数学高斯定理课件

同学们好！高斯（CarlFriedrichGauss)1777-1855德国数学家和物理学家。长期从事于数学研究并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域.著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见。在CGS电磁系单位制中磁感应强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。1同学们好！高斯德国数学家和物理学家。1高斯在各领域的主要成就有：（1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量非力学量以及地磁分布的理论研究。（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。2高斯在各领域的主要成就有：（2）利用几何学知识研究光学系其上每点切向:该点方向电场线通过垂直的单位面积的条数等于场强的大小即其疏密与场强的大小成正比.§9.3高斯定理一.电场线

：空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数定性描述电场整体分布：电场线方法

“在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力线的概念了。借助于它可以把电场和磁场的许多性质最简单而又极富启发性的表示出来。”

－－W.Thomson3其上每点切向:该点方向电场线通过垂直的单位面积的电偶极子的电场线实例：1.轴线延长线上的场强2.中垂面上的场强+-旋转对称分布4电偶极子的电场线实例：1.轴线延长线上的场强2.中垂面得：实例：有限长均匀带电直线的电场线旋转对称分布5得：实例：有限长均匀带电直线的电场线旋转对称分布5从方法论上认识电场线的意义牛顿：空间是盛放质点的容器.

法拉第：在空间寻找力的载体，提出场的概念，并设想空间贯穿着力线，来描述场。麦克斯韦：总结出法拉第力线描述的数学形式.

建立严密的电磁场方程.引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述空间矢量场的一般方法（见《教与学参考》P132）

.6从方法论上认识电场线的意义牛顿：空间是盛放质点的容器.二.电场强度通量微元分析法：以平代曲；以恒代变。1）通过面元的电场强度通量取正、负、零的条件？通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电场强度通量.定义：面积元矢量面积元范围内视为均匀7二.电场强度通量微元分析法：以平代曲；1）通过面元的电场强2）通过曲面的电通量3）通过封闭曲面的电通量1）通过面元的电通量82）通过曲面的电通量3）通过封闭曲面的电通量1）通过面通过封闭曲面的电通量规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿出的电场线练习1：空间有点电荷q，求下列情况下穿过曲面的电通量1)曲面为以电荷为中心的球面2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面3)曲面为不包围电荷的任意封闭曲面9通过封闭曲面的电通量规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿出1）曲面为以电荷为中心的球面单个点电荷场中，由+q发出的电场线延伸到，由而来的电场线到-q终止。在无电荷处，电场线不中断、不增加。结果与r

无关101）曲面为以电荷为中心的球面单个点电荷场中，由+q发出的2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面112）曲面为包围电荷的任意封闭曲面113）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论：思考：1）是否存在q恰好在S上的情况？2）上述结论与库仑定律有何关系？123）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论：思考：1）是否存在练习2：空间有点电荷系，求穿过空间任意封闭曲面S的电场强度通量曲面上各点处电场强度：包括S内、S外，所有电荷的贡献。穿过S的电场强度通量：只有S内的电荷对穿过S的电场强度通量有贡献13练习2：空间有点电荷系，求穿过空间任三.高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电电场强度通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的倍：14三.高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电电场强关于高斯定理的讨论：1.式中各项的含义高斯面，封闭曲面

真空电容率内的净电荷通过S的电场强度通量，只有S内电荷有贡献上各点的总场，内外所有电荷均有贡献.15关于高斯定理的讨论：1.式中各项的含义高斯面，封闭曲面2.揭示了静电场中“场”和“源”的关系电场线有头有尾

发出条电场线，是电场线的“头”吸收条电场线，是电场线的“尾”“头”、“尾”“源”静电场的重要性质——静电场是有源场关于高斯定理的讨论：162.揭示了静电场中“场”和“源”的关系电场线有头有尾3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场成立条件：静电场求解条件：电场分布具有某些对称性：才能找到恰当的高斯面，使中的能够以标量形式提到积分号外，从而简便地求出分布。

常见类型：场源电荷分布球对称性轴对称性面对称性关于高斯定理的讨论：173.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。4.利用高斯定[例一]

