高中数学函数压轴题精制

高考数学函数压轴题：已知函数f(x)=gx3+ax+b(a,beR)在x=2处取得的极小值是-扌.求f(x)的单调递增区间；⑵若xe［一4,3］时，有f(x)<m2+m+10恒成立，求实数m的取值范围.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)=f(x+1)-f(x).求：(提示：利润二产值-成本)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大?边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？已知函数申(x)=5x2+5x+1(xeR),函数y=f(x)的图象与申(x)的图象关于点(0丄)中心对2称。求函数y=f(x)的解析式；如果g(x)=f(x),g(x)=f［g(x)］(neN,n>2)，试求出使g(x)<0成1nn一12立的x取值范围；是否存在区间E，使EcL|f(x)<o}=①对于区间内的任意实数x，只要neN,且n>2时，都有g(x)<0恒成立？n4•已知函数：f(x)=丄上1■_a(aeR且x丰a)a-x证明：f(x)+2+f(2a—x)=0对定义域内的所有x都成立.当f(x)的定义域为［a+1,a+1］时，求证：f(x)的值域为［一3，—2］；2设函数g(x)=x2+|(x—a)f(x)|,求g(x)的最小值.设f(x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x*e(0,1)，使得f(x)在［0,x*］上单调递增，在［x*,1］上单调递减，则称f(x)为［0,1］上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的［0,1］上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.证明：对任意的x,xe(0,1),x<x，若f(x)>f(x)，则(0,x)为含峰区间；若f(x)<f(x),121212212则(x,1)为含峰区间；对给定的r(0<r<0.5)，证明：存在x,xe(0,1)，满足x-x>2r,使得由(1)所确定的1221含峰区间的长度不大于0.5+r；设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根分别为a、p(a<P)，函数f(x)=_ax2+1证明f(x)在区间(a,卩)上是增函数；当a为何值时，f(x)在区间la，卩］上的最大值与最小值之差最小甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数fG)=x+8，g(x)=你+12，及任意的x>0，当甲公司投入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于f(x)万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g6)万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：请解释f(0),g(0)；甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入a=12万元，乙在上述策略下，投入最1少费用b；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传12费为b,A,如此得当甲调整宣传费为a时，乙调整宣传费为b;试问是否存在lima，limb2nnn*n的值，若存在写出此极限值(不必证明)，若不存在，说明理由.设f(x)是定义域在［-1,1］上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.求证f(x)在［-1,1］上是减函数；如果f(x-c)，f(x-c2)的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；(lll)证明若-1<c<2，则f(x-c)，f(x-c2)存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中aUN*,bUN,cUZ。若b>2a，且f(sinx)(xUR)的最大值为2,最小值为一4,试求函数f(x)的最小值；若对任意实数x,不等式4xWf(x)W2(X2+I)恒成立，且存在x°,使得f(x°)<2(X2+I)成立，求c的值。°°0已知函数f(x)=X4-4x3+ax2-1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减；求a的值；求证：x=1是该函数的一条对称轴；是否存在实数b,使函数g(x)二bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.定义在区间(0,s)上的函f(x)满足：(1)f(x)不恒为零；(2)对任何实数x、q,都有f(xq)二qf(x).