几何体的外接球与内切球满分突破10讲全网最全模型

第1讲墙角模型 1 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型8已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝)秒杀公式R2＝可求出球的半径从而解决问题有以下四种类型[例](1)已知三棱锥ABCD的四个顶点ABCD都在球O的表面上AC⊥平面BCDBC⊥CD且AC＝BC＝2CD＝5则球O的表面积为()A．12πB．7πC．9πD．8π答案A解析由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A－BCD可构造以AC，BC，CD为三条棱的长方体设球O的半径为R则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12所以S球＝4πR2＝12π故选A(2)若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为()．A．3B．6C．36D．9答案A解析2(R)26，R3，故选A．(3)已知SABC是球O表面上的点SA⊥平面ABCAB⊥BCSA＝AB＝1BC＝则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π答案解析由已知2R1212()22S球4R24π．(4)在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AMMN，若侧棱SA2，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是________．答案36解析AMMN，SB//MN，AMSB，ACSB，SB平面SAC，SBSA，SBSCSBSABCSASA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(2)2(2)2(2)236，即4R236，正三棱锥SABC外接球的表面积是36．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形EF分别是PAAB的中点∠CEF=90°则球O的体积为()A8B4C2D．答案D解析解法一：PAPBPC,△ABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EF∥PB，EFAC，又EFCE，CEACC,EF平面PAC，∴PB平面PAC，APBPAPBPC，PABC为正方体的一部分2R，即R,V4R34π66，故选D．2338解法二：设PAPBPC2x，E,F分别为PA,AB的中点，EF∥PB，且EFPBx，△ABC为边长为2的等边三角形CF又CEF90CE,AEPAx，△AEC中，由余弦定理可得cosEAC作PDAC于D，PAPC，D为AC的中点，PA2x4x2x22cosEACAD1，x243x21，2x212，x21，x，PAPBPC，PA2x4x2x22又ABBCAC2，PA,PB,PC两两垂直，2R，R，VRVR，故选D．338(6)已知二面角α－l－β的大小为，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝2，PA＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案86π解析∵∠BCD＋∠DAB＝π∴AB，C，D四点共圆，直径为AC，∵PA⊥平面β，AB⊥l∴易得PB⊥l即∠PBA为二面角αlβ的平面角即∠PBA＝∵PA＝2∴BA＝2∵BC＝2∴AC＝23设球的半径为R则2＝∴R＝V＝()3＝86π1点ABCD均在同一球面上且ABACAD两两垂直且AB＝1AC＝2AD＝3则该球的 表面积为() A7πB14πCπD1．答案B解析三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角 线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是＝14，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×2球的表面积是4π×2＝14π2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱锥B－ACD的外接球的表面积为()A5πBπC．10πD．34π2．答案D解析依题意，在三棱锥B－ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，因此可将三棱锥B­ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝34故三棱锥BACD的外接球的表面积为4πR2＝34π3已知球O的球面上有四点ABCDDA⊥平面ABCAB⊥BCDA＝AB＝BC＝2则球O的体积等于________.3．答案6π解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径∴CD＝＝2R因此R＝，故球O的4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2则球O的表面积为________．4．答案9π解析由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得图中四个直角三角形，且PC为△PBC，△PAC的公共斜边故球心O为PC的中点，由AC＝1，AB＝PB＝2，PC＝3，∴球O的半径为，其表面积5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体积为(A．π5答案B解析 B．πC．273πD．27π因为三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P－ABC的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33所以其外接球半径＝33所以其外接球半径R＝因此三棱锥PABC的外接球的体积V＝×2＝π故选B．6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，－1)，C(0，2，1)，D(0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是()A16πB12πC43πD6π6答案B解析在空间直角坐标系内画出ABCD四个点可得BA⊥ACDC⊥平面ABC因此可以把四面体ABCD补成一个棱为2的正方体其外接球的半径R＝＝因此可以把四面体ABCD补成一个棱为2的正方体其外接球的半径R＝＝.所以外接球2的表面积为4πR2＝12π，故选B.7在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BDC的外接球的表面积为(D)A2πB．8πC．16πD．4π7．答案D解析画出对应的平面图形和立体图形，如图所示．在立体图形中设AC的中点为O，连接OB，OD，因为平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以△CDA与△CBA都是以AC为斜边的直角三角形，所以OA＝OC＝OB＝OD，所以点O为三棱锥A－BDC的外接球的球心．于是，外接球的半径r＝AC ＝＝＝1故外接球的表面积S＝4πr2＝4π故选D 8．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的 外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π8．答案B解析因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A－BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为________．