正方形性质与判定第2课时

正方形的判定方法：(1)对角线

相等

的菱形是正方形；(2)对角线

垂直

的矩形是正方形；(3)有一个角是

直角

的菱形是正方形；(4)有一组邻边

相等

的矩形是正方形．【变式训练】1.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：四边形CEDF是正方形．证明：过D作DN⊥AB于点N，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形DFCE是矩形，∵∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，∴DF＝DN，DE＝DN，∴DF＝DE，∴四边形CEDF是正方形【例2】如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为点A，AF＝AE.求证：BF＝DE；当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAE.在△ABF和△ADE中，AB＝AD，∠BAF＝∠DAE，AF＝AE，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴BF＝DE

(2)当点E运动到AC的中点，四边形AFBE是正方形．理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC，2∴BE⊥AC，BE＝DE＝BF＝AE＝

1

AC.∵AF＝AE，∴BE＝AF＝AE＝BF，∴四边形AFBE是正方形2.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，且DE是△ABC的中位线，延长ED到F，使DF＝ED，连接FC，FB，回答下列问题：求证：四边形BECF是菱形；当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？解：(1)∵DE为△ABC的中位线，∴BD＝CD，且DF＝ED，∴四边形BECF为平行四边形，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝BE，∴四边形BECF为菱形(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形，理由：由(1)可知CE＝AE，∴当∠A＝45°时可得∠ECA＝45°，∴CE⊥AB，∵四边形BECF为菱形，∴四边形BECF为正方形，即当∠A为45°时，菱形BECF是正方形一、选择题1.

下列说法不正确的是(C)A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形2.

在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCC)3.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(D)A．BC＝AC

B．CF⊥BFC．BD＝DF

D．AC＝BF4.

如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(A．30

B．34

C．36

D．40B)二、填空题5.

(

月考)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是

AC＝BD或AB⊥BC

．6.

如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是

3

2

．三、解答题7.

(普宁模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶

点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2，求证：四边形EFGH是正方形．证明：∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HG＝EH，HE.在Rt△DHG和Rt△AEH中，DG＝AH，∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形8.

(兰州中考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是

．①③④9.

(青岛中考)如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝12DC，OE＝

1

BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，BE＝DF，∠B＝∠D，2BC＝DC，∴△BC