求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证:f(a)•f(c)兀f2(b);(本小题只理科做)若f(x)单调递增，且m>n>0时，有|f(m)|二|f(n)|二2f(也),求证：3<m<2+迈已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在y轴上的截距是2,且在(-s,-1),(2,+s)上单调递增，在(一1,2)上单调递减.(I)求函数f(x)的解析式；若函数h(x)=-(m+1)ln(x+m)，求h(x)的单调区间.3(x-2)已知函数f(x)=邑+迢日(a丰0且a丰1)•ax试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；已知当x〉0时，函数在(0,詣)上单调递减，在&6,+s)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；⑶(理)记⑵中的函数的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出1的方程；若不存在，请说明理由.(文)记(2)中的函数的图像为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由.已知函数f(x)=logx和g(x)=2log(2x+1-2),(a>0,a丰1,tgR)的图象在x二2处的切线aa互相平行.(I)求t的值；设F(x)=g(x)-f(x)，当xg[1,4]时，F(x)>2恒成立，求a的取值范围.设函数f(x)定乂在R+上，对任意的m,ngR+，恒有f(m-n)=f(m)+f(n)，且当x>1时，f(x)<0。试解决以下问题：求f(1)的值，并判断f(x)的单调性；设集合A={(x,y)If(x+y)+f(x一y)>o},B={(x,y)If(ax一y+2)=0,agr}，若AIB，求实数a的取值范围；若0<a<b，满足If(a)I=If(b)I=2If()I，求证：3<b<2+迈(理科)二次函数f(x)=x2+ax+b(a、bgR)若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(-a)=l(a2-1)；4若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f(k)|<1.(文科)已知函数f(x)二ax2+bx+c，其中agN*,bgN,cg乙若b>2a，且f(sinx)(xUR)的最大值为2，最小值为一4，试求函数f(x)的最小值；若对任意实数X，不等式4x<f(x)<2(x2+1)恒成立，且存在x°使得f(x°)<2(x2o+1)成立，求c的值。+f(©=f(——-)定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意X、yE(-1,1)都有求证：函数f(x)是奇函数；如果当MH®时，有f(x)>0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；(Ill)设-l〈a〈l，解不等式：屮⑥已知二次函数f(x)二ax2+bx+1(a>0,bgR),设方程f(x)=x有两个实数根x「x?.如果x<2<x<4，设函数f(x)的对称轴为x=x，求证x>—1;1200如果0<x<2，且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围.1函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：①对任意xgR，有f(x)>0;②对任意x、ygR，有f(xy)二［f(x)］y:③f(1)>1.贝U求f(0)的值；(4分)求证：f(x)在R上是单调增函数；(5分)若a>b>c>0,且b2=ac，求证:f(a)+f(c)>2f(b).(理)已知f(x)=In(1+x2)+ax(a<0)讨论f(x)的单调性；证明:(1+丄)(1+丄)A(1+丄)<e(n€N*),n>2其中无理数e=2.71828A)•2434n4(文)设函数f(x)=1ax3+bx2+cx(a<b<c)，其图象在点A(1,f⑴),B(m,f(m))处的切线的斜率分别为o,-a.求证：0<b<1；a若函数f(x)的递增区间为［s,t］，求［s-1］的取值范围.设函数f(x)=-*x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；当xU［a+1,a+2］时，不等|f'(x)l<a，求a的取值范围.已知函数f(x)=x+16_7x，函数g(x)=6lnx+m.x-1当x>1时，求函数f(x)的最小值；设函数h(x)=(1—x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l:y=-t2+8t(其中0<t<2.t为常数)；/:x=2.若直12线l、l与函数f(x)的图象以及l,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影121所示.

