2020年中考数学专题突破十一：隐圆-动点到定点之定长的轨迹类问题

专题-一:隠圆一一幼抚到定点Z定长的就迹类问题【导例引入】导例:如亂在矩形ABCD中，AB=2,BCP现有一根长为2的木棒EF鉴贴着拒形的边卸些个端点始裟在更刑的边上），按逆吋孑方向滑石一底L则木嗪EF的中点P■在迂动过程中序围或F勺面枳対面枳.【方法指引】荻们切這，在一个平面旳，线段AE烧它固定的一个端点.A號传一周，另一个端点.B所托成抽图刑叫做圆，如图所不，从液据此定:匕扶‘1」来解诀一奕走点+定去旳功念奕匸题.延伸：凰夕卜一点卩到圆上的怎恤距离为「乩最£距离为Pfr1,4、o□点衣叵一条苣践上，即F1,A,B二粽过圆心3）;圆内一臣F到圆上的最患距雇为啓,最氏距离訶PB5（卩、2、th吕四叵在同一杀苣找上,即P.4包三占过园心O）-应用儿何性质:三甬形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;两点、问线段最短,连接宜线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最患,@定圆中的所有弦中，直径最长.方法：见动点遇定点f知定长T^|园f定国观“园”形11导例解析:'：?是EF的中点.•.BP=2ef=2xz=1.如图所示，点P的运动軌迹是4股弧长907TX1+2段线段的长處即4X180+2X2=2兀+4・【例题精讲】类型一：隐圆之动点定长晨矩距富问题例1・如劉在RtAABC中，AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF二2,点E为边BC上的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是・分析：ACEF沿直线孑翻折时,点F为宦点J・・CF二PF…・・PF为定线'即动点P到定点F的距离始终不变，即点P在以F为圆I',PF长为半径的圆上运动•如此一来本题就轻化为圆上一点到直线的爰短距离问题。类型二：隐园之动点定长蹿徹迹问题•例2・如圃O0的半径为2,AE・CD是互相垂直的两条直径，点P是00上任意一点，过

点P作PM丄AB于点对PN1CD于点N,点Q是耐的中点，当点P从点A运动到点D时,点Q所经过的路径长为（）nunA・4E・3c・2D•兀【分析】连接OF,则OF的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的•性质可得05=1,点Q在以点0天1圖心，1次半径的II弧上运动，再由走讨的角度代入弧长公式即可.【专题过关】如虱边长为2的正方形ABCD的顶点A,B在一个半径为2的匾上顶点6D在该圆内，将正方形AECD绕点A逆时针旋转，当点D第一友落在圆上时，点C运动的路线长为■如團'在RtA^BC中，BC=AC=2,点M是AU边上一动点"连接BM,以CM为直径的00交劭0于则线段血的最小值为・如图，在矩形应CQ中〉AB=4；BC=6,£是矩形內部的一个动点，且4E丄则CD上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是【构造运用】如图4,在边长为4的菱形ABCD中，ZA=60w〉M足AD边的中点，N是AB边上一幼点.将△AMN沿MN所在的直线翻折得到Aa，MN.连接屮C,请求出A，C*度的最小值解：由折養知A，M=AM,又“是AD的中点，可得MA=MA7=MD.＞点A，在以AD为直径的圃上，如園5,以点心，MA天I半径画0M,过M作MHlCD,垂足初H（请继续完成本题的后续解题过程》.【深度运用】如團6,AABCx△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、£f■的中点，直线AG,FC相交于点M，当ZkEFG绕点D施转时，则线段BM长笊最小值和最大值分别是和幅答案:例1・如因'延长"交于当FPlAB^,点P到“的距离最小.AFFM\'Za=ZaZAMF=ZC=90°^・・・MFMSM8C，・・,3二孔.:CF-2^&U6,BC=8,・\AF^4,AB^JAC+DC^10・4FM/•10=8・・\FM=3.2・・・・PF=CF=2,:.PM=1,2.•••点P到边AB距蔑的最小值定1.2.例2.VPMly轴于点叭FN丄x轴于点N,・••四边形0冋是矩形.又：•点Q为喷的中点,90ttx1n•••点Q为OP的冲点，贝」OQ=1一二点Q走过的路径长二180=2.故迭c.【专题过关】2®l.h+71.因为正方形的边长为2,圆的半径为2,正方形.450沿圆的內壁作无滑动的滚动.当滚动一周回到原位気时，正方形总共转动了6次，点C运动的路径是以、AC为半径，旋转两次的弧长和以正方形的边长为半^旋转3次的弧长的和（还有一次点C在圆上，为旋转宜中心），如團'分别连接0雄，OB,ODSOC,OC仃-.-OA=OB=2\B；.\AOAB是等边三角形・.-.ZOAB=60°・同埋可证ZOAD?=60°・・・・ZD'AB=120。.•.•ZDzABz=90%.\ZBAB/=120o-90^=30°.庄旋转变换的性质可知ZCA>ZB£E=30。.•••四边形AECD为正万形，且边长为2,/.ZABC=90%十2=2©.30ttx2#®•••当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：180亍.ypn庄上面的计算过程可知，每次的旋转角都为30%所以点"运动的路径为：VX2+30ttx22Qr180X2=3+兀.2.