“统计与概率”教材及其教学研究

“统计与概率〞教材及其教学研究(ppt58页)

“统计与概率〞

教材与教学研究

新世纪小学数学教材编委题一统计

统计观念主要表现

能从统计的角度思考与数据信息有关的问题。能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用。

能对数据的来源、处理的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。

“统计〞的编写特点将统计思想作为教材的主线之一。在解决实际问题中，体会统计的必要性。经历数据收集、整理、描述、分析的过程，逐步丰富统计方法，建立统计观念。注重统计内容与学生现实生活的联系。在数据统计活动中学习统计的知识和方法。统计活动收集数据整理并描述数据分析数据作出决策调查统计表统计图象形统计图变化情况与趋势平均数统计量条形统计图分类实验查找资料中位数众数折线统计图扇形统计图培养统计观念经历统计的全过程统计活动收集数据整理并描述数据最多、最少、比较数据分析数据作出决策调查统计表统计图象形统计图统计量条形统计图分类实验查找资料统计活动收集数据整理并描述数据册别必要性收集数据整理、描述数据分析数据一上：整理房间、整理书包最喜欢的水果体会按一定标准进行分类。初步体会统计的必要性。认识象形统计图与简单的统计表。最多、最少、数据的比较一下：组织比赛进一步体会统计的必要性。小调查活动认识1格表示1个单位的条形统计图。最多、最少、数据的比较、合计二上：生日买书体会统计的作用：数据提供信息。讨论收集数据的方法进一步认识1格表示1个单位的条形统计图。最多、最少、数据的比较、合计、作出推断二下：读统计图体会统计的作用：数据提供信息。小调查进一步认识1格表示1个单位的条形统计图。尽可能多地获取数据中蕴涵的信息。三下：比一比体会求平均数的必要性。在理解算理的基础上学习平均数的计算。根据平均数，作出推断。教材第一学段统计内容的安排经历分类活动，感受分类的必要性

联系生活实际，说一说怎样整理房间。交流整理房间的方法。体会要按一定标准进行分类。注意到同一次分类活动中，分类的标准是不变的。一上：分类分类是数据整理的根底经历分类活动，感受分类的必要性通过实际分类活动，使学生体会到对于同一对象可以用不同的分类标准得到不同的分类结果。尝试制定不同的分类标准。一上一上：分类提供问题情境，体会到统计的必要性。经历统计的全过程。整理数据：认识象形统计图和简单统计表。分析数据：最多、最少、数据的比较，能够答复提出的数学问题。一上一上：象形统计图的认识进一步体会统计的必要性。收集数据：小调查活动。整理数据：认识1格表示1个单位的条形统计图。分析数据：最多、最少、数据的比较、合计。一下一下：条形统计图的认识体会统计的作用：数据提供信息。收集数据：讨论收集数据的方法。整理数据：进一步认识1格表示1个单位的条形统计图。分析数据：最多、最少、数据的比较、合计、作出推断。二上：条形统计图收集数据的方法

体会统计的作用：数据提供信息。收集数据：小调查。整理数据：进一步认识1格表示1个单位的条形统计图。分析数据：尽可能多地获取数据中蕴涵的信息。二下：从统计图中获取信息三下

分析数据：哪组实力强？体会平均数的意义及学习平均数的必要性。探索求平均数的方法，用平均数解决一些实际问题。平均数用来表示一组数据的集中趋势，它的缺点是容易受极端数据的影响。三下：认识平均数视频案例片断及研讨1：组织比赛