(I)求a、b、c的值;求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；若g(x)=6lnx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.已知f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s,f(s)),B(t,f(t))若a=b=1，求函数f(x)的单调递增区间；若函数f(x)的导函数f'(x)满足：当丘冃时，有1f'(x)$2恒成立，求函数f(x)的解析表达式；若O〈a〈b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且a+b二2运，证明：OA与OB不可能垂直.已知函数f(x)=口2Gmer)x⑴设g(x)=f(x)+Inx，当m2-时,求g(x)在［丄,2］上的最大值;42(2)若y=log［8-f何在［1,+切上是单调减函数，求实数m的取值范围.3(本小题满分12分)已知常数a>0,n为正整数，fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的函数.判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论•对任意n>a，证明f'n+1(n+1)<(n+1)fn'(n)答案：1.解：(1)f(1.解：(1)f(x)=x2+a，由题意f(2)=4+a=084=f(2)=-+2a+b=--〔33a=-4b=4令fXx)二x2-4>0得f(x)的单调递增区间为(-8,-2)和(2,x).⑵f(x)=*x3-4x+4，当x变化时，广(x)与f(x)的变化情况如下表：-4(-4，-2(-2,2(2,33-2)2))

单调单调调递增递减递增I8•于是f(x)<1028m2+m单调单调调递增递减递增I8•于是f(x)<1028m2+m+>，求得mg(s,-3]u[2,+x)•所以xg[-4,3]时，f(x)maxm2+m+10在3xG[-4,3]上恒成立等价于2.解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x5000(xgN且xg[1,20]);2分(xgN且xg[1,20]).4MP(x)=P(x+1)-P(xgN且xg[1,20]).4P'(x)=-30x2+90x+3240二-30(x+9)(x-12)(xgN且xg[1,20])7分当1<x<12时，P'(x)>0,P(x)单调递增，当12<x<20时，P'(x)<0,P(x)单调递减.TOC\o"1-5"\h\zx=12时，P(x)取最大值，10分即,年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.11分由MP(x)=-30(x-1)2+3305(xgN且xg[1,20]).・••当1<x<20时，MP(x)单调递减.12分MP(x)是减函数说明：随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.13.解：(1)f(x)=5x一5x2(6分)由g(x)=5g(x)一5g2(x)<0解得g(x)<0或g(x)>121111即5x一5x2<0或5x一5x2>1解得x<0或x>1或害<x<寄12分)(1)(1)由{|f(x)<xx<0或x>1},又(—，土5)c1010当xe(晋，普)时’g2(x)<0，g3(x)=迟(x)一迟2(x)<°’・对于n=2,3时，E.（寄，害），命题成立。14分）以下用数学归纳法证明E匸（―5，土2）对neN，且n>2时，都有g（x）<0成立1010n假设n=k(k>2,keN)时命题成立，即g(x)<0,k那么g(x)=f[g(x)]=5g(x)-5g2(x)<0即n=k+1时，命题也成立。k+1kkk•••存在满足条件的区间E.（寄，害”4.解：(I)证明：f(x)+2+f(2a-x)=x+1一a+2+2a-x+1一aa-xa-2a+x・••结论成立4分f(x)=-(a-x)+1=-1+丄a-xa-x+1时-a-1<-x<-a--1<a-x<-丄,-2<—-—<-122a-x-3<-1+^—<-2即f(x)值域为[-3,-2]9分a-x(III)解:g(x)=x2+|x+1一aI(x丰a)(II)证明:13当x>a-1且x丰a时,g(x)=x2+x+1-a=(x+)2+-a24如果a-1>-—即a>—时，则函数在[a-1,。)和(a,+s)上单调递增22如果a-1<-—即当a<—且a丰一—时,g(x).=g(-1)=—-a222min24当a=-1时，g(x)最小值不存在2当x<a-1时g(x)=x2-x-1+a=(x一丄)2+a-—24女口果a-1>丄即a>—时g(x)=g(丄)=a-—22min24女口果a-1<—即a<—时g(x)在(-g,a-1)上为减函数g(x)=g(a-1)=(a-1)2…13分22min11分55353353131当a>—时(a—1)2—(a——)=(a——)2>0当a<—时(a—1)2—(a)=(a——)2>0242242综合得：当a<1且a丰1时g(x)最小值是3—a一一4当a>3时g(x)最小值为a—524411含峰区间的长度为l=x；12含峰区间的长度为/二1-x；21由题意得$2-0.5+r11—x—0.5+r122当1-a-3时g(x)最小值是(a—1)22当a=—1时g(x)最小值不存在25.