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文档简介
2022年高考数学模拟试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.2.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.44.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()A. B. C. D.5.已知函数,,的零点分别为,,,则()A. B.C. D.6.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.7.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多9.设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则不等式的解集为()A. B. C. D.10.已知正方体的棱长为2,点为棱的中点,则平面截该正方体的内切球所得截面面积为()A. B. C. D.11.的展开式中的系数为()A.5 B.10 C.20 D.3012.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围为_____.14.已知实数a,b,c满足,则的最小值是______.15.函数的定义域是__________.16.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线左支交于两点,,的内切圆的圆心的纵坐标为,则双曲线的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.18.(12分)已知点、分别在轴、轴上运动,,.(1)求点的轨迹的方程;(2)过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.19.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,角为钝角,(1)求的值;(2)求边的长.20.(12分)如图在四边形中,,,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.21.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.22.(10分)百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)年份(届)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.参考公式:,参考数据:,,,
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.2.C【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3.C【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.A【解析】
设直线为,用表示出,,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出的最小值.【详解】解:设直线为,则,,而满足,那么设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,所以故选:.【点睛】本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.5.C【解析】
转化函数,,的零点为与,,的交点,数形结合,即得解.【详解】函数,,的零点,即为与,,的交点,作出与,,的图象,如图所示,可知故选:C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点,考查了学生转化划归,数形结合的能力,属于中档题.6.C【解析】
根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.7.D【解析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.8.D【解析】
根据两个图形的数据进行观察比较,即可判断各选项的真假.【详解】在A中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的;在B中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图得到:,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的,所以是正确的;在C中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分别条形图得到:,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多,所以是正确的;在D中,互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为,所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.故选:D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9.D【解析】
由可得,所以,由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数,可知在上单调递增,注意到,再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以,解得,所以当时,,且时,单调递增,所以在上单调递增,因为,故有,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查学生对函数性质的灵活运用能力,是一道中档题.10.A【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆,根据等体积法计算出球心到平面的距离,由此求解出截面圆的半径,从而截面面积可求.【详解】如图所示:设内切球球心为,到平面的距离为,截面圆的半径为,因为内切球的半径等于正方体棱长的一半,所以球的半径为,又因为,所以,又因为,所以,所以,所以截面圆的半径,所以截面圆的面积为.故选:A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算,难度一般.任何一个平面去截球,得到的截面一定是圆面,截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.11.C【解析】
由知,展开式中项有两项,一项是中的项,另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知,,因为展开式的通项为,所以展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项,解决这类问题要注意通项公式应写准确,本题是一道基础题.12.A【解析】
根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大小,从而判断出角的大小,即可得答案.【详解】由题可得过点作交于点,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故选:.【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解,化简方程在区间上有解,构造函数,求导,求出单调区间,利用函数性质得解.【详解】解:根据题意,若函数与的图象上存在关于轴对称的点,则方程在区间上有解,即方程在区间上有解,设函数,其导数,又由,可得:当时,为减函数,当时,为增函数,故函数有最小值,又由;比较可得:,故函数有最大值,故函数在区间上的值域为;若方程在区间上有解,必有,则有,即的取值范围是;故答案为:;【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题,函数零点问题的拓展.由于函数的零点就是方程的根,在研究方程的有关问题时,可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点,结合函数的图象,采用数形结合思想加以解决.14.【解析】
先分离出,应用基本不等式转化为关于c的二次函数,进而求出最小值.【详解】解:若取最小值,则异号,,根据题意得:,又由,即有,则,即的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值,属于中档题.15.【解析】由,得,所以,所以原函数定义域为,故答案为.16.2【解析】
由题意画出图形,设内切圆的圆心为,圆分别切于,可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义,求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式,即可求得双曲线的离心率.【详解】设内切圆的圆心为,圆分别切于,连接,则,故四边形为正方形,边长为圆的半径,由,,得,与重合,,,即——①,——②联立①②解得:,又因圆心的纵坐标为,.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析【解析】
(1)将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可;(2)先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】(1)①当时,恒成立,;②当时,,即,;③当时,显然不成立,不合题意;综上所述,不等式的解集为.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)上述三式相加可得(当且仅当时取等号),,故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用,解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18.(1)(2)【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程,用坐标表示出,得到,所以,代入韦达定理即可求解.【详解】(1)设,,则,设,由得.又由于,化简得的轨迹的方程为.(2)设直线的方程为,与的方程联立,消去得,,设,,则,,由已知,,则,故直线.,令,则,由于,,.所以,的取值范围为.【点睛】此题考查轨迹问题,椭圆和直线相交,注意坐标表示向量进行转化的处理技巧,属于较难题目.19.(1)(2)【解析】
(1)由,分别求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.【详解】(1)因为角为钝角,,所以,又,所以,且,所以.(2)因为,且,所以,又,则,所以.20.(1)1;(2)【解析】
(1),在和中分别运用余弦定理可表示出,运用算两次的思想即可求得,进而求出;(2)在中,根据余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,求出的面积的最大值.【详解】(1)由题设,则在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面积的最
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