求均匀带电球体（q、R）的电场分布

大小相等方向沿径向以O为中心的球面S上各点对称性分析:以O为中心，r为半径的球面S上各点彼此等价

18[例一]求均匀带电球体（q、R）的电场分布以半径r的同心球面为高斯面由高斯定理：确定高斯面:通过S的电通量：r19以半径r的同心球面为高斯面由高斯定理：确定高斯面r20r20即：球体外区域~电量集中于球心的点电荷球体内区域21即：球体外区域~电量集中于球心的点电荷球体内区域21讨论：1.求均匀带电球面（）的电场分布，并画出曲线.高斯面：半径r的同心球面021rµ22讨论：1.求均匀带电球面（）的电场分布，并画出高计算带电球层（）的电场分布2.如何理解带电球面处值突变？23计算带电球层（）2.如何理解带厚度较大厚度较小厚度为零球面带电面上场强突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目.24厚度较大厚度较小厚度为零球面带电面上场强突变是采用面[例二]无限长均匀带电直线（）的电场

对称性分析：与地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面.高斯面：取长L的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面S

点处合场强垂直于带电直线,25[例二]无限长均匀带电直线（）的电场由高斯定理26由高斯定理26讨论：对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合；选高斯面；同轴圆柱面由高斯定理计算1.无限长均匀带电柱面()的电场分布27讨论：对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合；选高斯面；同2.求无限长、均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，能否用高斯定理求电场分布？如果不能，是否意味着高斯定理失效？讨论：不能，不是。高斯面lr高斯面lr282.求无限长、均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？3[例三]无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度）如何构成封闭的高斯面？对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合方向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此等价29[例三]无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度）如何构成3.

无限大均匀带电平面的电场(电荷面密度)通常该点的场强E(P)应该有三个分量。相对于yx镜面，P点镜像变换到P点，满足对称原理。相对于yz、xz镜面，P点镜像变换到P点,要求,与yx面要求矛盾。303.无限大均匀带电平面的电场(电荷面密度)通常该点的高斯面：两底面与带电平面平行、离带电平面距离相等，轴线与带电平面垂直的柱面。由高斯定理：31高斯面：两底面与带电平面平行、离带电平面距离相等，轴线与带电其指向由的符号决定讨论1.本题是否还有其它构成高斯面的方法？底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的柱面均可（不一定为圆柱面）。可以为任意形状32其指向由的符号决定讨论1.本题是否还有其它构成高斯面2.带电平面上电场强度突变的原因？采用面模型，未计带电平面的厚度。自学教材221页例6：计算厚h的均匀带电无限大平行气体层的电场分布。332.带电平面上电场强度突变的原因？采用面模型，未计带电平面的总结：由高斯定理求电场分布的步骤1.由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性.2.在对称性分析的基础上选取高斯面.目的是使

能够以乘积形式给出.（球对称、轴对称、面对称三种类型，后两种情况通常具有无限长，无限大的特征）3.由高斯定理求出电场的大小，并说明其方向.

34总结：由高斯定理求电场分布的步骤1.由电荷分布的对称性分析均匀带电圆环轴线上无限长均匀带电直线垂直于带电直线无限大均匀带电平面垂直于带电面典型带电体分布：点电荷电场35均匀带电圆环轴线上无限长均匀带电直线垂直于带电直线无限大均匀均匀带电球体均匀带电球面典型带电体分布：36均匀带电球体均匀带电球面典型带电体分布：36同学们好！高斯（CarlFriedrichGauss)1777-1855德国数学家和物理学家。长期从事于数学研究并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域.著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见。在CGS电磁系单位制中磁感应强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。37同学们好！高斯德国数学家和物理学家。1高斯在各领域的主要成就有：（1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量非力学量以及地磁分布的理论研究。（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。38高斯在各领域的主要成就有：（2）利用几何学知识研究光学系其上每点切向:该点方向电场线通过垂直的单位面积的条数等于场强的大小即其疏密与场强的大小成正比.§9.3高斯定理一.电场线

：空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数定性描述电场整体分布：电场线方法

“在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力线的概念了。借助于它可以把电场和磁场的许多性质最简单而又极富启发性的表示出来。”

－－W.Thomson39其上每点切向:该点方向电场线通过垂直的单位面积的电偶极子的电场线实例：1.轴线延长线上的场强2.中垂面上的场强+-旋转对称分布40电偶极子的电场线实例：1.轴线延长线上的场强2.中垂面得：实例：有限长均匀带电直线的电场线旋转对称分布41得：实例：有限长均匀带电直线的电场线旋转对称分布5从方法论上认识电场线的意义牛顿：空间是盛放质点的容器.