解：(1)证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在［0,x*］上单调递增，在［x*,1］上单调递减,当f(x)>f(x)时，假设x*纟(0,x)，则x<x<x*,从而f(x*)>f(x)>f(x),这与f(x)>f(x)矛盾，所以x*e(0,x)，即(0,x)为含峰区间.f(xi)-f(x2)矛盾,当f(x)-f(x)时，假设x*纟(x,1)，则x*-xf(xi)-f(x2)矛盾,1211212所以x*e(x,1)，即(x,1)为含峰区间.(7分)证明1：由(11)的结论可知：当f(x)>f(x)时，12当f(x)-f(x)时，12对于上述两种情况由①得1+x—x—1+2r,即x—x—2r，2121又因为x—x>2r，所以x—x=2r2121将②代入①得x—0.5—r，x>0.5+r，12由①和③解得x=0.5—r，x=0.5+r，所以这时含峰区间的长度l=l=0.5+r，12即存在x,x使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r12(X2+1)26.解：(1)证明：f'(x)二—2(2x2—(X2+1)2由方程2x2-ax-2=0的两根分别为a、0(a<0)知xe(a,0)时，2x2-ax一2<0，所以此时f'(x)>0,所以f(x)在区间(a,卩)上是增函数最大值为f(0)，⑵解：由(1)知在(a,卩)上，f(x)最大值为f(0)，0a+p=2，邮，可求得存+4‘4/za24+4-(可+4+4)/.f(0)—f(a)=*—=ya2+16，-a2宀-++2+14所以当a二0时，f(x)在区间la，卩］上的最大值与最小值之差最小，最小值为47.解：(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入f(0)=8万元;……(2分)g(0)表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败风险,至少要投入g(0)=12万元.……………(4分)显见lima=17,limb=25.nnnsns故点M(17,25)是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点.(16分)8.解：(1)・・・奇函数f(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负・••对于任意x、xe证自己不失败的一个平衡点.(16分)8.解：(1)・・・奇函数f(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负・••对于任意x、xe[-1,1]且x丰x有1212f(x)-f(x)“+2<0x-x123分从而x-x与f(x)-f(x)异号

1212f(x)在［-1,1］上是减函数5分(2)f(X-c)的定乂域为[c-1,C+1]f(X-c2)的定乂域为[c2-1,c2+1]7分・上述两个定乂域的交集为空集则有：c2一1>c+1或c2+1<c一19分解得：c>2或c<-1故c的取值范围为c>2或c<-110分Tc2+1>c-1恒成立由(2)知：当-1<c<2时当1<c<2或-1<c<0时c2+1>c+1且c2-1>c-1此时的交集为［(C2-1,c+1］12分当0<c<1c2+1<c+1且c2-1<c-1此时的交集为［c-1,c2+1］故-1<c<2时，存在公共定义域，且当-1<c<0或1<c<2时，公共定义域为［(c2-1,c+1］；当0<c<1时，公共定义域为［c-1,c2+1］.解：(1)由函数f(x)的图像开口向上，对称轴x=—b/2a〈一1知，f(x)在［—1,1］上为增函数，故f(l)=a+b+c=2，f(—l)=a—b+c=—4，・°・b=3，a+c=—1。又b>2a，故a=l，c=—2oAf(x)=x2+3x—2，最小值为一17/4。(2)令x=1，代入不等式4xWf(x)W2(X2+I)得f(1)=4，即a+b+c=4，从而b=4—a—co又4xWf(x)恒成立，得ax2+(b—4)x+c#0恒成立，故△=(b—4)2—4acW0，・°・a=c。又b$0，a+cW4，・°・c=1或c=2。当c=2时，f(x)=2x2+2，此时不存在满足题意的x。当c=1时满足条件，故c=1。0解：(1)•・•f(x)在b,1］上单调递增，在11，］上单调递减,.••当x=1时，f(x)取得极大值，・•・f/(x)=0,即(4x3-12x2+2ax)I=0，•:a二4，x=1(2)设点A(x,f(x))是f(x)上的任一点，它关于x=1的对称点的坐标为B(2-x,f(x)),0000