9．答案56π解析四面体A－BCD为鳖臑，则由题意可知△BCD中只能∠BCD为直角，则四面体A－BCD的体积为××CD·CD·CD＝，解得CD＝43．易知外接球的球心为AD的中点，易求得AD＝214所以球的半径为14，所以球的表面积为56π．10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1＝3，E是线段A1B1上一点，若二面角A－BD－E的正切值为3则三棱锥A－A1D1E外接球的表面积为________．10．答案35π解析过点E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为二面角ABDE的平面角∵tan∠EGF＝3∴＝3∵EF＝AA1＝3∴FG＝1则BF＝2＝B1E∴A1E＝22则三棱锥A－A1D1E外接球的直径为＝35，因此三棱锥A－A1D1E外接球的表面积S＝35π对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长即2R(长方体的长宽高分别为abc)秒杀公式R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为xy、z)．可求出球的半径从而解决问题．[例](1)正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为________．答案解析这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R，R，22V(2)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥ABCD外接球的表面积为________答案解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2b29，b2c24，c2a2162(a2b2c2)941629，2(a2b2c2)941629，a2b2c2，4R2，S．(3)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．答案解析依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体设该长方体的长宽高分别为a、方体设该长方体的长宽高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则b2＋c2＝52，得a2＋b2c2＋a2＝52，＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4R34336(4)在正四面体ABCD中E是棱AD的中点P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是()AB6C．D．答案A解析将侧面ABC和ACD展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a，则422BPPE的最小值为BEa2a22a1acos120aa2．在正四面体ABCD的边长为422．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝163．________R得D．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝163．________R得D 664Ra664Ra，外接球的体积VR3．423(5)已知三棱锥ABCD，三组对棱两两相等，且ABCD1，若三棱锥ABCD的ADBC若三棱锥ABCD的则AC________ 答案5解析将四面体ABCD放置于长方体中，四面体ABCD的顶点为长方体八个顶点答案ADBC3，且三组对中的四个，长方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，ABCDADBC3，且三组对 棱两两相等， 棱两两相等，设ACBDx1[121[12(3)2x2]1(4x2)，可得外接球的2222 2292R1(42292R1(4x2)，所以4R，解三棱锥ABCD的外接球表面积为直径，22422 32R，即4解之得x5因即ACB 32R，即4解之得x5因即ACBD5．，441．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．1．答案163解析将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8，解得R＝6，因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有6，所以a＝2线长，所以正四面体ABCD的棱长为2 线长，所以正四面体ABCD的棱长为2 的正四面体的外接球的表面积为()C．8A．4643C．8A．462．答案B解析表面积为2．答案B解析表面积为22，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱 ，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面长为2，正方体的对角线长为 积的值为4(3)212．3．已知四面体 积的值为4(3)212．3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝3答案7π解析在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE．∵AC＝AD＝BC＝BD＝2∴AE⊥CDBE⊥CD.在Rt△AED中CD＝∴AE＝同理BE＝取AB的中点为F连接EF由AE＝BE得EF⊥AB在Rt△EFA中∵AF＝AB＝AE＝∴EF＝1取EF的中点为O，连接OA，则OF＝．在Rt△OFA中，OA＝．同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体 的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π．4三棱锥中SABCSA＝BC＝SB＝AC＝SC＝AB＝10则三棱锥的外接球的表面积为______.4答案14π解析如图在长方体中设AE＝aBE＝bCE＝c则SC＝AB＝a2b2＝10SA＝BC＝b＋c＝13，SB＝AC＝a＋c＝5，从而a＋b＋c＝14＝(2R)，可得S＝4πR＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC5．答案2解析由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体如图所示设AF＝xBF＝yCF＝z则＝＝5又4π×22＝9π可得x＝y＝2∴a＝＝26．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是()A12B．32C．8D．246．答案A解析将三角形ABC与三角形ACD展成平面，BPPE的最小值，即为BE两点之间连线的距离，则BE，设AB2a，则BAD120，由余弦定理14a2a214，解得a，222aa则正四面体棱长为2，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，所以，设外接球半径为R，则R2，则表面积S4R24312．汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝rOO1＝hR2r2h224[例](1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()．