人教版数学九年级上册2421反证法课件

反证法反证法1（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？?思考l1l2ABCP如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？?思考l1l2AB2先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．什么叫反证法？反证法的思维方法：正难则反先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、3证明：在中，若是直角，则一定是锐角。

试一试试一试4证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.当∠B是_____时，则_____________这与____________________________矛盾；当∠B是_____时，则______________这与____________________________矛盾；综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.直角钝角直角∠B+∠C=180°三角形的三个内角和等于180°钝角∠B+∠C＞180°三角形的三个内角和等于180°证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.当∠5反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：(1)命题的结论是否定型的；(2)命题的结论是无限型的；(3)命题的结论是“至多”或“至少”型的.反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：612理解反证法的思维过程及其特点；【明标导学】知道何时用反证法，掌握运用反证法证明数学问题的一般步骤，能运用反证法证明简单的数学问题

12理解反证法的思维过程及其特点；【明标导学】知道何时用反证7【重点】理解反证法的思维过程和特点。【难点】运用反证法证题时，一定要用到假设。【重点】理解反证法的思维过程和特点。8路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李9假设李子是甜的那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾。造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的。假设李子是甜的那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。10走进生活

妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。请你思考，是谁打破了碗呢？

走进生活妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷11

推理方法假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是妹妹打破，妈妈会大发雷霆与已知条件

“然后一片寂静”产生矛盾假设

“不是妈妈打破”不成立所以“是妈妈打破了碗”.“妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。”求证：是妈妈打破了碗.刚才的推理方法和以前所学的方法一样吗？推理方法假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在12

反证法的概念

先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.

注：反证法是最常见的间接证法，

注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。反证法的概念注：反证法是最常见的间接证法，注：直接证明难以131.请说出下列各结论的反面：（1）a≠0（2）b是正数（3）a⊥b

(4)至少有一个a=0b是0或负数a不垂直于b一个也没有

快乐尝试相信自己1.请说出下列各结论的反面：a=0b是0或负数a不垂直于b一14快乐尝试2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？___________________________________假设三角形中有两个或三个角是直角快乐尝试2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，15快乐尝试3.（中考变式题）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）

A、有一个内角小于60°

B、每一个内角都小于60°

C、有一个内角大于60°

D、每一个内角都大于60°B快乐尝试3.（中考变式题）用反证法证明“三角形中至少16

在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C.如何说明呢？方法迁移CBA假设李子是甜的假设∠B=∠C那么AB=AC，这与已知条件AB≠AC相矛盾假设不正确，则∠B≠∠C假设不正确，则李子是苦的。那么李子会被过路人摘去解渴,则李子会很少，这与事实相矛盾。方法迁移问题：探究：解：假设∠B=∠C∴AB=AC，这与已知条件AB≠AC相矛盾，假设不正确∴∠B≠∠C在△ABC中，若AB≠AC，方法17典例分析

那么c与a平行，

这与已知“c与a相交”矛盾.

因此假设不成立证明：假设c与b不相交，∴c与b也相交已知：直线a，b，c，

a∥b，c与a相交.

求证：c与b也相交.

当一个命题不易直接证明时，可以考虑反证法

由于直线a∥b，则c与b平行，abc否定结论推出矛盾肯定结论你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?典例分析那么c与a平行，18你能对小华的判断说出理由吗？二、反证法的步骤

(1)否定命题的结论；

(2)根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设；

(3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论――推出矛盾――肯定结论，其中推出矛盾是关键。

你能对小华的判断说出理由吗？二、反证法的步骤19A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//babc直接证明有困难A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。小结：根据假2021

已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等)常用反证法。21已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，则

。∴

，即

。这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：至少的反面是没有！试一试∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°注:“至少”、“至多”型命题常用反证法求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于622人教版数学九年级上册2421反证法课件23用反证法应注意的事项

:

（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；

（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪

（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。用反证法应注意的事项:24达标测试1.下列命题宜用反证法证明的是（）

