信号与系统 连续时间系统的时域分析课件

*1第2章连续时间系统的时域分析*1第2章1*2

LTI连续系统的时域分析，归纳为建立并求解线性微分方程。由于在分析过程中涉及的函数变量均为时间t，故又称为时域分析法。这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。两种时域分析方法：输入输出法是解一元n阶微分方程，状态变量法是解n元一阶微分方程。§2.1引言*2LTI连续系统的时域分析，归纳为2*3系统时域分析的过程

一般根据系统特性列写方程，主要根据元件的约束和网络拓扑约束。解方程的方法主要是数学中所学的方法——经典法、双零法和变换域方法。零输入响应可以用经典法求，因为它是解齐次方程，而零状态响应可以用卷积积分法求解。*3系统时域分析的过程3*4本章重点和难点线性系统完全响应的求解冲激响应的求法卷积的性质零状态响应等于激励与冲激响应的卷积*4本章重点和难点线性系统完全响应的求解4*5

一、微分方程的建立

微分方程的列写即物理模型的建立。描述系统参数不随时间变化的线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面：

1.元件特性约束VAR

在电流、电压取关联参考方向条件下：

(1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；

§2.2微分方程式的建立与求解*5一、微分方程的建立§2.2微分方程式的建立与求解5*6

(2)电感L，

(3)电容C，

(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。2.拓扑结构约束指KCL与KVL

*66*7解：由KVL，列出电压方程：对上式求导，考虑到

例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)为响应的方程式。

C得，*7例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)为7*8根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))整理上式后，可得：*8根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，整理上8*9

二、微分方程的经典解描述LTI系统的激励e(t)与响应r(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程：

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=bme(m)(t)+bm-1e(m-1)(t)+…+b1e(1)(t)+b0e(t)

式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用rh(t)表示，非齐次方程的特解用rp(t)表示，则

r(t)(完全解)=rh(t)(齐次解)+rp(t)(特解)*9二、微分方程的经典解9*10

1.齐次解齐次解满足齐次微分方程

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=0

由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为：

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0*101.齐次解10*11

(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解：

(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解：*11(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相11*12

(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微分方程的齐次解：

rh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解：*12(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微12*13

例：求微分方程

y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的齐次解。解：由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1、λ2=-2。因此该方程的齐次解：

yh(t)=c1e-t+c2e-2t

例：求方程y’’(t)+2y‘(t)+y(t)=e(t)的齐次解。

解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根

λ1=λ2=-1，因此该方程的齐次解:yh(t)=c1e-t+c2te-t

*13例：求微分方程13*14

2.特解

特解的函数形式与激励函数的形式有关。教材P46表2-2列出了几种类型的激励函数e(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。

*142.特解14*15

例：若输入激励e(t)=e-t，试求微分方程y″(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的特解。解：查教材表2-2及注3，因为e(t)=e-t，α=-1与一个特征根λ1=-1相同，该方程的特解：将特解yp(t)代入微分方程，有：P0＝？P1＝？*15例：若输入激励e(t)=e-t，试求微分方程y″(15*16例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。

特征根为齐次解yh(t)解：(1)求齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为*16例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始16*172)求非齐次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解*172)求非齐次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B17*18

齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。

特解的函数形式由激励确定，称为系统的强迫响应。*18齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激18*19

若输入是在t=0时刻接入系统，则确定齐次解中的待定系数时用t=0+时刻的初始条件，即从到状态的转换

包含激励的作用，不便于描述系统历史信息。

在时激励尚未接入，该时刻的值反应了系统的历史情况，而与激励无关，称这些值为系统的起始状态或状态。§2.3起始点的跳变

通常对于具体的系统，起始状态一般容易求得。所以为了求解微分方程，就需要从已知的起始状态设法求得初始条件。*19若输入是在t=0时刻接入系统，则确定齐次解中的待19*20【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。建立电流i(t)的微分方程并求解i(t)在t0+时的变化。＋－R1＝1L＝1/4HC＝1Fe(t)=4ve(t)=2ViL(t)＋－R2＝3/2ic(t)i(t)S21*20【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳20*21【解】（1）列出电路的微分方程

回路方程：结点方程：(1)(2)(3)*21【解】（1）列出电路的微分方程回路方程：结点方程21*22

消去变量Vc(t):

