(完整版)数列难题汇编详解1

解：1解：—(4n3+13n2+13n)2—cos—nx+1用数学归纳法证明ngN时，(2cosx—l)(2cos2x—1)…(2cos2n-i•x—l)=—cosx+1.一、、—cos—x+14cos—x-1一.，、.证明：1)当n=1时，左式=2cosx—l,右式二==2cosx—1,即左式二右—cosx+1—cosx+1式，・•・等式成立.2)假设当n=k时等式成立，即—cos—kx+1(2cosx—1)(2cos2x—1)・・・2cos2k-1•x—1)=一—cosx+1当n=k+1时，左式二(2cosx—l)(2cos2x—l)・・・2cos2kt・x—1)•(2cos2k•x—1)=—cos—kx+—cos—kx+1—cosx+1(2cos2k•x—1)=4(coskx)—-1—cosx+1”1+cos—•—kx+144•-1——cosx+1—•cos—k+1•x+1=/.n=k+1时等式成立.—cosx+1由1)、2)可知，对ngN时等式成立.用数学归纳法证明32n+2—8n—9(nGN)能被64整除.证明：1)当n=1时，32X1+2—8X1—9=64,能被64整除，・n=1时命题成立.2)假设当n=k时命题成立，即32k+2—8k—9(k21)能被64整除，则当n=k+1时32(k+1)+2—8(k+1)—9=9•(32k+2—8k—9)+64(k+1)能被64整除,n=k+1时命题成立.由1)、2)可知对一切自然数32n+2—8n—9能被64整除求实数a,使下面等式对一切自然数n都成立：111n—+an++■■■+二—1•—•3—•3•4n(n+1)(n+—)4(n+1)(n+—)1a+1a+11解：当n=1时，左式=7,右式二•由二丁解得a=3.64•—•34•—•36下面用数学归纳法证明当a=3时原式对一切自然数n都成立.n=1时，同上述知等式成立.假设n=k时，等式成立，即111k—+3k++■■■+=——1•—•3—•3•4k(k+1)(k+—)4(k+1)(k+—)则当n=k+1时,左式=11左式=+…+k(k+1)(k+—)+(k+1)(k+—)(k+3)k—+3k1(k+1)(k—+5k+4)(k+1)—+3(k+1)=+==4(k+1)(k+—)(k+1)(k+—)(k+3)4(k+1)(k+—)(k+3)4(k+—)(k+3)・当n=k+1时等式成立.由1)、2)可知当a=3时，对ngN时等式成立.56.下述证明方法是否是数学归纳法？说明理由。证明v'n2+n<n+1(neN).证明：(1)当n=l时"12+1<1+1不等式成立；(2)假设n=k(keN)时不等式成立。即k2+k<k+1则当n二k+1时v'(k+1)2+(k+1)=•“2+3k+2<v(k2+3k+2)+(k+2)=、：(k+2)2=(k+1)+1,An=k+1时等式成立，故对一切neN等式成立。解：上述的证明方法不是数学归纳法，因为第二步由n=k推导n=k+1时没有用到归纳假设来证明不等式成立。已知数列｛a｝的通项a=n2+n,试问是否存在常数p,q,r使等式nn111pn2+qn+r++A+二对一切自然数n都成立。1+a2+an+a4(n+1)(n+2)12n解：令n=1,2,3,得方程组1_p+q+r1+a241\4p+2q+r<+_1+a2+a48111219p+3q+r++_1+a2+a3+a80123p+q+r_8即<4p+2q+r_22解得p=3,q=5,r=0.9p+3q+r_421113n2+5nTOC\o"1-5"\h\z・•・++A+_1+a2+an+a4(n+1)(n+2)12n当n=1时等式成立；假设当n=k时等式成立，1113k2+5k即++A+_1+a2+ak+a4(k+1)(k+2)12k1111当n=k+1时，++A++1+a2+ak+a(k+1)+a12kk+13k2+5k1=+——4(k+1)(k+2)(k+1)+[(k+1)2+(k+1)]=3(k+1)3+5(k+1)2_3(k+1)2+5(k+1)=4(k+1)(k+2)(k+3^4(k+2)(k+3)即n=k+1时等式成立。由(1),(2)可知对一切自然数n,等式都成立。已知f(x)=2x+b,设f(x)=f[f(x)],f(x)=f[f(x)],(n22,neN),求f(x),f(x),1nn-1112猜想f(x)用n表示的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想。n解：f(x)=2n+ix+(2n+i-1)bn平面上有n个圆,其中任意两圆都相交，任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为几部分?用数学归纳法证明你的结论.解：n2—n+260.已知数列8•112•60.已知数列8•112•32d,A32•528n(2n-1)2(2n+1)2,A,Sn为其前nn项的和,计算得S=8,S=25，S=41,s=•观察上述结果，推测出计算S的公式，并用数学归纳法加以证19225349481n明.解：S=解：S=n(2n+1)2观察下面等式：1=122＋3＋4=9=323＋4＋5=6＋7=25=524＋5＋6＋7＋8＋9＋10=49=72推出由等式提供的一般规律,用数学归纳法证明.解：n+(n+l)+(3n—2)=(2n—l)2求证：对任何自然数n,n(n+1)…(n+k)1・2・3・・・k+2•3•4・・・(k+l)—n(n+l)・・・(n+k—l)=(k^N).k+1解:(1)当n=1时，左边=1・2・3…k，右边=1•(1+1)A(1+k一1)(1+k)=1・2・3…k,即等式成立.2)假设n=l(lWN)时，等式成立，即有1・2・3・k+2・3・4・.・(k+1)——l(l+1)(l+2)..・(l+k—1)=dAk+1那么，当n=l＋1时，1・2・3-k+2・3・4•••(k+1)——l(l+1)..・(l+k—1)+(l+1)(l+2)..・(l1-(1+1)A(1+k)k+1=k+1=(1+1)(1+2)A(I+k)(/*k*1)=(1+1)[(l+1)+1]A[(l+1)+k]