AB2CD3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝BC＝， 半径R＝OA＝2262＝ 另解过C点作AB的平行线，过B点作AC的平行线，交点为D，同理过C1作A1B1的平行线，过B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCD－A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r＝324212213故选C22(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．Aa2Ba2Ca2Da2答案B解析R2OB2OE2BE2a2a27a2，S4a27a2．故选B．43123(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于()A．10πB．20πC．30πD．40π答案B解析如图，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径R＝＝5所以该球的表面积为4πR2＝20π故选B(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A4πBC．D．16π答案D解析由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝＝ ＝2故这个球的表面积S＝4πr2＝16π．故选D．(5)若一个圆柱的表面积为12，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为()A(1212)B12C(123)D16答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则2r22rh12，则hr．设该圆柱的24r4r4r外接球的半径为R，则R2r2(h)2r21(6r)25r23…2333，当且仅当24r4r4rr2，即r4时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为4(33)(1212)．1．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为()ABCD．7π1答案A解析由题知此直棱柱为正三棱柱ABC－A1B1C1，设其上下底面中心为O′，O1，则外接球的球心O为线段O′O1的中点∵AB＝2∴O′A＝AB＝OO′＝O′O1＝1∴OA＝＝因此它的外接球的半径为故球O的表面积为故选A2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.2答案解析设正六棱柱底面边长为a正六棱柱的高为h底面外接圆的半径为r则a＝底面积为S＝6··2＝3V面积为S＝6··2＝3V柱＝Sh＝3h＝9∴h＝R2＝22＝1R＝1球的体积为V4888＝4π 3. 3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为()A4πB8πC16πD32π3答案C解析如图所示设底面边长为a则底面面积为a2＝所以a＝.又一个侧面的周长为63所以AA1＝2.设ED分别为上下底面的中心连接DE设DE的中点为O则点O即为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的球心连接OA1A1E则OE＝A1E＝3××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，故选C．4．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为()A．B．C．D．20π4答案B解析设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示．由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点在△ABC中由余弦定理可得BC2＝AB2AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，所以BC＝7，由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r＝2O2B＝＝23所以r＝＝而球心O到截面ABC的距离d＝OO2＝AA1＝1设直三棱柱ABCA1BA1B1C1的外接球半径为R由球的截面性质可得R2＝d2＋r2＝12＋32＝故R＝，所以该三棱柱的外接球的体积为V＝R3＝故选B5已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为()A6πB5πC4πD3π5．答案B解析其中O1，O2分别为正方形AEFD和BCFE的中心，OO1，OO2分别垂直于这两个平 面由于∠OGO2＝60°O2G＝所以OO2＝而O2C＝CE＝所以球的半径OC＝ ＝所以球的表面积为4π·OC2＝5π故选B6已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝，则球O的体积为()AB3πC．D．8π6．答案A解析设△ABC外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，∵AB＝AC＝1AA1＝2∠BAC＝∴2r＝＝＝2即O1A＝1O1O＝AA1＝∴OA7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的()A倍B2倍C．2倍D．3倍7．答案B解析设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R．则R2()2r2，圆锥的母线与底面所成角为60．圆锥的高为r，母线长l2r，圆锥的侧面积为lr2r2，4R24[()2r2]42r2，化简得：2．8正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB2二面角A1BDC1的大小为则该正四棱柱外接球的表面积为()A12B14C16D．188答案B解析如图ACBD交于O易证A1OC1为二面角A1BDC1的平面角即A1OC160，从而A1OAC1OC60，AB2，OC，CC1OCtan60，外接球直径为 外接球半径为S球4149．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB，AA12，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着ABCDA运动一次，则点M经过的路径长为________．9．答案解析由题意，点P从点A出发，沿着ABCDA运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB，AA12，四棱柱的外接球的直径为其对角线长度为2四棱柱的外接球的半径为AOB33310．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥PABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥PABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________．10答案解析设正三棱锥PABC的底面边长为2a高为h则圆柱高为底面圆半径为a1633利用勾股定理可求得圆柱外接球半径R由h2R可求得h4a设正三棱锥PABC1633的外接球的半径为r，则球心到底面距离为hr，OA，利用勾股定理r2(hr)2(a)2，垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点算出小圆O1的半径AO1＝rOO1＝hR2r2h224[例](1)已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1．则该三棱锥的外接球的体积为()A．