最后带入电路参数得：

消去变量iL(t)并整理:*22消去变量Vc(t):最后带入电路参数得：消22*23(2)求系统的完全响应完全解＝齐次解＋特解齐次解：特征方程为：特征根为：齐次解为：*23(2)求系统的完全响应完全解＝齐次解＋特解齐次解：特23*24特解：由于t0+时,e(t)=4V

右端自由项为4X4，令特解为ip(t)＝B即10B＝4X4，B＝8/5则完全响应为：*24特解：由于t0+时,e(t)=4V右端自由项为424*25(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路前：*25(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路前25*26换路后的I(0+)和di(0+)/dt

换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变！*26换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路期间电26*27(4)求解I(t)在t0+时的完全响应由解得*27(4)求解I(t)在t0+时的完全响应由解得27*28要求的完全响应为：*28要求的完全响应为：28*29

当系统已经用微分方程表示时，系统从0－到0＋状态有无跳变取决于微分方程右端自由项是否包含冲激函数及其各阶导数。

冲激函数匹配法：系统在t=0时刻，微分方程左右两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等。——系数匹配法*29当系统已经用微分方程表示时，系统从0－到0＋29*30

线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应。这样，线性时不变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和。§2.4零输入响应和零状态响应*30线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响30*31

零输入响应和零状态响应也可以分别用经典法求解。

注意：对于t=0时刻接入激励f(t)的系统，其初始值的计算对于零输入响应，由于激励为零，故有对于零状态响应，在0-时刻激励尚未接入，故*31零输入响应和零状态响应也可以分别用经典法求31*32【例】如图所示电路中，电容两端有起始电压，激励源为，求t>0时系统响应。+－+－Rvc(0)e(t)vc(t)+－两端乘以：两端求积分：得微分方程仅与激励有关——零状态响应仅与起始储能有关——零输入响应*32【例】如图所示电路中，电容两端有起始电压32*33完全响应＝自由响应＋强迫响应＝零输入响应＋零状态响应＝通解＋特解＝暂态响应＋稳态响应教材例2-8*33完全响应＝自由响应＋强迫响应教材例2-833*34

一、冲激响应

由单位冲激信号δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。§2.5冲激响应和阶跃响应

二、阶跃响应

由单位冲激信号u(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。*34一、冲激响应§2.5冲激响应和阶跃响应二34*35::*35::35*36*3636*37uuu*37uuu37*38

教材例2-9、2-10

系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。*38教材例2-9、2-1038*39

在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。

§2.6卷积*39在信号分析与系统分析时，常常需要39*40

设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，我们将积分

定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为

积分的结果为另一个新的时间信号。一、卷积的定义*40设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，40*41二、卷积积分法求解零状态响应

在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)分解为冲激函数序列，然后令每一冲激函数单独作用于系统并求其冲激响应，最后利用LTI系统特性，将这些响应叠加即可解得系统对激励f(t)的零状态响应yf(t)。这个叠加的过程表现为求卷积积分。*41二、卷积积分法求解零状态响应41*42

系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分:*42系统的零状态响应yf(t)为输入激42*43

对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。

三、卷积图解法*43对于一些较简单的函数符号，如方波、三43*44

1.卷积积分的代数性质

卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。

1)交换律四、卷积积分的性质*441.卷积积分的代数性质四、卷积积分的性质44*45系统级联满足交换律*45系统级联满足交换律45*462)分配律

(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)

两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。

*462)分配律46*47卷积分配律示意图*47卷积分配律示意图47*48

3)结合律

u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)*483)结合律48*492.奇异信号的卷积特性信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积等于f(t)本身，即：

或*492.奇异信号的卷积特性或49*50(2)信号f(t)与冲激偶δ’(t)的卷积等于f(t)的导函数证：即冲激偶δ’(t)是微分器！*50(2)信号f(t)与冲激偶δ’(t)的卷积等于f(t50*51(3)信号f(t)与阶跃信号u(t)的卷积等于信号f(t)的积分证：即u(t)是积分器！*51(3)信号f(t)与阶跃信号u(t)的卷积等于信号f51*523.卷积积分的微分和积分注意:(3)式使用的条件是被求导的函数在处为零值，或者被积分的函数在区间上的积分值为零。3.卷积的微分积分特性*523.卷积积分的微分和积分注意:(3)式使用的52*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u53*544.卷积的时移*544.卷积的时移54*55由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若f1(t)*f2(t)=y(t)，则