*•*f(2-x)二f(x)x二1是y二f(x)的图象的一条对称轴。00由g(x)=bx2-1与f(x)=x4-4x3+4x2-1的图象恰有2个不同的父点对应于方程bx2-1=x4-4x3+4x2-1恰有2个不同的实根，即x4-4x3+4x2-bx2=0・•・x=0是一个根，当x=0时b=4,当x丰0时方程有等根得b=0・°・b=4或b=0为所求.解：⑴取x=l,q=2,有f(12)二f(2)即f(1)二0/.1是f(x)二0的一个根，若存在另一个实根x丰1,使得0f(x)丰0对任意的x(xe(0,+8)成立，且％=xq(q丰0),有f(x)=qf(x)=0,11110100f(x)=0恒成立,・f(x)三0,与条件矛盾，/.f(x)=0有且只有一个实根x=101(2)0a>b>c>1,不妨设a=b%,c=bq2，，则q>0，q>0・f(a)•f(c)=f(bqj•f(bq2)=qq•f2(b)，又a+c=2b,21212・ac-b(a-c)24即ac<b2.bqj+q2<・ac-b(a-c)24即ac<b2.bqj+q2<b2,・.0<q+q<2,・.qq<121221<1・f(a)f(c)<f2(b)(3)0f(1)=0,f(x)在(0,+s)单调递增，当xe(0,1)时/(x)<0;当xe(1,+s)时，f(x)>0.又If(m)|=If(n)|,・f(m)=f(n),f(m)=-f(n),0m>n>0,・f(m)=-f(n).令m=bq],n=bq2,b丰1,且qq丰012则f(m)+f(n)=(q+q)f(b)二f(mn)=0mn=1.0<n<1<m,0|f(m)|=2/m+n、2J12J,且艮卩4m=m2+2mn+n2,.4m-m2-2=n2,由0<n<1得0<4m一m2一2<1,0m>1，12.解：(I)Tf(x)=x3+ax2+bx+c在y轴上的截距是2，Af(0)=2,Ac=2.又0f(x)在(-g,-1),(2,+s)上单调递增，(一1，2)上单调递减，・广(x)=3x2+2ax+b=0有两个根为一1，2，1分2a-1+2=-——3

.s-1x2=b3a=--32・f(x)=x3-x2-6x+2，b=-625分(II)Qf'(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2),h(x)=x+1-(m+1)ln(x+m)(x>-m且x丰2),m+1x-1h(x)=1-=,x+mx+m当mW—2时，一m#2，定义域：(-m,+x),hf(x)>0恒成立，h(x)在(-m,+s)上单增;6分……7分8分当—2<m<-1时，2>-m>1，定乂域：(一6分……7分8分h'(x)>0恒成立，h(x)在(-m,2),(2,+s)上单增9分当m>—1时，一m<1，定义域：(-m,2)Y(2,+s)由h'(x)>0得x>1，由h'(x)<0得x<1.故在(1,2)，(2，+8)上单增；在(-m,1)上单减.综上所述，当mW—2时，h(x)在(一m,+x)上单增；当—2<m<-1时，h(x)在(一m,2),(2,+s)上单增；当m>—1时，在(1，2)，(2，+8)上单增；在(一m,11分1)单减.・T2分13•解：(1)①当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(-J五刁11分1)单减.・T2分②当0<a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(-©0)及(0,+Q，③当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(s,-Ja(a-1))^及(Ja(a-1),+8)•6分)(2)由题设及(1)中③知=、沅且a>1，解得a=3，(9分)因此函数解析式为f(x)=^+疸(x丰0)•(10分)3x(理)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l:y=kx(k丰0)，设P(p,q)为曲线C上的任意一点，P‘(p；q。与P(p,q)关于直线l对称，且p丰p，q丰q，则P也在曲线C上，由此得旦=kp+p2且q亠+痘，q'=旦+痘,运p屈p'q-q'

p―p'14分)整理得q-q'

p―p'14分)16分)所以存在直线y仏及y仝x为曲线C的对称轴・16分)因为对任意xeD，f(-x)=-互+沁已-x(文)该函数的定义域因为对任意xeD，f(-x)=-互+沁已-x所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形.TOC\o"1-5"\h\z解：([)Qf(x)=1loge,g'(x)=4loge3分xa2x+1-2a•・•函数f(x)和g(x)的图象在x二2处的切线互相平行•••广⑵=g'⑵5分t二66分Qt二67分=log(2x+4)2,x小47分ax令h(x令h(x)=(2x+4)2x=4x+16+16,xex[1,4]•:当1<x<2时，h'(x)<0，当2<x<4时，h'(x)>0..h(x)二h(2)二32，.h(x)二h(1)二h(4)二36minmax.h(x)二h(2)二32，.h(x)二h(1)二h(4)二36minmax•:当0<a<1时，有F(x)=log36，当a>1时，有F(x)=log32.minamina•・•当xel1,4］时，F(x)>2恒成立，・•・F(x)>211分min・•・满足条件的a的值满足下列不等式组0<0<a<1,log36>2;a或阳2>2.②a不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1<a<4^/2综上所述，满足条件的a的取值范围是：1<a<4违.解：(1)在f(m-n)=f(m)+f(n)中令m=n二1，得f(1)=0;2分TOC\o"1-5"\h\z设x>x>0，则住>1，从而有f<012xx22所以，f(x)=f(x-住)=f(x)+f(斗)<f(x)12x2x2所以，f(x)在R+上单调递减25分(2)Qf(x+y)+f(x一y)=f(x2-y2)>0=f⑴，由(1)知，f(x)在R+上单调递减,JI