A.等腰三角形两腰上的高相等,

B.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形,

C.两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行,

D.全等三角形的面积相等2.证明“在△ABC中至多有一个角是直角和钝角”时的第一步应假设（）

A.三角形至少有一个角是直角或钝角

B.三角形中至少有两个直角或钝角

C.三角形中没有直角或钝角

D.三角形中三个角都是直角或钝角3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角，求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是钝角。CB达标测试1.下列命题宜用反证法证明的是25（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”（2）唯一性命题（3）至多，至少型命题一：何时使用反证法（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法26二：怎么用（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；

（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。二：怎么用27人教版数学九年级上册2421反证法课件28反证法反证法29（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？?思考l1l2ABCP如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？?思考l1l2AB30先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．什么叫反证法？反证法的思维方法：正难则反先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、31证明：在中，若是直角，则一定是锐角。

试一试试一试32证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.当∠B是_____时，则_____________这与____________________________矛盾；当∠B是_____时，则______________这与____________________________矛盾；综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.直角钝角直角∠B+∠C=180°三角形的三个内角和等于180°钝角∠B+∠C＞180°三角形的三个内角和等于180°证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.当∠33反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：(1)命题的结论是否定型的；(2)命题的结论是无限型的；(3)命题的结论是“至多”或“至少”型的.反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：3412理解反证法的思维过程及其特点；【明标导学】知道何时用反证法，掌握运用反证法证明数学问题的一般步骤，能运用反证法证明简单的数学问题

12理解反证法的思维过程及其特点；【明标导学】知道何时用反证35【重点】理解反证法的思维过程和特点。【难点】运用反证法证题时，一定要用到假设。【重点】理解反证法的思维过程和特点。36路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李37假设李子是甜的那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾。造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的。假设李子是甜的那么李子会被过路人摘去解渴，树上的李子会很少。38走进生活

妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。请你思考，是谁打破了碗呢？

走进生活妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷39

推理方法假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是妹妹打破，妈妈会大发雷霆与已知条件

“然后一片寂静”产生矛盾假设

“不是妈妈打破”不成立所以“是妈妈打破了碗”.“妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。”求证：是妈妈打破了碗.刚才的推理方法和以前所学的方法一样吗？推理方法假设“不是妈妈打破的”因妈妈和妹妹在40

反证法的概念

先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.

注：反证法是最常见的间接证法，

注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。反证法的概念注：反证法是最常见的间接证法，注：直接证明难以411.请说出下列各结论的反面：（1）a≠0（2）b是正数（3）a⊥b

(4)至少有一个a=0b是0或负数a不垂直于b一个也没有

快乐尝试相信自己1.请说出下列各结论的反面：a=0b是0或负数a不垂直于b一42快乐尝试2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？___________________________________假设三角形中有两个或三个角是直角快乐尝试2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，43快乐尝试3.（中考变式题）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）

A、有一个内角小于60°

B、每一个内角都小于60°

C、有一个内角大于60°

D、每一个内角都大于60°B快乐尝试3.（中考变式题）用反证法证明“三角形中至少44

在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C.如何说明呢？方法迁移CBA假设李子是甜的假设∠B=∠C那么AB=AC，这与已知条件AB≠AC相矛盾假设不正确，则∠B≠∠C假设不正确，则李子是苦的。那么李子会被过路人摘去解渴,则李子会很少，这与事实相矛盾。方法迁移问题：探究：解：假设∠B=∠C∴AB=AC，这与已知条件AB≠AC相矛盾，假设不正确∴∠B≠∠C在△ABC中，若AB≠AC，方法45典例分析

那么c与a平行，

这与已知“c与a相交”矛盾.

因此假设不成立证明：假设c与b不相交，∴c与b也相交已知：直线a，b，c，

a∥b，c与a相交.

求证：c与b也相交.

当一个命题不易直接证明时，可以考虑反证法

由于直线a∥b，则c与b平行，abc否定结论推出矛盾肯定结论你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?典例分析那么c与a平行，46你能对小华的判断说出理由吗？二、反证法的步骤

(1)否定命题的结论；

(2)根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设；

(3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论――推出矛盾――肯定结论，其中推出矛盾是关键。

你能对小华的判断说出理由吗？二、反证法的步骤47A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//babc直接证明有困难A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。小结：根据假4849

已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等)常用反证法。21已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，则

。∴

，即

。这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的