答案D解析B13πDB13πDπ6∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r＝＝3，则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接SA2外接球的体积V＝πR3＝π故选DSA2第(1)小题图第(2)小题图1第(2)小题图2(2)三棱锥PABC中平面PAC⊥平面ABCAB⊥ACPA＝PC＝AC＝2AB＝4则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A23πBπC64πDπ答案D解析如图1设O为三棱锥外接球的球心O1为正△PAC的中心则OO1＝AB＝22AO1另解：如图2，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC则O′H⊥平面ABC作O′O∥HDOD∥O′H则交点O为三棱锥外接球的球心连接OP又O′P＝PH＝××2＝OO′＝DH＝AB＝2∴R2＝OP2＝O′P2O′O2＝4＝故几何体外接球的表(3)在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝25，则该三棱锥 的外接球的表面积为() AπBπCπDπ答案B解析由题意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，设△ABC的外接圆半径为r，则△ABC的外接圆直径2r＝＝∴r＝又∵侧棱SA⊥底面ABC∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离h＝SA()2＝则该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝π.(4)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120˚，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A103πB18πC20πD93π答案C解析如图1，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径 R＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π．第(3)小题图第(4)小题图1第(4)小题图2另解如图2，该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P－ABC，PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R＝＝25⇒R＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π．(5)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC120，AC2，AB1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案解析在ABC中，BAC120，AC2，AB1，由余弦定理得：BC2AC2AB22ACBCcosBAC，即BC22212221cos1207，解得：BC．设ABC的外接圆sinBACsin1203332ABBC半径为r，由正弦定理得2rBC2解得：r；且cosABCAB2BCsinBACsin1203332ABBC又D为BC中点在ABD中BDBCAB1cosABD由余弦定理得：AD2AB2BD22ABBDcosABD，即：AD212()22123，解得2274AD．又因为PA平面ABC，所以PDA为直线PD与平面ABC所成角，由cosPDA，得sinPDAtanPDA2所以在RtPAD中PAADtanPDA2设三棱锥PABC22312的外接球半径为R，所以R()2()2，三棱锥PABC外接球表面积为22312237S4R3．1．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为()A．18πB．C．21πD．42π1．答案C解析由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为2r＝＝23，由于SA⊥底面ABC，所以△ABC外接圆的过圆心的垂线与线段SASA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心所以外接球的半径R＝22r2＝因此三棱锥SSA－ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π故选C．2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB＝2，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．32π2．答案C解析取CD的中点E，连接AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，设△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线于O则O为外接球的球心∵BE＝，BG＝，∴外接球的半径R＝ 1ABBG2＋22＝3＋1＝2.∴四面体ABCD外接球的表面积为4πR2＝16π．故选C 1AB3已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．64π3答案C解析在△ABC中由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2即AB⊥BC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥BC，∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝3SA＝23为长宽高的长方体∴球O的直径为1232232＝4故球O的表面积为4π×22＝16π另解取SC的中点E连接AE，BE，依题意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE∴点E是三棱锥SABC的外接球的球心即点E与点O重合OA＝SC＝＝2故球O的表面积为4π×OA2＝16π4在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．B．C．8πD．12π4．答案C解析易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P－ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝ ＝＝2故该球的表面积S＝4πR2＝8π故选C5．在三棱锥A－BCD中，AC＝CD＝，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．5．答案π解析由已知可得，BC⊥AB，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，设三棱锥外接球的球心为O正三角形ABD的中心为O1则OO1⊥平面ABD连接O1BOO1OC在直角梯形O1BCO中有O1B＝BC＝1OC＝OB＝R可得R2＝故所求球的表面积为4πR2＝π6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A．7πB．5πC．3πD．π6．答案A解析依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P－BDC外接球的球心为O△PCD外接圆的圆心为O1则OO1⊥平面PCD所以四边形OO1DB为直角梯形由BD＝O1D＝1及OB＝OD可得OB＝则外接球的半径R＝所以该球的表面积S球＝4πR2＝7π7已知点PABCD是球O表面上的点PA⊥平面ABCD四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则△OAB的面积为()．