JIx+y>0TOC\o"1-5"\h\z.•.<x-y>0，7分x2-y2<1故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分;而f(ax-y+2)=0=f(1”所以，ax-y+1=0,8分故集合B中的点所表示的区域为一直线，如图所示，由图可知，要AIB，只要a<1,・•・实数a的取值范围是(-©1)10分(3)由(1)知f(x)在R+上单调递减，.••当0<x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0,Q0<a<b，而If(a)1=1f(b)I，/.a<1,b>1，故f(a)>0,f(b)<0，12由丨f(a)I=If(b)I得，f(a)+f(b)=0，所以，ab=1，12分又>4ab=1，所以f()<f(1)=0，又Qf(b)=2f(弓)=f字fU2丿丿由If(b)I=2If(^^)1得,4b=(a+b)2=a2+b2+2，.4b-b2=a2+2，2又0<a<1，所以2<a2+2<3，由2<4b-b2<3及b>1解得，3<b<2+迈解：(理)(I)A=a2-4b,若b<0,则A'0,方程有实根与题设矛盾..b>0.(3分)设两整根为x,x，x>x1212.f(-a)=b=：(a2—1)(5分)设m<x<x<m+l,m为整数。121°.-ae(m,m+丄］即一1<a+2m<022TOC\o"1-5"\h\za2a1f(m)=m2+am+b<m2+am+=(m+—)2<424f(m+1)=(m+1)2+a(m+1)+b<(m+2)2+a(m+1)+—=(m+1+a)2<—(6分)42(6分).存在.(文)f(sinx)二asin2x+bsinx+c.f(sinx)=f(-1)=-4,f(sinx)=f(1)=2,minmax又b>2a>0,a=1,c=-2./.f(x)=x2+3x一2.1717而而a+c>2嬴=2b2=2B2<[f(1)]a+c>2代f(1)]2B=2f(B)f(x)(7分)min(2)04x<f(x)(7分)min(2)04x<f(x)<2(x2+1),4<f(1)<2(1+1)二4,f(1)二4.(1分)不存在x使f(x)<2x2+2.000当a=1时,c=l,.：b=2,:f(x)=x2+2x+1.此时存在x.使f(x)<2(x2+1).故c二1.(2分)000解：(I)证：令x=y=0,则f(O)+f(O)=f(O),f(二=f(p)=□故f(0)=0令y二_x,则f(x)+f(-x)=1f(-x)=-f(x)・•・函数f(x)的奇函数4'(II)设T〈x1〈x2〈1，则・•・函数f(x)在(-1,1)上是减函数8'(III)是(T,1)上的减函数，.'.-1<a<—<1X-1-1<[<1TOC\o"1-5"\h\z由得x<0或x>29'当a=0时，,原不等式的解集为{x|x>2}10,当-1〈a〈0时。x>2中原不等式的解；若x<0,则a(xT)>1,x<1+也故原不等式的解集为12,当0〈a〈1时，x<0不是原不等式的解；…-2<x<1+丄右x>2，则a(xT)<1,x<1+

故原不等式的解集为｛x|解：(I)设g(x)=f(x)-x=ax2+(B一1)x+1,且a>0,••由条件x<••由条件x<2<x<4,得g⑵<0且g⑷>0122分)即4a+2b-1<031(4分)n一一4a<b<一一2a.16a+4b-3>042(5分)对3-4a<b<丄-2a可得428分)(5分)对3-4a<b<丄-2a可得428分)1-4a<-2A<2-8A-•%=-士>】七>】-立=-】8TT)由ig(x)=ax2+(b-1)x+1=0可知xx=—>0即x与x同号.12a1200<x<2,x<2<x<4,.・.x一x=2,1122111分)由g⑵<0即4a+2B-1<0代入有2J(B-1)2+1<3-2BnB<丄419.解：解法一：(1)令x=0,y=2，得：/(0)二[/(0)]21分4分2)任取x、xG(—8,+8),且X<X.1212设x=1p,x=*p,则p1<p213123212f(x)-f(x)=f(打)-f(打)=[f(j)]P1-[f(£)]P212313233>1,p<p•f(X)<f(X)•f(x)在R上是单调增函数12128分9分(3)由(1)(2)知(B)>f(0)=10/(B)>1ca©f(a)=f(B-c)=[f(B)]Bf(c)=f(Bf(c)=f(B-C)=[f(B)]B11分aCla+c•f(a)+f(c)=[f(b)]b+[f(b)]b>2；[f(b)]b而a而a+c>2-ac=Xb2=2b•2订f(b)]>2订f(b)]7=2f(B)•f(a)+f(c)>2f(B)……15分解法二：(1)・对任意x、yUR，有f(xy)=[f(x)]y•/(x)二/(x-1)二[/(1)]•/(x)二/(x-1)二[/(1)]x1分・••当x=0时f(0)=[f(1)]02分2)•・•任意xUR,f(x)>03分•/(0)=14分6分•/(x)二[f(1)]x是R上单调增函数即f(x)是R上单调增函数;9分(3)f(a)+f(c)=[f(1)]a+[f(1)]c>f(1)]a+c11分3320.