时，有。求的值；判断的单调性并加以证明；若，求在上的值域.答案:单调增;注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:《计时双基练》P218培优4函数的定义域为，且对一切都有，当时，有.(1)求证:在上是减函数；(2)求在上的最大值与最小值.答案:课后作业计时双基练P217基础1-10课本P16-17变式思考1、2；计时双基练P217基础11、培优1-4课本P18对应训练1、2、3预习第二章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习1：函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0,ax，x≥0))(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．[eq\f(1,3)，1)C．(0，eq\f(1,3)]D．(0，eq\f(2,3)]分析：f(x)在R上为减函数，故f(x)＝ax(x≥0)为减函数，可知0<a<1，又由f(x)在R上为减函数可知，f(x)在x<0时的值恒大于f(x)在x≥0时的值，从而3a≥1.解析：∵f(x)在R上单调递减，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥1.))∴eq\f(1,3)≤a<1.答案：B练习2：已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－4ax<1,logaxx≥1))是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，3)C．[eq\f(3,5)，3)D．(1,3)[答案]D[解析]解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1①，又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3②，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)