教学课件-第九章

如果积分区域为：a

x

b,［X－型］1

(

x)

y

2

(

x).其中函数1

(x)、2

(x)在区间[a,b]上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分aby

2

(

x)Dy

1

(

x)bay

2

(

x)Dy

1

(

x)

f

(x,y)d

的值等于以D

为底，以曲面z

Df

(x,y)为曲顶柱体的体积．z应用计算“平行截面面积为已知的立yxA(x0

)z

f

(x,

y)y

1

(x)体求体积”的方法,y

2

(x)f

(

x,

y)dy.1

D2

(

x

)

(

x

)baf

(

x,

y)d

dx得f

(

x,

y)dx.f

(

x,

y)d

1D2

(

y

)

(

y

)dcdy如果积分区域为：c

y

d

,［Y－型］1

(

y)

x

2

(

y).2 x

(

y)x

1

(

y)Dcdcd2x

(

y)x

1

(

y)DX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.D3D1D2

.D3若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式

D

D1

D2y

1

x例

1

改变积分

dx1

xf

(x,y)dy

的次序.010原式

dy1

yf

(

x,

y)dx

.010解

积分区域如图y

2

xy

2x

x2

f

(x,y)dy的次序.dx1

dx

020例

2

改变积分10f

(

x,

y)dy原式2

y10

1

1

y2f

(

x,

y)dx

.dy解

积分区域如图f

(

x,

y)dy

(a

0)22a0例

3

改变积分的次序.2ax2ax

xdx解=a2aa

a2

y2y2f

(

x,

y)dx0原式aa

a

y

dyf

(

x,

y)dx

0dy2a2

2f

(

x,

y)dx.2a2a22aaydyy

2axy

2ax

x2a2

x

a

y22aa2aa例

4

求

(

x2

y)dxdy

，其中D

是由抛物线Dy

x2

和x

y2

所围平面闭区域.解两曲线的交点

(0,0) ,

(1,1),2

y

x2x

yD(

x2

y)dxdy

x2x(

x2

y)dy10dx2

[)2(

1

(

102

33

.140x

y2y

x2x

y2y

x22

2例5

求

x

e

y

dxdy

，其中

D

是以(0,0),(1,1),D(0,1)为顶点的三角形.2解

e

y

dy

无法用初等函数表示

积分时必须考虑次序D22

yx

e

dxdy

x

e

dx2

y2dy01

y0y

y10332e

dy

10622e

y

dy2

y

1

(1

2).6

ey

1例

6

计算积分

I

2

dyye

x

dx

114

2yyye

x

dx

.dy121解y

e

x

dx

不能用初等函数表示先改变积分次序.xxy原式

I

dx e

x

dy221

1x(e

112xe

)dx

3

18

2e

e.y

xy

x2例

7

求由下列曲面所围成的 体积，yx，z

z

xy

，yx1，x

0

，y

0

.解曲面围成的如图.所围

在xoy面上的投影是

0

x

y

1,

x

y

xy,所求体积V

(x

y

xy)dD(

x

y

xy)dy001

1

xdx1012x

[)x(124

7

.二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）f

(x,y)dy.［X－型］1

2

(

x

)

(

x

)Dbaf

(

x,

y)d

dxf

(

x,

y)dx［.Ddc2

(

y

)1

(

y

)

f

(

x,

y)d

dyY－型］设

f

(

x)

[0,1]在

上连续，并设1f

(

x)dx

A，01

10x求

dx

f

(

x)

f

(

y)dy

.思考题1f

(y)dy不能直接积出,x改变积分次序.令I

110f

(

x)

f

(

y)dy

,xdx思考题解答则原式yf

(

x)

f

(

y)dx

.dy010f

(

y)dy,010f

(

x)dxx故2I

110f

(

y)dyf

(

x)dxxxf

(

y)dy010

f

(

x)dx)

f

(

y)dy]1010f

(

x)dx[(xx

21010f

(

x)dx f

(

y)dy

A

.一、填空题:1、(

x

3

3

x

2

y

y

3

)d

.其中DD

:

0

x

1,0

y

1.D2、

x

cos(

x

y)d

.其中D是顶点分别为

(0,0)，(

,0)

，(

,

)

的三角形闭区域

.3、将二重积分

f

(x,y)d

,其中D

是由xD轴及半圆周2

y

2

r

(

y

0)x

2所围成的闭区域,化为先对y后对

x

的二次积分,应为

.练习题4、将二重积分

f

(x,y)d

,其中D

是由直线Dy

x,x

2及双曲线y

1

(x

0)所围成的闭区x域,化为先对x

后对y

的二次积分,应为

.5、将二次积分212

x

x

22

xf

(x,y)dy

改换积分次序,dx应为

.sin

xxf

(x,y)dy

改换积分次序,2sin6、将二次积分0

dx应为

.7、将二次积分ln

y1

22f

(

x,

y)dxedy1

222(

y

1)

1

dyf

(x,y)dx

改换积分次序,应为

.二、画出积分区域,并计算下列二重积分:1、

e

x

y

d

,其中D

是由

x

y

1所确定的闭区域.D2、(x

2

y

2

x)d

其中D

是由直线Dy

2,y

x及y

2

x

所围成的闭区域.3、

D2xdycos

ydx00f

(

x,

y)d

2(

x)(

x

y)。4、

2

dxdy,x其y

中D

:

x

D三、设平面薄片所占的闭区域D

由直线

y

12.,yx2,

xy和x

轴所围成,它的面密度

(,)

xy22x,y求该薄片的质量

.四、求由曲面z

x

2

2

y

2

及z

6

2x

2

y

2

,所围成的的体积.一、1、1；2、

3

；2f

(

x,

y)dy；r

2

x

2r

r3、

dx4、0222111f

(

x,

y)dx

f

(

x,

y)dx

；ydydy5、1210y1

1

y

22

yf

(

x,

y)dx

；dy