AB．2C．3D．67如图所示，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．故可知PC为球O直径，则PC的中点为O，取AC的中点为O′则OOPA又∵AC2PA2PC∴4∴球半径R2故OC＝OA＝OB＝2又∵AB2∴△OAB为等边三角形∴OAB2S122sin603OAB28三棱锥PABC中AB＝BC＝AC＝6PC⊥平面ABCPC＝2则该三棱锥的外接球表面积为________8．答案π解析由题可知，△ABC中AC边上的高为＝6，球心O在底面ABC的投影即 PC为△ABC的外心D设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(－x)2，解得x＝，所以R2＝x2＋22 PC＝1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)所以外接球的表面积S＝4πR2＝π9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD＝5，ED＝3，若鳖臑P－ADE的外接球的体积为92π，则阳马P－ABCD的外接球的表面积为________．9答案20π解析∵四边形ABCD是正方形∴AD⊥CD即AD⊥CE且AD＝ED＝∴△AE4ADE的外接圆半径为r1＝＝＝2设鳖臑PADE的外接球的半径为R1则πR＝AE4223 ADE∴R1＝22rEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(),)可得＝＝∴PA＝10正方形 ABCD的外接圆直径为2r2＝AC＝2AD＝∴r2＝∵PA⊥平面ABCD∴阳马PABCD的外 接球半径R2＝22rEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),2)＝∴阳马PABCD的外接球的表面积为4πREQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),2)＝20π 10在四棱锥PABCD中PA平面ABCDAP2点M是矩形ABCD内（含边界的动点且AB1AD3直线PM与平面ABCD所成的角为记点M的轨迹长度为则tan________当三棱锥PABM的体积最小时，三棱锥PABM的外接球的表面积为________．10．答案8解析因为PA平面ABCD，垂足为A，则PMA为直线PM与平面ABCD所成的角，所以PMA；因为AP2，所以AM2，所以点M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧EF，连接AF，则AF2；因为AB1，AD3，所以AFBFAE；则弧EF的长度为2，所以tan．当点M位于F时，三棱锥663PABM的体积最小，又PAFPBF，所以三棱锥PABM的外接球球心为PF的中点；因为PF2，所以三棱锥PABM的外接球的表面积为S4()28．切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O△BCD的外心为O1O球心为O△BCD的外心为O1O1到BD的距离为dO与O1的距离为m则解得R2＝d2＋h－m2R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)[例](1)已知在三棱锥P－ABC中VP­ABC＝∠APC＝∠BPC＝，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC那么三棱锥P－ABC外接球的体积为________．答案解析如图，取PC的中点O，连接AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，∴O是三棱锥PABC外接球的球心易知PB＝RBC＝3R∵∠APC＝PA⊥ACO为PC的中点∴AO⊥PC又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AO⊥平面PBC，∴VP­ABC＝VA­PBC＝××PB×BC×AO＝××R×3R×R＝解得R＝2∴三棱锥PABC外接球的体积V＝πR3＝(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD则四面体ABCD外接球的体积为________．答案解析在四面体ABCD中，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60˚，∴△ABD为正三角形，设BD的中点为M，连接AM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM⊥平面CBD∵△CBD为直角三角形∴其外接圆的圆心是斜边BD的中点M由球的性质知四面体ABCD外接球的球心必在线段AM上，又△ABD为正三角形，∴球心是△ABD的中心，则外接球的半径为×2×(3)已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为()AB5πC．6πD．答案D解析如图，取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点PQ过P作平面ABD的垂线过Q作平面CBD的垂线两垂线相交于点O则点O为外接球的球心如图其中OQ＝CQ＝连接OC则外接球的半径R＝OC＝表面积为4πR2＝故选D．(4)已知ABC是以BC为斜边的直角三角形P为平面ABC外一点且平面PBC平面ABCBC3PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为________．答案10解析由题意知BC的中点O为ABC外接圆的圆心且平面PBC平面ABC过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面ABC内．根据球的性质，球心一定在垂线l上，球心O1一定在平面PBC内，且球心O1也是PBC外接圆的圆心．在PBC中，由余弦定理得cosPBC，sinPBC，由正弦定理得：2R，解得R，PB2cosPBC，sinPBC，由正弦定理得：2R，解得R，2PBBC22sinPBC2三棱锥的外接球的表面积4R210．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A－DECB的外接球的表面积为________．答案10π解析取DE的中点M，BC的中点N，连接MN(图略)，由题意知，MN⊥平面ADE，因为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE的外接圆的圆心是点M，四棱锥A－DECB的外接球的球心在直线MN上，又等腰梯形DECB的外接圆的圆心在MN上，所以四棱锥A－DECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圆的圆心．连接BE，易知△BEC是钝角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圆的圆心在等腰梯形DECB的外部．设四棱锥A－DECB的外接球的半径为R，球心到BC的距离为d，则R2＝d22R2＝d＋2＋2解得R2＝故四棱锥ADECB的外接球的表面积S＝4πR2＝10π1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥DABC的外接球的表面积为()A32B27C18D91答案C解析将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC把ACD折起使平面ACD平面ABC直径为AC3外接球的表面积为4R24()218．2．在三棱锥A－BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________2．答案π解析取AB，CD