湖南长沙张文婷〔第四届研讨会研究课〕案例片断案例研讨教师在统计教学中设计让学生通过小组活动讨论如何收集数据的活动有什么作用？－－通过充分的交流和讨论，利于学生主动获得收集数据的方法，为后面的活动奠定了根底，利于提高学生收集数据的效率，开展学生解决问题的能力。案例研讨教学中注重用列表的方式来记录数据的作用是什么？－－统计表是整理数据的一种重要的常用方法，它将数据结构化，清晰、明确，便于制作统计图。案例研讨怎么联系学生已有知识经验，使学生体会到从象形统计图向条形统计图过度过程中，更直观、有效地表示统计量？－－教师可以利用“画象形统计图的不便〞，使学生认识到可以用方格代表不同的统计量。－－这里不需要让学生独立地画方格统计图，而是通过学生在方格中涂色，感受统计图的结构和意义。－－在涂色过程中，教师充分关注了操作中的细节，利于学生正确地完成统计图。案例片断师：“我们搞一次拍球比赛，在规定的时间内哪个队拍球的总数最多，哪个队就为胜利队。〞老师在征求大家的意见后，与学生共同商量每队选出3名代表比赛。比赛开始，每队各派3名代表参加拍球比赛，每人拍5秒钟，请学生当小裁判，老师把各队拍球的数量板书在黑板上。乙队分别拍了：8个、13个、14个，甲队分别拍了：11个、14个、16个。老师要求同学以最快的速度口算或用计算器计算每队的结果。结果算出来，老师〔热情洋溢地〕宣布：“通过比总数，甲队拍了47个，乙队拍了35个，甲队胜了。〞老师面对获胜方〔深情地〕表示祝贺。案例片断与研讨2:比一比这时老师请求参加乙队，现场拍球5秒种，使乙队拍球数增加了12个。老师又一次重新宣布乙队为获胜队。乙队欢呼，甲队那么没有反响。老师耐心等待问：“你们真的没有什么想法？〞〔有的同学皱着眉思考着〕一个同学〔勇敢地〕举起了手，〔急迫地〕说：“我们队3个人拍球，乙队4个人拍球，这样比赛不公平。〞〔老师的耐心等待终于使学生自悟了〕“哎呀，看来人数不相等，用比总数的方法来决定胜负不公平。难道就没有更好的方法来比较这两队总体拍球水平的上下吗？〞老师把这个富有挑战性的问题抛向了学生。怎样计算每个队拍球的平均数呢？这个问题的提出又一次促使学生进一步地思考与探索。在老师的引导下，学生提出了计算的方法：〔8+13+14+12〕÷4和〔11+14+16〕÷3。在掌握了计算方法的根底上，同学们有的用笔算方法计算结果，有的使用计算器计算结果。〔同学们开始议论纷纷〕老师边巡视边说：“出现问题了是吗？有的同学的结果有余数，〔11……3，13……2〕有的同学的结果是小数〔11.75和13.666666……〕。没关系，我们一起看，11.75更接近哪个整数？〞“接近12。〞学生答复。“我们就说计算结果大约是12，用约等于号表示。〔老师边说边板书〕谁来说一说〔11+14+16〕÷3的结果是多少？〞同学用同样的方法得出：13.66666……接近14，约等于14。以乙队的平均数为例追问：12表示什么？生：表示乙队拍球的平均数。你怎么认识理解12这个数？生1：我拍了13个，把多的一个给其他队员了。生2：我拍了14个，把多的2个给了拍8个的同学。生3：我很快乐，本来我拍了8个，他们又给我增加了4个。师：你们的意思是说，把多的给少的，这样就——〔生接：平均了。〕让孩子们根据自己的体会描述对平均数意义的理解。在这个根底上老师进行了总结：12是8、13、14、12这组数据的平均数，它较好地表示了这一组数据的总体水平。

师：当人数不相等时，比总数不公平。这时谁在课堂上帮助我们解决了问题？生：平均数。师：〔感慨地说〕此时此刻，你不想对平均数发自内心地说两句话吗？〔生自由发言〕生1：平均数，你很公平。生2：平均数，你使不公平的事变公平了。〔真可谓发自内心〕

说明:本案例中出现了循环小数，学生还没学过。教师在实际教学中可选用更好的素材。案例讨论

1.本案例让学生很自然地感受到平均数产生的必要性，您认为这个教学设计中哪些地方值得借鉴？

——创设“拍球比赛〞的具体情境，让学生经历一个数学化的过程，即从解决如何判定比赛胜负的现实问题中，抽象出平均数概念〔数学模型〕的过程，从中感受平均数产生的必要性。数学作为一种活动，主要特征是数学化。这个教学过程的设计有三个特点：〔1〕数学化的对象是学生经历的现实：课堂拍球比赛的胜负情况。问题情境是在课堂中动态生成的，特别能激发学生学习的兴趣与参与意识。〔2〕两队先进行每队3人的拍球比赛。学生已有的经验，能够解决在人数相等的比赛中决定胜负的问题，即统计各队拍球的总次数，多者胜出。

(3)乙队由于老师的参加，而“转败为胜〞，引发学生的认知冲突：在两队人数不相等的情况下，沿袭用拍球总次数定胜负的方法是不公平的。由此，才提出用各队拍球的平均数来定胜负的方法。