式中，t1和t2为实常数。

特别地，即是延时器！*55由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若f1(t)*55*56

例：已知某线性非时变(LTI)系统如图所示。图中h1(t)=u(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激响应h(t)。

解：当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。*56例：已知某线性非时变(LTI)系统如图所示。图中h56*57h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)

从图可见，子系统h1(t)与h2(t)是级联关系，而h3(t)支路与h1(t)及h2(t)组成的支路是并联关系，因此*57h(t)=h1(t)57*58例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。

解：上下限错误！缺少u(t)！*58例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e58*59

例：已知信号f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与

f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，试计算f1(t)*f2(t)。

解:根据卷积积分的定义，可得

*59例：已知信号f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)59*60规定1：

p称为微分算子，

的含义是。规定2：

如：微分算子与微分方程*60规定1：微分算子与微分方程60*61规定3：

称为积分算子，

的含义是。*61规定3：61*62规定4：设为常数，则的含义是：*62规定4：设62*63规定5：设和是的正幂多项式，则方程所代表的方程是

算子方程：含微分算子的方程。*63规定5：设和是63*64

若称为对的传输算子。它代表系统对输入的传输作用，或系统将输入转移为输出的作用，又称为系统的传输算子。*64若64*65举例1：对应的方程为或

*65举例1：65*66性质1：以的正幂多项式出现的算子式可以像代数多项式一样进行相乘和因式分解。如：又如：

微分算子的性质*66性质1：以的正幂多项式出现的算子式可以像代数66*67性质2：设和都是的正幂多项式，则：*67性质2：设和都67*68性质3：算子方程两边的公共因子不能随便消去。如若则不一定成立！*68性质3：算子方程两边的公共因子不能随便68*69

电路系统中微分方程的建立元件名称电路符号

关系运算模型电阻电容电感Ri(t)u(t)+-C+--i(t)u(t)L+i(t)u(t)-﹏*69电路系统中微分方程的建立元件名称电路符号69*70建立系统微分算子方程的方法：

把R、PL、1/PC看成阻抗，用正弦稳电路分析法中所采用的网孔分析法、节点分析法、阻抗分析法、戴维南定理等建立系统微分算子方程。*70建立系统微分算子方程的方法：70*71性质4：设、、都是的正幂多项式，则：但是举例：但*71性质4：设、、71*72冲激响应为：当，时，冲激响应为：根据传输算子求冲激响应一阶系统的冲激响应一阶系统方程如下：其冲激响应应满足：*72冲激响应为：当，72*73结论：

在求冲激响应时，算子式完全可以像普通代数式那样进行运算，如消去公因子等。注意：

算子与相乘，表示系统对的传输，而不是使乘上一个数值系数。*73结论：73*74例:系统的传输算子如下，求出其冲激响应。解：例:某系统的冲激响应满足算子微分方程式：传输算子为：*74例:系统的传输算子如下，求出其冲激响应。例:某系统的冲74*75因此系统的冲激响应为：*75因此系统的冲激响应为：75*76第二章作业2—6(1)2—9(1)2—13(1)(2)(4)2—20

*76第二章作业2—6(1)76*77第2章连续时间系统的时域分析*1第2章77*78

LTI连续系统的时域分析，归纳为建立并求解线性微分方程。由于在分析过程中涉及的函数变量均为时间t，故又称为时域分析法。这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。两种时域分析方法：输入输出法是解一元n阶微分方程，状态变量法是解n元一阶微分方程。§2.1引言*2LTI连续系统的时域分析，归纳为78*79系统时域分析的过程

一般根据系统特性列写方程，主要根据元件的约束和网络拓扑约束。解方程的方法主要是数学中所学的方法——经典法、双零法和变换域方法。零输入响应可以用经典法求，因为它是解齐次方程，而零状态响应可以用卷积积分法求解。*3系统时域分析的过程79*80本章重点和难点线性系统完全响应的求解冲激响应的求法卷积的性质零状态响应等于激励与冲激响应的卷积*4本章重点和难点线性系统完全响应的求解80*81