法拉第：在空间寻找力的载体，提出场的概念，并设想空间贯穿着力线，来描述场。麦克斯韦：总结出法拉第力线描述的数学形式.

建立严密的电磁场方程.引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述空间矢量场的一般方法（见《教与学参考》P132）

.42从方法论上认识电场线的意义牛顿：空间是盛放质点的容器.二.电场强度通量微元分析法：以平代曲；以恒代变。1）通过面元的电场强度通量取正、负、零的条件？通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电场强度通量.定义：面积元矢量面积元范围内视为均匀43二.电场强度通量微元分析法：以平代曲；1）通过面元的电场强2）通过曲面的电通量3）通过封闭曲面的电通量1）通过面元的电通量442）通过曲面的电通量3）通过封闭曲面的电通量1）通过面通过封闭曲面的电通量规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿出的电场线练习1：空间有点电荷q，求下列情况下穿过曲面的电通量1)曲面为以电荷为中心的球面2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面3)曲面为不包围电荷的任意封闭曲面45通过封闭曲面的电通量规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿出1）曲面为以电荷为中心的球面单个点电荷场中，由+q发出的电场线延伸到，由而来的电场线到-q终止。在无电荷处，电场线不中断、不增加。结果与r

无关461）曲面为以电荷为中心的球面单个点电荷场中，由+q发出的2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面472）曲面为包围电荷的任意封闭曲面113）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论：思考：1）是否存在q恰好在S上的情况？2）上述结论与库仑定律有何关系？483）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论：思考：1）是否存在练习2：空间有点电荷系，求穿过空间任意封闭曲面S的电场强度通量曲面上各点处电场强度：包括S内、S外，所有电荷的贡献。穿过S的电场强度通量：只有S内的电荷对穿过S的电场强度通量有贡献49练习2：空间有点电荷系，求穿过空间任三.高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电电场强度通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的倍：50三.高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电电场强关于高斯定理的讨论：1.式中各项的含义高斯面，封闭曲面

真空电容率内的净电荷通过S的电场强度通量，只有S内电荷有贡献上各点的总场，内外所有电荷均有贡献.51关于高斯定理的讨论：1.式中各项的含义高斯面，封闭曲面2.揭示了静电场中“场”和“源”的关系电场线有头有尾

发出条电场线，是电场线的“头”吸收条电场线，是电场线的“尾”“头”、“尾”“源”静电场的重要性质——静电场是有源场关于高斯定理的讨论：522.揭示了静电场中“场”和“源”的关系电场线有头有尾3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场成立条件：静电场求解条件：电场分布具有某些对称性：才能找到恰当的高斯面，使中的能够以标量形式提到积分号外，从而简便地求出分布。

常见类型：场源电荷分布球对称性轴对称性面对称性关于高斯定理的讨论：533.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。4.利用高斯定[例一]

求均匀带电球体（q、R）的电场分布

大小相等方向沿径向以O为中心的球面S上各点对称性分析:以O为中心，r为半径的球面S上各点彼此等价

54[例一]求均匀带电球体（q、R）的电场分布以半径r的同心球面为高斯面由高斯定理：确定高斯面:通过S的电通量：r55以半径r的同心球面为高斯面由高斯定理：确定高斯面r56r20即：球体外区域~电量集中于球心的点电荷球体内区域57即：球体外区域~电量集中于球心的点电荷球体内区域21讨论：1.求均匀带电球面（）的电场分布，并画出曲线.高斯面：半径r的同心球面021rµ58讨论：1.求均匀带电球面（）的电场分布，并画出高计算带电球层（）的电场分布2.如何理解带电球面处值突变？59计算带电球层（）2.如何理解带厚度较大厚度较小厚度为零球面带电面上场强突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目.60厚度较大厚度较小厚度为零球面带电面上场强突变是采用面[例二]无限长均匀带电直线（）的电场

对称性分析：与地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面.高斯面：取长L的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面S

点处合场强垂直于带电直线,61[例二]无限长均匀带电直线（）的电场由高斯定理62由高斯定理26讨论：对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合；选高斯面；同轴圆柱面由高斯定理计算1.无限长均匀带电柱面()的电场分布63讨论：对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合；选高斯面；同2.求无限长、均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，能否用高斯定理求电场分布？如果不能，是否意味着高斯定理失效？讨论：不能，不是。高斯面lr高斯面lr642.求无限长、均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？3[例三]无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度）如何构成封闭的高斯面？对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合方向垂直于带电平面，离带电平