解:(理)(1)f'(x)=2x1+X2ax2+2x+a1+X220.解:(理)(1)f'(x)=2x1+X2ax2+2x+a1+X2①若a=0时，f'(x)=—>0nx>0,f'(x)<0nx<0,1+x2・•・f(x)在0,+s单调递增，在-©o单调递减，r②若<；；°)na<-1时，广(x)<0对xeR恒成立.・•・f(x)在R上单调递减.③若—1<a<0，由f'(x)>0nax2+2x+a>0n<x<—11—a2<x<—U—,aa由f'(x)>0可得x>——1—a2或—1+'-a2,aa・・・f(x)在［―1—a2,―1+d］单调递减，在—,-―、1—a2］,:—屮1—a2aaaag］上单调递减，综上所述：若a<—1时，f(x)在(-a,+8)上单调递减.当-1<a<0时，f(x)在［―T—a2,‘f1―a2］单调递减,aa在(—g,―—a2和—1+“1-a2,+g)单调递减,aa当a=0时，f(x)在0,+8单调递增，在-g,0单调递减.21.解：(1)Vfz(x)二—X2+4ax—3a2=—(x—3a)(x—a),由f(x)>0得：a<x<3a由f(x)<0得，x<a或x>3a，则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(一a,a)和(3a,+-)列表如下：x(—a,a)af'(x)—0f(x)一4a3+b3(a,3a)3a(3a,+°°)+0—b・・函数f(x)的极大值为b，极小值为一4as+b7分(2)0广(x)=—x2+4ax—3a2=—(x—2a)2+a2,afr(兀)在［a+1,a+2］上单调递maxmin•・•不等式|f'(x)|Wa恒成立,减，因此f，(x)=f，(a+1)=2a—l,f，(x)=f，(a+2)maxmin•・•不等式|f'(x)|Wa恒成立,2a一1-a,解得：4<a<1即a的取值范围是4<a<14a-4n-a5522.解：(1)方法一：x2-8x+16(x-4)2=n0,当且仅当x=4时,・.•x>1,f(x)=X-1X-1取等号，故函数f(x)的最小值为0；9/|9f(x)=x-1+-6>2'(x-1)--6=0X—1\x—1-即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.x-1方法三：求导(略)…(2)由于h(x)=(1—x)f(x)+16二8x-X2设F(x)=g(x)一h(x)=6lnx+X2-8x+m(x>0且x主1)，贝UF'(x)=-+2x-8=2(x―1)(x―3)，6分xx令F'(x)=0得x=3或x=1(舍)又・limF(x)=—g，limF(x)=+g，limF(x)=m-7，Fxt0(3)=6ln3—15+m根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如下：……由此可得当m<7或m>15-6ln3时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；当m=15-6ln3时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点;当7<m<15-6ln3时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.方法二：•・•x>l.当且仅当x-1=上11分23.解：(I)由图形知：Jc=0a-82+b-8+c4ac-b2=16,4a•I函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x(II)由f=-t2+8tIy=一x2+8x^得x2—8x—t(t—8)=0,x=t,x=8—t,12•・gtW24分a=-1=0解之得:<b=8,c=0直线l］与f(x)的图象的交点坐标为(t，-12+8t)由定积分的几何意义知：=-413+10t2-16t+40339分XT+84分6分(Ill)令申(x)=g(x)一f(x)=x2一8x+6Inx+m.因为x〉0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点，则函数申(x)=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当xU(O,1)时，卩(x)>0,甲(x)是增函数；当xU(1,3)时，卩(x)<0,甲(x)是减函数当xU(3,+«)时，卩(x)>0,甲(x)是增函数当x=1或x=3时，申'(x)二0・•・申(x)极大值为申⑴=m-7;申(x)极小值为申(3)=m+6ln3—1512分又因