一、微分方程的建立

微分方程的列写即物理模型的建立。描述系统参数不随时间变化的线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面：

1.元件特性约束VAR

在电流、电压取关联参考方向条件下：

(1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；

§2.2微分方程式的建立与求解*5一、微分方程的建立§2.2微分方程式的建立与求解81*82

(2)电感L，

(3)电容C，

(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。2.拓扑结构约束指KCL与KVL

*682*83解：由KVL，列出电压方程：对上式求导，考虑到

例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)为响应的方程式。

C得，*7例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)为83*84根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))整理上式后，可得：*8根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，整理上84*85

二、微分方程的经典解描述LTI系统的激励e(t)与响应r(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程：

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=bme(m)(t)+bm-1e(m-1)(t)+…+b1e(1)(t)+b0e(t)

式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用rh(t)表示，非齐次方程的特解用rp(t)表示，则

r(t)(完全解)=rh(t)(齐次解)+rp(t)(特解)*9二、微分方程的经典解85*86

1.齐次解齐次解满足齐次微分方程

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=0

由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为：

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0*101.齐次解86*87

(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解：

(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解：*11(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相87*88

(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微分方程的齐次解：

rh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解：*12(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微88*89

例：求微分方程

y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的齐次解。解：由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1、λ2=-2。因此该方程的齐次解：

yh(t)=c1e-t+c2e-2t

例：求方程y’’(t)+2y‘(t)+y(t)=e(t)的齐次解。

解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根

λ1=λ2=-1，因此该方程的齐次解:yh(t)=c1e-t+c2te-t

*13例：求微分方程89*90

2.特解

特解的函数形式与激励函数的形式有关。教材P46表2-2列出了几种类型的激励函数e(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。

*142.特解90*91

例：若输入激励e(t)=e-t，试求微分方程y″(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的特解。解：查教材表2-2及注3，因为e(t)=e-t，α=-1与一个特征根λ1=-1相同，该方程的特解：将特解yp(t)代入微分方程，有：P0＝？P1＝？*15例：若输入激励e(t)=e-t，试求微分方程y″(91*92例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。

特征根为齐次解yh(t)解：(1)求齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为*16例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始92*932)求非齐次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解*172)求非齐次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B93*94

齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。

特解的函数形式由激励确定，称为系统的强迫响应。*18齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激94*95

若输入是在t=0时刻接入系统，则确定齐次解中的待定系数时用t=0+时刻的初始条件，即从到状态的转换

包含激励的作用，不便于描述系统历史信息。

在时激励尚未接入，该时刻的值反应了系统的历史情况，而与激励无关，称这些值为系统的起始状态或状态。§2.3起始点的跳变

通常对于具体的系统，起始状态一般容易求得。所以为了求解微分方程，就需要从已知的起始状态设法求得初始条件。*19若输入是在t=0时刻接入系统，则确定齐次解中的待95*96【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。建立电流i(t)的微分方程并求解i(t)在t0+时的变化。＋－R1＝1L＝1/4HC＝1Fe(t)=4ve(t)=2ViL(t)＋－R2＝3/2ic(t)i(t)S21*20【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳96*97【解】（1）列出电路的微分方程

回路方程：结点方程：(1)(2)(3)*21【解】（1）列出电路的微分方程回路方程：结点方程97*98

消去变量Vc(t):

最后带入电路参数得：

消去变量iL(t)并整理:*22消去变量Vc(t):最后带入电路参数得：消98*99(2)求系统的完全响应完全解＝齐次解＋特解齐次解：特征方程为：特征根为：齐次解为：*23(2)求系统的完全响应完全解＝齐次解＋特解齐次解：特99*100特解：由于t0+时,e(t)=4V

右端自由项为4X4，令特解为ip(t)＝B即10B＝4X4，B＝8/5则完全响应为：*24特解：由于t0+时,e(t)=4V右端自由项为4100*101(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路前：*25(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路前101*102换路后的I(0+)和di(0+)/dt

换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变！*26换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路期间电102*103(4)求解I(t)在t0+时的完全响应由解得*27(4)求解I(t)在t0+时的完全响应由解得103*104要求的完全响应为：*28要求的完全响应为：104*105