如團2,连接C7V.•.•力川是0O的直径,/.ZrWAzT=90°・.\ZtWS=90o・・••点M在汰■FC为直径的0。'上.的半径为1,.当点夕,曲,力共线时，阿最小，如囲2.在RtZXNO'C中，・・・O‘C=bAC=2,/.Oz戸皿十AC?*.••・AN=Q-<?*•A-^-b即线段例长度的最小值为a/5-!.故答案为2-1・•・VE丄旋…•・点&在以佔为直径的半00上连接O0交0O于点刃…••当点E位于点矿位罡时，线段d取得最小值.9：AB=A,：.OA=O3=OE/=2.■：BC=^：.OC=V»^+OB-=；62+22=2^则CT=00-02'=2何-2.故答案为：2何-2.4.如團，•/MA/是定值，LC长度取最小值时，即以在MC上时.过点M作MH1LC于点兀I•在边长为4的菱形ABR中，ZA=60°小为AD中点,・・・2MD=AD=CD=4ZHDM=60°・1・・・ZHMD=30°・/.HD="MD=1.-•.H}.!=DMXcos30°=E?.MC=7c/f2+MH2=2^J7..'.A'C=MC-TIA7=2少-2.放笞秦为2,-2・・・・"=4,当3F缘点A旋转吋，点F在以人为圆心，4为半径的圆上,.•.当8F为此园的切线时，厶8F最大，即BF]_AF,在Rt^ABF中，BF=Jh-4^=3,\'Zf4F=90°,・\Z8AF+Z8AH=90°,\9Zdah^Zbah=90^,・・.Zdah=Zbaf,（乙AHD=zAFB，^DAH=z.BAF、在dDH和亠时中，AD=AB、••厶DH望AABF（4AS）,11:.DH=BF=3,・・・Sam£=%FDH=，X3X4=6・故答案为6・6・分两步:连接AP,AP=APy…・・Aa*PC周长pVF+PC+"OAP+PC+以C.•.•ap+pOac,当A,P,C三点共线吋，AP十PC有最小值，是血C的长.."•AC三IMN的父点就是点P.由勾股定理得：Ac4+於=2庐.以M点为圆心，EIA为半径作圆，如图所示，连擾CM,VAyOCM-A7M,/.当⑷jV,C三点共线时＞2C有晨小值，此时M罡AD的中点..-.AM=DM=1.・・・MC=J&f=戸•由折競得AM=AyM=b:、ZC=MC-AyM二仲1..•.△AM周长的最小值是何1+2九B7.（1）如虱连接OE・•・•直甬三鱼板AEC的斜边AE与量角;器的直径恰好重合，・••点A,E,B,C共風T点E对应的刻度是90S1Z1AOE>90°..•.Z^AC&=2ZA05>45o..\ZADE^ZA^ZACE>75o・⑵连接DP,设0C的甲点为O.•/PE=PC,.\OP1EC./.ZOPC=90°.点P的运动轨迹是以OC为直径的半圆，11YOC^AB^4>.\OO^OC=2.点P的运动路径的长为炉2=2冗8.（1）-.'Aabc是等边三角形，「.Za二Zb二Zc=60°・由折養可知:DF=DC,且点F在AC±./.ZDFC=ZC=60°./.ZOFC=ZA./.DF//AB5（2〉存在,理由如下：过点D作DM1AB交AB于点M.\AB=BC=6/BD=4,.\CD=2..\DF=2.F在以D为凰心》DF为半径的區1上.•I当点F在DM±时，SAABF>d\-/BD=4,DM丄AB,ZABC=60°,/.MD=2x^.11.•.SAABF的最小值二亍X6X（2虫2）=6\^-6..-.S最犬值二？X2x3—（6血6）二・3屈6.（3）如图，过点D作DG丄EF于点G过点E作EH丄CD于点H.G•.'△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,/.DF=DC=2^ZEFD=ZC=60o・•.■QD丄EF,ZEFD=60°〉・・・FG二1,DG=aAfG=V^.•.BD2二BGJDGS.\16-3+（BF+1）\.\BF=V^-1.EC①.-.BG=V^.'.-EH1bC,Zc=60°‘・-.CH=2,EH=^HC=2EC・•.•Zgbd=Zebh,Zbgd二Zbhe二•.•Zgbd=Zebh,Zbgd二Zbhe二90°,・\AbgdooAbhe.9.【问题情境】如答團「在圆O上任意収一个不同于点B的点G连接oc,OP.则有OPtOC>PC・由OB-OC得到:OP+OB>PC,即PB>PC・从而得出结段PB是点P到圆0上各点的跑崗中最长的线段；【直接运层】如答團RA言图2找到BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P“连接AP”EP”可见，APi+EPi>AE^即AB是AP的最小值.TAE二Q+2二伍p.E=i,/.AP2=\^-1.故答秦为:伍1.【构造运用】如答图3所示.VMA7是定值，A，C长度取最小值时，即A，在MC±时，过点M作MH丄DC于点F・T在边长为4的菱形A8CD中,ZA=60°为AD中点,1・-.2MD=AD=CD=4?ZHDM=60°・・\ZHMD=30°・・-.HD=2mD=1・.-.HM=DMXCos30°二小.・・.ZojH叶+CM>2、P•：4’C=MC-MAy=2#-2^【深度运用】设AC的屮点6连接ASDGxBOsOM,如1答图4・-/AaBC,AEFG均是边长为4的等边三鱼形，点D是边BC,EF的中点，da^dg.".adIbc,gdIef,DA=DG,DC=DF・・-.ZaDG=90°・Zcdg=Zfdc,DCDF・z.Adag^Adcf./.Zdag=Zdcf..*.