函数矩阵与矩阵微分方程市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

第七章函数矩阵与矩阵微分方程

函数矩阵定义：

以实变量函数为元素矩阵

北京理工大学高数教研室*称为函数矩阵，其中全部元素都是定义在闭区间上实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几个运算，而且运算法则完全相同。例：已知北京理工大学高数教研室*计算定义：设为一个阶函数矩阵，假如存在阶函数矩阵使得对于任何都有那么我们称在区间是可逆。北京理工大学高数教研室*称是逆矩阵，普通记为例：已知那么在区间上是可逆，其逆为北京理工大学高数教研室*函数矩阵可逆充分必要条件定理:阶矩阵在区间上可逆充分必要条件是在上处处不为零，而且其中为矩阵伴随矩阵。定义：区间上型矩阵函数不恒等于零子式最高阶数称为秩。北京理工大学高数教研室*尤其地，设为区间上阶矩阵函数，假如秩为，则称一个满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价。即：可逆一定是满秩，不过满秩却不一定是可逆。例：已知北京理工大学高数教研室*那么。于是在任何区间上秩都是2。即是满秩。不过在上是否可逆，完全依赖于取值。当区间包含有原点时，在上有零点，从而是不可逆。函数矩阵对纯量导数和积分

定义：假如全部各元素在处有极限，即北京理工大学高数教研室*其中为固定常数。则称在处有极限，且记为其中北京理工大学高数教研室*假如各元素在处连续，即则称在处连续，且记为其中北京理工大学高数教研室*轻易验证下面等式是成立：设则北京理工大学高数教研室*定义：假如全部各元素在点处(或在区间上)可导，便称此函数矩阵在点处(或在区间上)可导，而且记为北京理工大学高数教研室*北京理工大学高数教研室*函数矩阵导数运算有以下性质：是常数矩阵充分必要条件是设均可导，则北京理工大学高数教研室*设是纯量函数，是函数矩阵，与均可导，则尤其地，当是常数时有北京理工大学高数教研室*(4)设均可导，且与是可乘，则因为矩阵没有交换律，所以北京理工大学高数教研室*(5)假如与均可导，则(6)设为矩阵函数，是纯量函数，与均可导，则北京理工大学高数教研室*定义：假如函数矩阵全部各元素在上可积，则称在上可积，且北京理工大学高数教研室*函数矩阵定积分含有以下性质：例1

：已知函数矩阵试计算北京理工大学高数教研室*证实：北京理工大学高数教研室*因为，所以下面求。由伴随矩阵公式可得北京理工大学高数教研室*再求北京理工大学高数教研室*例2：已知函数矩阵北京理工大学高数教研室*试求例3：已知函数矩阵试求证实：北京理工大学高数教研室*一样能够求得北京理工大学高数教研室*例4：已知函数矩阵试计算北京理工大学高数教研室*函数向量线性相关性定义：设有定义在区间上个连续函数向量假如存在一组不全为零常实数使得对于全部等式成立，我们称，在上线性相关。北京理工大学高数教研室*不然就说线性无关。即假如只有在等式才成立，那么就说线性无关。定义：设是个定义在区间上连续函数向量记北京理工大学高数教研室*以为元素常数矩阵称为Gram矩阵，称为Gram行列式。定理：定义在区间上连续函数向量线性无关充要条件是它Gram矩阵为满秩矩阵。北京理工大学高数教研室*例：设则于是Gram矩阵为北京理工大学高数教研室*所以故当时，在上是线性无关。北京理工大学高数教研室*定义：设是个定义在区间上有阶导数函数向量，记那么称矩阵北京理工大学高数教研室*北京理工大学高数教研室*是Wronski矩阵。其中分别是一阶，二阶，…，阶导数矩阵。定理：设是Wronski矩阵。假如在区间上某个点，常数矩阵秩等于，则向量在上线性无关。北京理工大学高数教研室*例：设则因为秩为2，所以与线性无关。北京理工大学高数教研室*

函数矩阵在微分方程中应用形如北京理工大学高数教研室*线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后能够表示成以下形式其中北京理工大学高数教研室*北京理工大学高数教研室*上述方程组初始条件为能够表示成定理：设是一个阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件解为北京理工大学高数教研室*定理：设是一个阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件解为例1：设北京理工大学高数教研室*求微分方程组满足初始条件解。解：首先计算出矩阵函数北京理工大学高数教研室*由前面定理可知微分方程组满足初始条件