当系统已经用微分方程表示时，系统从0－到0＋状态有无跳变取决于微分方程右端自由项是否包含冲激函数及其各阶导数。

冲激函数匹配法：系统在t=0时刻，微分方程左右两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等。——系数匹配法*29当系统已经用微分方程表示时，系统从0－到0＋105*106

线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应。这样，线性时不变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和。§2.4零输入响应和零状态响应*30线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响106*107

零输入响应和零状态响应也可以分别用经典法求解。

注意：对于t=0时刻接入激励f(t)的系统，其初始值的计算对于零输入响应，由于激励为零，故有对于零状态响应，在0-时刻激励尚未接入，故*31零输入响应和零状态响应也可以分别用经典法求107*108【例】如图所示电路中，电容两端有起始电压，激励源为，求t>0时系统响应。+－+－Rvc(0)e(t)vc(t)+－两端乘以：两端求积分：得微分方程仅与激励有关——零状态响应仅与起始储能有关——零输入响应*32【例】如图所示电路中，电容两端有起始电压108*109完全响应＝自由响应＋强迫响应＝零输入响应＋零状态响应＝通解＋特解＝暂态响应＋稳态响应教材例2-8*33完全响应＝自由响应＋强迫响应教材例2-8109*110

一、冲激响应

由单位冲激信号δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。§2.5冲激响应和阶跃响应

二、阶跃响应

由单位冲激信号u(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。*34一、冲激响应§2.5冲激响应和阶跃响应二110*111::*35::111*112*36112*113uuu*37uuu113*114

教材例2-9、2-10

系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。*38教材例2-9、2-10114*115

在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。

§2.6卷积*39在信号分析与系统分析时，常常需要115*116

设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，我们将积分

定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为

积分的结果为另一个新的时间信号。一、卷积的定义*40设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，116*117二、卷积积分法求解零状态响应

在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)分解为冲激函数序列，然后令每一冲激函数单独作用于系统并求其冲激响应，最后利用LTI系统特性，将这些响应叠加即可解得系统对激励f(t)的零状态响应yf(t)。这个叠加的过程表现为求卷积积分。*41二、卷积积分法求解零状态响应117*118

系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分:*42系统的零状态响应yf(t)为输入激118*119

对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。

三、卷积图解法*43对于一些较简单的函数符号，如方波、三119*120

1.卷积积分的代数性质

卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。

1)交换律四、卷积积分的性质*441.卷积积分的代数性质四、卷积积分的性质120*121系统级联满足交换律*45系统级联满足交换律121*1222)分配律

(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)

两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。

*462)分配律122*123卷积分配律示意图*47卷积分配律示意图123*124

3)结合律

u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)*483)结合律124*1252.奇异信号的卷积特性信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积等于f(t)本身，即：

或*492.奇异信号的卷积特性或125*126(2)信号f(t)与冲激偶δ’(t)的卷积等于f(t)的导函数证：即冲激偶δ’(t)是微分器！*50(2)信号f(t)与冲激偶δ’(t)的卷积等于f(t126*127(3)信号f(t)与阶跃信号u(t)的卷积等于信号f(t)的积分证：即u(t)是积分器！*51(3)信号f(t)与阶跃信号u(t)的卷积等于信号f127*1283.卷积积分的微分和积分注意:(3)式使用的条件是被求导的函数在处为零值，或者被积分的函数在区间上的积分值为零。3.卷积的微分积分特性*523.卷积积分的微分和积分注意:(3)式使用的128*129uuuuuu(t)u(t)u(t)u*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u129*1304.卷积的时移*544.卷积的时移130*131由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若f1(t)*f2(t)=y(t)，则

式中，t1和t2为实常数。

特别地，即是延时器！*55由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若f1(t)*131*132

例：已知某线性非时变(LTI)系统如图所示。图中h1(t)=u(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激响应h(t)。

解：当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。*56例：已知某线性非时变(LTI)系统如图所示。图中h132*133h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)

从图可见，子系统h1(t)与h2(t)是级联关系，而h3(t)支路与h1(t)及h2(t)组成的支路是并联关系，因此*57h(t)=h1(t)133*134例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。

解：上下限错误！缺少