经历上述过程，学生理解当两队人数不等时，仅统计拍球总数是不能决定比赛胜负的，需要用平均数来定胜负。这里，还可以进一步让学生意识到，不管人数相等还是不等，求平均数都能定出胜负，从而了解用平均数定胜负的方法具有普遍性。2.老师怎样引导学生理解平均数的意义？懂得了怎么求平均数是否就能理解平均数的意义呢？你在教学中是否说明了及怎样说明平均数作为刻画一组数据特征的统计量的意义的？——理解平均数的意义应该包含两个内容：一是平均数怎么求，二是平均数的统计意义。后者，在教学中往往被无视。平均数的统计意义，要结合具体情境进行解释。如案例中老师总结的：“12是8、13、14、12这组数据的平均数，它较好地表示了这一组数据的总体水平。〞还可以进一步让学生了解：一组数据的平均数，它一定比组中最大的数据小，同时比组中最小的数据大；也就是说，这组数据中一定有些数据比平均数大，另一些数据比平均数小。因此，平均数可以刻画一组数据的集中趋势,是一个反映一组数据特征的重要的统计量。

专题二概率“概率〞的编写特点结合具体活动，体验简单事件发生的不确定性。在猜测、实验中，体验简单事件发生的可能性有大有小及简单事件所有可能发生的结果。概率的内容结构不确定现象〔二上〕可能性有大小〔二下、三下〕等可能性〔游戏公平性〕用分数表示可能性的大小确定现象不可能事件必然事件概率为1概率为0概率概率是研究随机现象的科学随机现象是指这样一种现象：在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。随机现象外表看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。随机：数据+时机。计算〔古典概型、几何概型〕理论概率实验〔频率估计概率、模拟〕实验概率

二上：抛硬币在猜测、实验中，体验简单事件发生的不确定性用“一定、不可能、可能”描述事件发生的可能性二下：三上：摸球游戏在猜测、实验中，体验简单事件发生的可能性有大有小

用“一定、经常、偶尔、不可能”描述事件发生的可能性三下：猜一猜在猜测、实验中，进一步体验简单事件发生的可能性有大有小

能列出简单事件所有可能发生的结果

在猜测、实验中，体验简单事件发生的不确定性。用“一定、不可能、可能〞描述事件发生的可能性。二上：感受不确定现象猜测、实验－－一定、可能、不可能在猜测、实验中，体验简单事件发生的可能性有大有小。用“一定、经常、偶尔、不可能〞描述事件发生的可能性。三上三上：体验可能性有大有小

在猜测、实验中，进一步体验简单事件发生的可能性有大有小。能列出简单事件所有可能发生的结果。三下：进一步体验可能性有大有小

统计与概率的应用实例〔1〕工程系统设计〔2〕博彩业的监督〔3〕劳动保护〔4〕社情分析：读图时代、民意测验〔5〕工业质量控制〔6〕犯罪学：检查足迹〔7〕数理语言学〔8〕金融学〔9〕文学著作权〔10〕天王星光环的发现

〔11〕医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效〔12〕耶稣的裹尸布之谜〔13〕挑战者号的爆炸〔14〕生物资源的测定〔15〕体育：新的方法确实比旧方法好吗、足球比赛开始的抛币游戏〔16〕天气预报降水概率〔17〕求职策略〔18〕敏感性问题的调查

统计与概率的应用实例案例片断与研讨3：抛硬币案例片断老师拿起一个圆柱形的盒子，说道：“每个小组的桌面上都有一个这样的盒子，盒子外面写着什么呀？〞“三个白球，三个黄球。〞学生齐声答道。“是的。每个盒子里面都放着三个白球和三个黄球。〞老师继续说道，“如何摸球呢？看，老师把手伸进盒子，搅一搅，摸到了一个球。你们猜猜是什么颜色的球？〞“白球。〞“黄球。〞学生猜着。老师拿出一看，“是黄球。〞“哇！〞猜中的学生兴高采烈。“第一次摸到黄球，就在表格的‘黄球’栏目上打1个‘√’。〞老师一边展示表格一边强调对摸球结果进行统计的要求。老师把摸出的黄球放回盒后，又做了一次摸球示范，摸出的是一个白球，她强调；“这一次要在表格的‘白球’栏目上打1个游戏结束后，老师在实物展示台上记录各组摸球统计的结果：“你们看，从摸球的结果能看到什么呢？〞老师在启发学生发言。“第2小组与第3小组摸到黄球与白球的次数，刚好相反。〞“每组都摸了8次。〞显然，学生没有说出教师希望的结论。老师进一步启发道：“是不是摸到的都是白球？是不是一定摸到黄球？〞“不是。〞黄球白球第1小组

4

4第2小组

2

6第3小组

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2第4小组

5

3第5小组

4

4第6小组

4

4‘√’。每人都有两次摸球的时机，组长要做好每一次摸球的记录。〞学生分组玩起了摸球游戏，我摸你猜，你摸我猜，玩得很快乐，很开心。“那该怎么说摸球的结果呢？〞一个学生答道：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。〞“说得好。〞老师表扬了她，接着又问道：“可能摸到黑球吗？〞“不可能。因为盒子外面没有写有黑球。〞一个女生说道。“那可能摸到红球吗？〞老师追问。“不可能。因为盒子外面里也没有写红球。〞这时，一个男生提出质疑：“如果有一个老师把盒子外面的字写错了，那怎么办？〞“你的意思是不能相信盒子外面写的字，要查看盒子里放的是什么颜色的球，是吗？〞老师帮助学生把意思表达清楚。这时，一个女生站起来说道：“刚刚我看了盒子里面的球，真的没有红球，所以不可能摸到红球。〞老师在盒子里放入一个绿球，问道：“现在可能摸到绿球吗？〞“可能。〞学生异口同声。“现在摸球的可能性有几种？〞老师追问。“有三种。可能是白球，可能是黄球，也可能是绿球。〞学生深信不疑。“摸到不同颜色的球的可能性有几种，与盒子里放几种颜色的球有关；放入的球的颜色越多，摸到不同颜色的球的可能性也越多。〞老师对这次摸球游戏做了总结。案例讨论本案例中，为什么会出现那个男生质疑“如果有一个老师把盒子外面的字写错了，那怎么办？〞的现象？问题出在哪个环节？——刚一开始，教师是这样引导学生观察盒子里装球其情况的：……盒子外面写着什么呀？〞如此就给学生一种误导：盒子里装什么球要看盒子外面的包装。其实，让学生讨论从盒子里摸球的可能性，关键是看盒子里装球情况，假设这个老师从一开始不是强调让学生看盒子“外面写着什么呀？〞，而是告诉学生盒子里都装的什么球，然后开展活动，就会防止这个问题。案例中，教师在引导学生说出“可能摸到白球，也可能摸到黄球〞时，学生的答复并不是教师想要的，出现这种现象的原因是什么？——教师设计了让学生统计摸球情况的活动，并且把结果填在表格中，统计完后紧接着教师提出问题：“……从摸球的结果能看到什么呢？〞这其实是在误导学生，让学生根据统计结果答复以下问题，自然，学生就会把答复的重心转移到表格中的数据特征上来，出现了：“第2小组与第3小组摸到黄球与白球的次数，刚好相反。〞、“每组都摸了8次。〞的答复，而不是关注本节课的核心：从摸球出现的结果来感受不确定现象，设计统计活动反而会让学生关注统计出的数据。

案例片断与研讨4：有必要做概率实验吗？问题：不用做实验学生就知道概率的大小，概率实验的价值是什么？实验概率与理论概率的关系？先验的？后验的？

不做或少做概率实验的原因：——相信学生的经验和理性分析能力。——实验反而容易造成混乱。——概率是统计的理论根底，“本质上是数学〞。

重视概率实验的原因：美标准〔1989〕：结合带有数据分析的概率研究；P90。美标准〔2000〕：P49

概率实验的价值：实验是获取概率的更一般的方法。“计算〞的方法只能处理古典概型〔所有根本结果是有限且等可能的〕，大量事件发生的概率是不能依靠计算得出的〔如图钉钉尖着地的概率〕。概率实验的价值：对于不那么显然的计算结果，尤其是与学生经验不符的结果，学生不能信服。案例：掷两个均匀的硬币，两面都是正、两面都是反、一反一正的概率各为1/3？案例：好一个三局两胜。案例片断：好一个三局两胜

“今天数学课上，老师说掷两粒骰子，朝上面的点数相加等于7的可能性最大。但是掷10次不一定，掷50次可能，掷的次数越多，可能性越大。我有点不大相信，为什么掷两粒骰子，朝上面的点数相加等于7的可能性最大，而不是6，不是8呢？难道真那么准吗？我又没试过，怎么能证明呢？中午回家我找了两粒骰子准备试验一下，但我马上想到，如果我试验的结果和老师不一样，人家还以为我胡编乱造呢，不如我把骰子拿到学校去，叫同学和我一起做，这样既省时间，又有人作证。吃过中饭，我早早来到学校，叫同学Q帮助。我让他先在纸上写好“2～12〞这11个数，我掷骰子，我掷出什么数，他就在那个数下面划‘正’字。没多久，Q就厌烦了。我和他换了一下，由他掷，我来记‘正’字，50次，100次，150次，200次，老师不是说，掷次数越多越正确吗？最后得出结果果然是7，可我还是不大相信，我和另一个同学G又试了200次，这次结果是8，1比1。我决定再试一次，最后一次，如果是7，那么我就相信概率是正确的。我又叫同学Z帮助，我们又掷了200次，结果是8，哪里是7呀